Литература Инж графика / 02 Коломиец НГ 1

D0

E0

N0

F0

M0

A0

B0

P0

E

F2

D2

2

N

2

32

a2

42

b2

C0

22

12

M2

62

52

P2

A2

C2

B2

N1

E1

B1

1

41

31

a1

b1

M

1

1

11

21

A1

D1

P1

F1

1

51

61

C1

Рис. 7.3

S2

a

S2

2

12

32

N2

N

2

A

0

M2

M

P2

62

M

P

0

b2

22

42

A2

B2

S

52

0

C2

S1

C1

A1 B1

1

B1

1

a1

N

0

M

31

0

N1

A1

M1

S1

B

0

61

1

A0

P

0

21

51

41

P1

b1

C

C0

1

Рис. 7. 4

проводимо фронтально проецкціювльну площину

(∆2), яка перетинає прямі а

та b у точках 1(11, 12) і 2 (21, 22) . Лінія 12 (1121, 1222)

це лінія перетину площи-

ни з площиною Г. Вона перетинає ребро АS у точці М(М1, М2) точці пере-

тину ребра АS з площиною Г.

ному місці проводимо вертикальний відрізок S 1 S 2

, довжина якого дорівнює

висоті піраміди. Відрізок S 1 S 2

різниця висот для всіх бічних ребер піраміди.

Перпендикулярно до відрізка

S 1 S 2 від точки

S 1 відкладаємо відрізки

S 1

1=S1A1, S 1 B 1=S1B1, S 1 C 1=S1C1. Відрізки A 1 S 2, B 1 S 2, C 1 S 2

це неспот-

A

ворені зображення бічних ребер AS, BS, CS. На відрізках A 1 S 2, B 1 S 2, C 1 S 2

за

допомогою горизонтальних ліній знаходимо відповідно точки M , N ,

P

Далі будуємо на вільному місці розгортку поверхні піраміди способом

трикутників.

На довільно проведеному відрізку А0S0 = A 1 S 2 будуємо

трикутник

А0С0S0, у якого А0S0 = A 1 S 2, C0S0 = C 1 S 2: із точки А0 циркулем радіусом А1С1

проводимо коротку дугу і на ній робимо засічку у точці С0 радіусом S0C0

=

C 1 S 2. Потім аналогічно на відрізку C0S0, будуємо трикутник C0S0B0 (C0B0

=

C1B1, B0S0 = B 1 S 2) , а далі - трикутник B0A0S0 (B0A0 = B1A1, A0S0 = A 1 S 2).

На зображення A0S0, B0S0, C0S0 переносимо точки М0, N0,

Р0: A0M0

B2

f2

2

z2 3

B3

N3

63

A0

M0

50

22

N2

62

A2

12

2

M2

A3

M3

53

C2

P2

52

C3

P3

73

2

60

32

72

B0

N0

R2

2

D2

42

82

D3

R3

83

x1 2

f

1

h

2

C0

70

P0

41

31

11

21

M1

51

A1

D0

R0

80

D1

81

R1

N1

61

B1

h1

C

1

P1

71

A0

M0

50

y1 3

Рис. 7.5

поміжної площини, яка проводиться через задану пряму.

Методика побудови то-

S

чок перетину прямої з багато-

гранником у загальному випад-

ку показана на рис. 8.1. Через

3

пряму l, яка перетинається з

l

поверхнею Ф(SABC), проведе-

1

N

на площина . Ця площина пе-

ретинає багатогранник по лінії

M

2

123. Точки M i N, у яких пряма

C

l перетинає лінію 123, є точка- A

ми перетину прямої l з багатог-

ранником.

На рис. 8.2 показано по-

B

будову точок перетину прямої l

з поверхнею піраміди SABCD.

Через пряму l проводимо

Рис. 8.1

фронтально проекціювальну

площину

(l2= 2) і будуємо лінію 1234(11213141, 12223242) перетину цієї

площини з поверхнею піраміди: 1=

AS(12=

2 A2S2), 2=

BS(22= 2

B2S2), 3=

CS(32= 2 C2S2), 4=

DS(42=

2 D2S2

S2

2

l

2

1

22

32

N2

l

2

2

2

M2

N

2

52

2

32

2

12

42

A2

M2

B2

C2

A2

D2

B2

C2

C1

D1

31

41

11

C

1

A1

N1

M1

31

A

1

M1

5

l1

1

1

l1

1

S1

N1

B1

21

21

B1

Рис. 8.2

Рис. 8.3

При цьому багатократно розв’язується задача на перетин двох пло-

щин.

Спосiб ребер полягає у побудовi вершин ламаної лiнiї перетину як

точок перетину ребер першого багатогранника з гранями другого, а потiм,

навпаки, ребер другого багатогранника з гранями першого. У цьому

випадку багатократно розв’язується задача на побудову точок перетину

прямої з багатогранником. У багатьох випадках задача розв’язується

комбiновано iз застосуванням способу граней та способу ребер.

У залежностi вiд положення багатогранникiв по вiдношенню до

площин проекцiй побудова їхньої лiнiї перетину може бути простою чи

досить складною. Можна видiлити три характерних випадки:

1.Гранi

агатогранникiв,

що

b2

M2

R2

перетинаються, перебувають у рiзнойменно

L2

проекціювальному положенні (рис. 8.4).

Розв’язання задачi у цьому випадку

зводиться

до

розпiзнання та позначення

a2

K2

P2

двох проекцiй лiнiї перетину, що вже є, та,

якщо необхiдно, побудови третьої її

проекцiї.

O2

Так, фронтальна проекцiя лiнiї

перетину збігається з проекцiями бiчних

d2

c2

N2

Q2 e

граней

призми abc, а

горизонтальна

–з

f

2

проекцiями граней def. Кiлькiсть вершин та

2

ланок

ламаної

лiнiї

перетину

легко

пiдрахувати за числом точок перетину

ребер однiєї призми з iншою i навпаки.

P1

R

Q1

Розглядаючи

двi

проекцiї

призм

,

які

d

1

перетинаються, бачимо, що лiнiя їхнього

1

e1

перетину

розпадається

на

двi

частини:

K1

N

передня

частина

–

це

просторова

1

п’ятиланкова ламана лiнiя. Позначимо її

буквами

KLMNO

(K1L1M1N1O1,

M1

K2L2M2N2O2). Друга частина лiнiї

перетину

повнiстю належить однiй гранi df вертика-

льної призми i є трикутником PQR (P1Q1R1,

a1

f1 L1

O1

c1

P2Q2R2). Побудову профiльної проекцiї лiнiї

b1

перетину тут не наводимо,

сподiваючись,

що читач зробить це самостiйно.

Рис. 8.4

2. Гранi одного багатогранника

перебуваютьу

проекціювальному положенні, а другого –у

загальному. У

цьому випадку розв’язання задачi зводиться до побудови за одною про-

екцiєю лiнiї перетину, що є на вихідних проекціях, iнших її проекцiй, ви-

ходячи iз умови належностi

цiєї лiнiї

поверхнi багатогранника. Так, на-

приклад,

фронтальна проекція лінії

перетину

призми def із

пірамідою

SABC (рис. 8.5) збігається з прое-

кціями бічних граней призми. Го-

S2

ризонтальна проекція ліній пере-

тину будується за її належністю

поверхні піраміди. Розв’язання

задач,

аналогічних до наведеної

G2 M2

e2

H2 K2

на рис. 9.5, можна розглядати як

побудову лінії перетину способа-

2

12

d2

2

ми граней

та

ребер.

Так,

ланки

2

L2

GH, KL, LM побудовані як лінії

R2

62

перетину верхньої грані призми з

гранями піраміди. Для цього через

2

32

52

42

верхню грань призми проводимо

f2

N2

P2

горизонтальну площину

2), яка

A2

C2

B2

перетинає піраміду по трикутнику

12L (1121L1,1222L2). Частини сто-

B1

рін цього трикутника, що розта-

A1

шовані

у

межах

верхньої

грані

3

G

P

H1

41

призми і обмежені точками пере-

1

11

1

1

62

21

тину їх з ребрами призми є ланка-

M1

K1

ми лінії перетину. Позначимо їх

S1

буквами

GH(G1H1,

G2H2),

KL(K1L1, K2L2), LM(L1M1, L2M2).

N1

Точки

перетину

нижнього

ребра

призми

з

пірамідою

побудовані

L1

R1

способом ребер. Для цього через

51

ребро призми проводимо горизо-

d1

f1

e1

C

нтальну площину

(

2), яка пере-

1

тинає

піраміду

по

трикутнику

345(314151, 324252).

Рис. 8.5

Точки N(N1, N2) та P(P1, P2) перетину

цього трикутника з ребром призми f(f1, f2) і є точками перетину цього реб-

ра з пірамідою. Горизонтальна проекція точки

R(R1, R2) перетину ребра

SB піраміди з нижньою гранню призми побудована за допомогою горизо-

нталі GR(G1R1, G2R2).

3. Грані обох багатогранників перебувають у загальному положенні

по відношенню до площин проекцій. У цьому разі задача розв’язується, як

правило, способом ребер. Така задача наведена на рис. 9.6, де побудована

лінія перетину призми def з пірамідою SABC. Так точки перетину ребра

SA(S1A1, S2A2)

піраміди з призмою побудовані за допомогою допоміжної

площини

( 2),

проведеної через назване ребро. Площина

перетинає

призму по трикутнику

123(112131, 122232). Точки

G(G1, G2) та

H(H1, H2)

перетину цього трикутника з ребром

SA і є точками перетину його з при-

змою. Далі через ребро піраміди SB проводимо

фронтально проекціюва-

льну

площину

( 2),

яка перетинає призму по трикутнику 456(415161,

425262). Ребро SB перетинає трикутник 456 (видно на горизонтальній прое-

кції) у точках I(I1, I2) та J(J1, J2). Це і є точки перетину ребра SB з призмою.

Ребро SC пiрамiди не перетинається з призмою. Це можна взнати,

якщо спробувати побудувати точки перетину його з призмою. Для цього

через ребро SC слiд провести допомiжну площину, яка перетне призму по

деякiй фiгурi.

Побудована фiгура не перетне ребро SC. Це i означає, що ребро SC

не перетинається з призмою .

Таким

же

чи-

S2

ном

можна

встано-

2

вити,

що ребро e(e1,

82

d

2

2

42

92

12

e2)

призми

не

пере-

72

L2

K2

тинається

з

пiрамiдою.

G

2

I2

e2

52

Точки

К(К1,

K2)

та l(l1,

l2)

пере-

22

J2

тину

ребра

d(d1,

d2)

f2

M2

122

2

призми

з пiрамiдою

H2

N2

62 112

побудованi

за

допо-

3

10

2

C2

могою

допомiжної

2

2

A2

B2

площини

( 2),

яка

перетинає

пiрамiду

31

121

C1

по

трикутнику

61

789(718191,

728292):

f1

A1

M1

81

N1

K, L = d∩ 789.