Литература Инж графика / 02 Коломиец НГ 1

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

ДОЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

НАРИСНА ГЕОМЕТРІЯ

(Навчальний посібник)

- 2007 -

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

ДОЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

НАРИСНА ГЕОМЕТРІЯ

(Навчальний посібник)

РОЗГЛЯНУТО на засіданні кафедри нарисної

геометрії та інженерної графіки Протокол № 7 від 03.03.2007 р.

З А Т В Е РД Ж Е Н О

на засіданні навчально – видавничої ради ДонНТУ Протокол № 6 від 24.04.2007 р.

- 2007 -

УДК 514.18(075.8)

Н28

Нарисна геометрія (навчальний посібник) /Укл.: Катькалова О. А., Коломієць А. Ф., Пастернак Д. М., Скідан І. А. – Донецьк: ДВНЗ ДонНТУ.

2007. – 100 с., іл.

Посібник містить навчальний матеріал з нарисної геометрії за темами „Точка. Пряма. Площина.”, „Способи перетворення креслень” та „Перетин поверхонь багатогранників з площиною і між собою” . Для студентів вищих технічних навчальних закладів III – IV рівнів акредитації напрямку підготовки „Інженерна механіка”.

© Катькалова О. А., Коломієць А. Ф., Пастернак Д. М., Скідан І. А.

УМОВНІ ПОЗНАЧЕННЯ

1.Точки простору (оригінали) позначаються великими літерами латиниці A, B, C, D, E та цифрами 1, 2, 3.

2.Лінії (прямі і криві) – малими літерами латиниці a, b, c, d.

3.Площини та поверхні – великими літерами грецької абетки – Γ, Δ,Λ, Θ, Σ, Φ, Ψ, Ω.

4.Площини проекцій – Великими літерами грецької абетки з відповідними індексами Π1, П2, П3 (основні) та додаткові П4, П5, П6.

5.Осі проекцій – малими літерами латиниці з відповідними інде-

ксами x12, y13, z23, x14, x45.

6. Проекції точок позначаються тими самими літерами чи цифрами, якими позначені точки-оригінали, з відповідними індексами:

горизонтальні – А1, В1, С1, 11, 21, 31; фронтальні – А2, В2, С2, 12, 22, 32; профільні – А3, В3, С3, 13, 23, 33; додаткові – А4, В4, С4, 14, 24, 34;

7. Проекції ліній позначаються тими самими літерами, якими позначені лінії-оригінали, з відповідними індексами:

горизонтальні – a1, b1, c1, d1,...;

фронтальні – a2, b2, c2, d2,...; профільні – a3, b3, c3, d3,...; додаткові – a4, b4, c4, d4,...;

8.Проекції горизонтальних прямих – h1, h2, h3, h4; h11, h12, h13, h14.

9.Проекції фронтальних прямих – f1, f2, f3, f4; f11, f12, f13, f14.

10.Проекції профільних прямих – p1, p2, p3, p4.

11.Сліди прямих – F, H, P; їхні проекції – F1, F2, F3; H1, H2, H3; P1.

12.Сліди площин – f0, h0, p0; їхні проекції – f01, f02, f03; h01, h02, h03; p01.

13.Точки сходу слідів площин позначаються літерами, якими по-

значені площини, з відповідними індексами – Γx, x, Λx; Γy, y; Γя, z.

14.Проекції переміщених фігур - A1 , A1 , m2 , m2 .

17.Перетинання фігур позначається символом .

18.Результат геометричних операцій позначається символом =.

19.Подання площин на кресленні:

Γ(a; b) – площина подана прямими a i b, що перетинаються;

Δ(cd) – площина подана паралельними прямими c i d; Σ( ABC) – площина подана трикутником ABC;

Θ(f0, h0) – площина подана слідами f0 i h0.

ВСТУП

Нарисна геометрія та інженерна графіка – це одна із загальноосвітніх дисциплін, які формують у майбутніх фахівців технічне мислення, просторове уявлення і здатність до творчих підходів у розв’язуванні різноманітних технічних задач. Вона містить у собі два розділи: “Нарисна геометрія” і “Інженерна графіка”. Нарисна геометрія є одним із розділів геометрії, в якому вивчаються різноманітні методи відображення просторових форм на площині чи поверхні, а також методи розв’язування задач геометричного характеру за зображеннями на площині чи поверхні. Різні методи відображення просторових форм використовуються залежно від особливостей зображуваних об’єктів. На цей час відомо декілька десятків методів, кожний із яких було створено для певної групи об’єктів.

Серед численних зображень, які є предметом вивчення у нарисній геометрії, особливе місце посідають зображення предметів, які виконуються за особливими правилами за допомогою спеціальних інструментів у відповідності з розмірами предмета – це креслення. Саме креслення та правила їх практичного виконання і оформлення є об’єктом вивчення в інженерної графіки. Нарисна геометрія слугує теоретичною основою інженерної графіки. Не дарма основоположник нарисної геометрії Г. Монж сказав: „Креслення – це мова техніка”, В. І. Курдюмов додав: „..., а нарисна геометрія – граматика цієї мови”.

З появою комп’ютерних технологій значно розширилися можливості розв’язування найскладніших геометричних задач нарисної геометрії і інженерної графіки, прискорилися процеси виготовлення технічної документації, поліпшилися точність та естетичний вигляд документів. У зв’язку з цим у нарисній геометрії з’явилися додаткові розділи – “Обчислювальна геометрія” і “Комп’ютерна графіка”, в яких вивчаються способи комп’ютерного моделювання просторових форм та виготовлення конструкторської і іншої документації. Але сам по собі комп’ютер не може виготовити будь-якого документа. Це лише сучасний досконалий інструмент, який значно підвищує якість креслення та прискорює процес його виготовлення. І керує цим процесом людина, від глибини і широти знань якої залежить, наскільки швидко і якісно виконуються ці документи та загалом – наскільки ефективно використовуються комп’ютерні технології. В сучасних умовах, використовуючи комп’ютерні технології, конструктор може не тільки виконувати креслення, а й керувати процесом виготовлення деталей та складанням механізмів і машин.

Вивчення нарисної геометрії вимагає від студентів напруженої роботи мозку, а це сприяє розвитку просторових уявлень, які конче потрібні для творчої діяльності інженера. Крім того, нарисна геометрія передає у практику деякі свої висновки та правила, за якими виконуються технічні креслення, що сприяє підвищенню точності та виразності документації.

1 ПРОЕКЦІЇ ТОЧКИ

Основним методом нарисної геометрії є метод проекцій. Вивчення цього методу починають з побудови проекцій точки, адже будь-який предмет геометрично можна побудувати із окремих точок. Візьмімо яку-небудь площину П' і точку S, що не належить цій площині, а також точку А (рис. 1.1, а). Через точку А проведемо промінь із точки S до перетину з площиною П'. Точка А' перетину цього променя з площиною П' і є проекцією точки А на площині П' із центра S. Таким чином, П' називається площиною проекцій, S – центром проекцій. Точка S і площина П' складають проекціювальний апарат. Точка А – це точка простору (предмет).

Якщо точка S знаходиться на скінченій відстані від площини П', то

собою і проекціювання називається паралельним, а проекції предметів – відповідно паралельними. У цьому разі задають напрямок проекціювання s

(рис. 1.1, б).

Візьмімо ще одну точку В у просторі і спроекціюємо її теж на площину П'. Дістанемо проекцію В' цієї точки. Уявімо собі, що через точки А і В проходить яка-небудь крива m. Промені, які проходять через точки кривої m, перетинаються з площиною П' у точках, що належать кривій m' - проекції кривої m. При центральному проекціюванні уся неперервна сукупність проекціювальних променів утворює конічну поверхню, тому таке проекціювання називають ще конічним. Якщо ж точка S знаходиться у нескінченості, то проекціювальні промені у своїй сукупності утворюють циліндричну поверхню і таке проекціювання інакше ще називають циліндрич-

ним.

За паралельного проекціювання промені можуть бути перпендикулярними до площини П', тоді проекціювання називається прямокутним або ортогональним, і не перпендикулярними, у цьому разі проекціювання на-

зивається косокутним.

Можна назвати деякі властивості паралельного проекціювання:

а) проекція прямої лінії є пряма лінія (рис. 1.2).

Доведення. Якщо через усі точки прямої АВ провести проекціювальні промені, то у своїй сукупності вони утворять площину, яка перетне площину проекцій по прямій А'В'. Ця пряма і є проекцією прямої АВ;

б) якщо точка Н належить прямій GF, то її

форму. Тому одну проекцію предмета необхідно доповнювати додатковою інформацією, яка б дозволяла однозначно визначати форму предмета та його положення у просторі. Існують різноманітні методи доповнення однокартинного креслення, тобто зараз відомо багато методів моделювання тривимірного простору і реконструювання плоских моделей просторових форм. Випускникам середніх шкіл знайомі 4 – 5 таких методів: проекції на

2 і 3 площини проекцій (вивчали у кресленні), аксонометрія (геометрія та креслення), перспектива (фотографія), проекції з числовими позначками (географічна фізична карта).

Одним із таких методів є найбільш поширений у техніці метод Г. Монжа, який полягає у ортогональному проекціюванні предмета на дві чи три взаємно перпендикулярні площини проекцій. Візьмімо дві взаємно перпендикулярні площини проекцій П1 і П2 (рис. 1.5, а) та точку А. Площина П1 називається горизонтальною площиною проекцій, а П2 – фронтальною площиною проекцій. Спроекціюємо точку А на площини П1 і П2. Тобто із точки А проведемо перпендикуляри до площин П1 і П2. Ці перпендикуляри перетинають площини П1 і П2 у точках відповідно А1 і А2. Точки А1 і А2 за назвами площин П1 і П2 називаються горизонтальною та фронтальною проекціями точки А. Сумістимо площину П1 із площиною П2, обертаючи її

що показано на рис. 1.5, б, називається епюром Г. Монжа, його ще називають ортогональним чи ком-

плексним кресленням точки. На ньому не показують площини П1 та П2. Вважається, що їхні поля збігаються з полем креслення. Відрізок А1А12 дорівнює відстані від точки А до площини П2, а відрізок А2А12 – це відстань від точки А до площини П1. За епюром Г. Монжа можна встановити положення точки А щодо площин П1, П2. Для цього необхідно в точці А1 встановити перпендикуляр до площини П1, а у точці А2 – до площини П2. У перетині цих перпендикулярів знаходиться точка А.