Литература Инж графика / 02 Коломиец НГ 1

зроблено за допомогою точок 3

l і 4

АС: тобто пряма l зіставлена зі

стороною АС трикутника.

У точці перетину горизонтальних проекцій l1

і А1С1 збігаються гори-

зонтальні проекції 31 і 41 то-

чок 3 і 4. На фронтальній

f2

0

M2

l2

проекції видно, що точка

3(32) розташована вище, ніж

точка 4(42). Це означає, що

x1 2

f 0

h 0

1

пряма l проходить над пря-

1

2

2

мою АС. Отже, пряма l зліва

21

від точки М на горизонталь-

M1

11

0

ній проекції видима, а спра-

h1

ва – невидима. Аналогічно

l1

1

22

визначена видимість прямої l

і на фронтальній проекції.

Рис. 4.21

площина (

1), яка перетинає площину

по прямій 12(1121, 1222): 1 = h ∩

(11 = h 1 ∩

1), 2 = f ∩ (21 = f1 ∩

1); 12 h2 , 22

f2 . Пряма 12 пере-

тинає пряму l у точці М(М1, М2): 1222∩l2 = M2, M1

l1.Точка М і є точкою

Так, на рис. 4.22 показано побудо-

0

ву точки перетину фронтальної прямої

f2

d2

M2

d(d1, d2) з площиною

(f , h ). У цьому

разі доцільно через пряму провести фро- x

f 0

h 0

12

нтальну

площину

(

1), яка перетинає

1 2

1

2

задану площину по її фронталі f(f1, f2):

11 d1

1

∩hº = 1 ( 1∩hº1

= 11), 12 hº2. 12 f2,

M1

0

f

f

. Точка М(М ,

М

) перетину фрон-

h

2

2

1

2

1

талі f з прямою d – це точка перетину

прямої d з площиною .

Рис. 4.22

4.5 Пряма перпендикулярна до площини

Пряма перпендикулярна до площини, якщо

f2

A2

вона перпендикулярна до двох не паралельних

прямих, що належать площині або їй паралельних.

Проведення прямої, перпендикулярної до площи-

ни, - це метрична задача. Якщо площина на крес-

h

n2

ленні подана горизонталлю і фронталлю, то на пі-

2

дставі властивості проекцій прямого кута, проекції

перпендикуляра до площини проводять перпенди-

f1

n1

кулярно відповідно до горизонтальної проекції го-

ризонталі і фронтальної проекції фронталі

(рис.

4.23): n

Г(h, f) (n1

h1, n2 f2).

Якщо у заданій площині не представлені го-

A1

ризонталь і фронталь, то їх необхідно провести. На

h1

рис. 4.24 показано проведення перпендикуляра

n(n1, n2) із точки K(K1, K2) до площини (a, b).

Рис. 4.23

У площині проведені горизонталь h(h1, h2) через точки 1(11, 12) і 2(21,

22),

що належать прямим a(a1, a2) і b(b1, b2) площини

, та фронталь f(f1, f2) че-

рез точки 1 і 3(31, 32). Через проекції К1

і К2 точки К проведені проекції n1 і

n2 перпендикуляра відповідно перпендикулярно до проекцій h1

і f2 горизо-

нталі і фронталі.

Якщо площина перпендикулярна до якоїсь площини проекцій, то пе-

рпендикуляр до такої площини є

лінією рівня, паралельною відпо-

K2

3

відній площині проекцій. На рис.

2

f2

4.25 показано проведення через

точку М(М1, М2)

перпендикуляра

h2

12

22

n(n1, n2) до фронтально проекцію-

a2

n2

b2

вальної площини

( 2). Перпенди-

куляр n – це фронтальна пряма.

Якщо через якусь точку не-

обхідно провести площину, перпе-

K1

b1

нди-кулярну до заданої прямої, то

h1

21

через цю точку слід провести го-

11

ризонталь і фронталь так, щоб го-

ризонтальна проекція горизонталі

a1

f1

31

була перпендикулярною до гори-

n1

зонтальної проекції прямої, а фро-

нтальна проекція фронталі – пер-

пендикулярною до фронтальної

Рис. 4.24

проекції прямої. Такий приклад

показано на рис. 4.26, де через точку А(А1, А2)

проведена площина

(h, f)

перпендикулярно до прямої l(l1, l2): h1

l1, f2

l2.

4.6 Взаємно перпендикулярні площини

через перпендикуляр до іншої, або як-

що одна із них перпендикулярна до

f2

прямої, що належить другій площині,

n2

чи їй паралельній.

l2

На рис. 4.27 показано, як через пряму

M2

h2

A2

m(m1, m2) проведена площина (m; n)

2

перпендикулярнo до площини

Г(a; b). У площині Г проведено горизо-

f1

A1

нталь h(h1, h2) і фронталь f(f1, f2). Через

n1

l1

M1

точку А(А1, А2), довільно взяту на пря-

h1

мій l, проведено перпендикуляр n(n1,

n2) до площини Г, як це було зроблено

на рис. 4.24.

Рис. 4.25

Рис. 4.26

Може виникнути потреба у проведенні площини через якусь точку

перпендикулярно до заданої площини. У цьому разі через точку проводять

горизонталь і фронталь, які перпендикулярні до будь-якої прямої заданої

площини. Такий приклад показано на рис. 4.28: M

f (M1 f1, M2

f2, f2

l2),

M

h (M1

h1, M2 h2, h1

l1).

(h, f)

(L; l).

a

n2

2

1

b2

h2

2

f2

22

32

L2

m2

l2

h2

M2

f2

A2

n1

f1

M1

f1

l1

b1

m1

31

L

2

1

h1

1

h1

A

a

11

1

1

Рис. 4.27

Рис. 4.28

Запитання для самоперевірки

рис. 5.1. Тут зображено три множини

елементів Ф1, Ф2, Ф3, кожна з яких

1

має свій напрямок штрихування. В

1 3

1 2

зонах, де є штрихування двох різних

2

напрямків містяться спільні елемен-

ти відповідних множин. І тільки в

зоні, де мають місце усі три напрям-

ки штрихування, містяться елементи

3

2

3

множин, що відповідають усім трьом

1

2

3

умовам задачі.

Розглянемо декілька прикла-

дів, щоб проілюструвати застосування

Рис. 5.1

геометричних місць для розв’язування задач.

Приклад 1. Провести пряму d, яка була б паралельною осі x12

і пере-

тинала задані прямі a і b (рис. 5.2).

Шукана лінія є лінією перетину двох площин, паралельних осі x12,

одна із яких проходить через пряму а, а друга – через пряму b. Ця пряма

повинна задовольняти три умови – вона має перетинати дві задані прямі

(дві умови) і бути паралельною осі

x12 (третя умова).

m2

Спочатку створюємо геомет-

1

ричне місце прямих, що перетина-

22

a2

2

b

2

ють пряму b. Таким місцем може

d2

2

бути будь-яка площина, що прохо-

M2

N2

дить через пряму b. А щоб ця пло-

щина містила у собі прямі, парале-

32

льні осі x12, проводимо через будь-

x

яку точку, наприклад, 1(11, 12)

1 2

прямої b пряму m(m1, m2) парале-

m1

льно осі x12 (m1 || x12, m2||

x12).

11

Площина Δ(b; m) містить у собі

21

d1

b1

прямі, які паралельні осі x12 і пере-

M1

тинають пряму b. Далі будуємо то-

N1

чку перетину

прямої

а(a1,

a2) з

a1

31

площиною Δ(b; m). Для цього че-

рез пряму а проводимо фронтально

проекціювальну площину Σ(Σ2) і

Рис. 5.2

будуємо лінію 23(2131, 2232) перетину площин

Σ і

(2 = m Σ; 3=b Σ).

Позначаємо точку М(М1, М2) перетину прямої 23 з прямою а. Через точку

М проводимо шукану пряму d(d1 || x12; d2 || x12), яка перетинає пряму b у то-

чці N(N1, N2).

Приклад 2. У площині

Г(a || b) побудувати геомет-

N2

ричне місце точок, рівновід-

f2

32

b2

далених від двох заданих то-

чок А і В (рис. 5.3).

4222

Шуканим геометричним

A2

h2

2

місцем точок є пряма – лінія

O2

B2

M

2

1

a2

перетину заданої площини Г з

2

площиною, яка перпендику-

лярна до відрізка прямої АВ і

B1

b1

проходить через його середи-

f

N

31

41

O1

1

ну. Отже спочатку відкидаємо

1

1

h1

умову належності шуканого

M1

21

геометричного

місця

точок

A1

1

a

1

площині Г і створюємо еоме-

1

тричне місце точок, рівновід-

далених від точок А і В. Тобто

Рис. 5.3

сполучаємо точки А і В відрізком АВ(А1В1, А2В2) і через його середину

проводимо

площину Θ(f;

h),

перпендикулярну

до

нього

(f2

A2B2,

h1

A1B1). Площина Θ містить у собі всі точки івновіддалені від точок А і

В. Із цієї множини точок необхідно виділити ті, що належать площині Г,

тобто необхідно побудувати лінію перетину площин Г і Θ. Для цього по-

будуємо дві точки М і N перетину горизонталі h(h1, h2) i фронталі f(f1, f2) з

площиною Г:

1. h

Σ

( h2 = Σ2)

2. Σ Г = 12

(Σ а = 1; Σ b = 2)

3. 12 h = M

(1121 h1 = M1, M2 h2)

4. f

(f1 =

1)

5.

Г = 34 (

а = 3;

b =4)

6. 34 f = N

(3242 f2 = N2, N1 f1)

Пряма, яка проходить через точки M i N, є шуканим геометричним

місцем точок, які належать площині Г і однаково віддалені від точок А і В.

Приклад 3. У площинах проекцій П1 і П2

знайти точки, рівновіддале-

ні від трьох точок А, В, і С (рис. 5.4).

Шукані точки – це фронтальний і горизонтальний сліди прямої, всі

точки якої рівновіддалені від заданих точок А, В, і С. Ця пряма є лінією

перетину трьох площин, які проходять через середини відрізків АВ, ВС і

АС перпендикулярно до них.

Отже спочатку

проводимо площину

F2

0

B

Г(f ; h ), перпендикуля-

0

f2

f2

2

рну, наприклад, до від-

42

d2

32

різка АВ, через його се-

12

редину – точку 1(11, 12).

C2

Для цього через точку 1

проводимо фронталь

x

x

f

0

h

0

A2

F

H2

f

0

h

0

x

b(12

b2, b2

A2B2, 11

12

1

2

1

1

2

41

d1

22

C

b1, b1 || x12). Знаходи-

1

мо горизонтальний слід

h1

0

2(21, 22) цієї фронталі.

A

0

Через точку 21 проводи-

31

h1

1

мо горизонтальний слід

11

2

h 1

площини Г до пере-

1

B1

H1

тину у точці Г12 з віссю

x12. Через точку Г12

ризонталі і через нього проводимо фронтальний слід f 2 ( 42

f

2) пло-

щини

. Знаходимо точку

12

перетину площини

з віссю x12. Через точку

12 проводимо горизонтальний слід h 1 площини

перпендикулярно до

B1C1.

Точки F(F1, F2) i

H(H1, H2) перетину однойменних слідів f

2 i f 2 ,

h 1 i h 1 площин Г і

є шуканими точками, які належать відповідно пло-

щинам П2

і П1

та віддалені від заданих точок А, В і С на однакових відста-

нях.

Приклад 4. У площині Г(f ; h ) побудувати геометричне місце точок,

рівновіддалених від площин проекцій П1

та П2 (рис. 5.5).

Усі точки, які однаково віддалені від площин проекцій П1

та П2, роз-

ташовані у двох бісекторних площинах – непарній І-го і ІІІ-го квадрантів

та парній ІІ-го і ІV-го квадрантів. А точки, які належать площині Г й одна-

ково віддалені від площин П1

та П2

належать двом прямим – лініям пере-

тину площини Г з названими бісекторними площинами. Ці прямі прохо-

дять через точку Г12 перетину площини Г з віссю x12.

Непарну

бісекторну

0

M1 M2

22

f2

b1 b2 h'2

площину задаємо прямою

2

а(а1, а2),

паралельною осі

a

1

h2

P2

2

х12 і рівновіддаленою від

2

2

площин П1 та П2 (її проек-

ції а1

і а2

однаково відда-

лені від осі х12), та розта-

x

21

f1

0

h20

шованою у І-му квадранті.

1 2

11

Потім перетинаємо цю бі-

12

h'1

секторну

площину і

пло-

h1

щину Г допоміжною гори-

a1

зонтальною

площиною

( 2),

яка проходить через

0

P1

пряму

а( 2 = а2). Отже,

h1

площина

перетинає бісек-

Рис. 5.5

торну площину по прямій а, і площину Г – по її горизонталі h(h1, h2).

У перетині прямої а

з горизонталлю h отримуємо точку Р(Р1, Р2).

Сполучаємо точку Р з точкою Г12. Пряма Г12Р містить у собі точки, які роз-

ташовані у площині Г (у І та ІІІ квадрантах) і однаково віддалені від пло-

щин П1 і П2.

Тепер задаємо парну бісекторну площину віссю x12 і профільно про-

екціювальною прямою b(b1, b2), розташованою у ІІ-му квадранті. ЇЇ фрон-

тальна і горизонтальна проекції збігаються. Тепер перетинаємо площину Г

та парну бісекторну площини допоміжною горизонтальною площиною

( 2),

яка проходить через пряму b.

Площина

перетинає бісекторну

площину по прямій b, а площину Г по її горизонталі h (h 1, h 2). У перетині

прямої b і горизонталі h маємо точку М(М1, М2). Сполучаємо точки М і Г12

прямою лінією. Пряма Г12М(Г12М1, Г12М2) містить у собі точки, що нале-

D2

G2

b2

m2

C2

F2

n2

a2

A

B

2

2

E

H2

2

E

H1

a1=b1

n1

B1

1

D1

m1

A1

C1

F1

г

д

a

б

в

K2

M2

b

k

P2

S2

W2

2

2

U2

d2

N2

c

2

Q2

R

2

V2

L2

M1

b1

T2

P1

R1

V1

c1

L

k1

U1

N1

Q1

T1

d1

K1

1

S1

е

ж

з

и

і

Рис. 6.1