Литература Инж графика / 02 Коломиец НГ 1

Якщо перетинаються пiраміди i призми (у будь-якому поєднаннi), основи яких належать однiй площинi, то побудова лiнiї їх перетину полегшується i заздалегiдь можна сказати, що являє собою ця лiнiя, тобто чи не розпадається вона на окремi частини i якi ребра багатогранникiв перетинаються з iншим багатогранником, а якi не перетинаються. Наприклад, лiнiя перетину двох пiрамiд, основи яких належать горизонтальнiй площинi проекцiй, може бути легко побудована способом, який у лiтературi називається способом площини, що обертається (чи гойдається) (рис. 8.7).

У цьому випадку задача розв’язується способом ребер (у загальному розумiннi). Але допомiжнi площини, що проводяться через ребра, займають загальне положення i проходять через вершини обох пiрамiд, тобто через лiнiю SS′(S1S′1, S2S′2). Тому через вершини пiрамiд проводимо пряму SS′ i знаходимо точку перетину М(М1, М2) її з площиною основ пiрамiд. Сполучаємо точку А(А 1 , А2) з точкою М(М 1 , М2). Прямi АМ (А 1 М 1 , А2М2) та SS′(S 1 S′1 , S2S′2) визначають допомiжну площину Г(SS′,

АМ), яка проведена через ребро SA(S1A1, S2A2). Лiнiя АМ (А1М1, А2М2) є лiнiєю перетину цiєї площини з площиною основ пiрамiд. Ця лiнiя

перетинає основу DEF(D1E1F1, D2E2F2) в точках 1(11) i 2(21). Сполучивши цi точки з вершиною S′(S′1, S′2), маємо лiнiї 1S(11S2) i 2S′(2S′1), по яких бiчна поверхня пiраміди S′DEF перетинається з вище названою допомiжною площиною Г(SS′, AM). Точки К(К1, К2) i L(L1, L2) перетину ребра SA з лiнiями 1S′ i 2S′ є точками перетину цього ребра з пiрамiдою

S′DEF.

Потiм проводимо вiдрiзок прямої ВМ(В1 М1) i точки 3(31) та 4(41) перетину його з основою DEF(D1E1F1) сполучаємо з вершиною S′(S′1).

Точки Р(Р1, Р2) та Q(Q1, Q2) (P=BS∩3S′, Q=BS∩4S ) є точками пере-

тину ребра BS з пірамідою S′DEF. Таким cамим чином знаходимо точки R (R1,R2) та Т(T1,T2) перетину ребра DS(D1S1, D2S2) з пiрамiдою SABC:

DS′ (SS′, DM) 56S = ∩SABC R, T = DS′∩ 56S

Фронтальнi проекцiї точок К, L, P, Q, R, T знайденi перенесенням за лiнiями зв’язку на фронтальнi проекцiї вiдповiдних ребер.

За положенням прямих АМ (А1М1) i DМ(D1M1) по вiдношенню до основ пiрамiд видно, що лiнiя перетину являє собою одну просторову замкнену ламану лiнiю ( цей випадок у лiтературi названо "врубкою"). Ребра CS, ES′ та FS′ не перетинаються з вiдповiдними пiрамiдами. Це видно з того, що пряма СМ не перетинає основи DEF, а прямi ЕМ та FM не перетинають основу АВС. Названi прямi не показанi на кресленнi, бо це очевидно.

Точки K, L, P, Q, R, T сполучаються вiдрiзками прямих з урахуванням їх видимостi суцiльними товстими чи штриховими лiнiями. Так, наприклад,

призми DEF(D1E1F1) у точках 1(11) та 2(21). Через точки 1 та 2 проводимо прямi (на горизонтальнiй проекцiї) паралельно бiчним ребрам призми до перетину їх з ребром AS пiрамiди у точках J(J1) та N(N1). Ці точки є точками перетину ребра AS пiрамiди з призмою.

За лiнiями зв’язку переносимо їх на фронтальну проекцiю ребра АS(A2S2). Аналогiчно побудованi iншi точки перетину ребер. Покажемо це

P=EH 5S

Q=EH 6S

P, Q=EH SABC

R=FI 8S

Т =FI 7S

R, T=FI SABC

Фронтальнi проекцiї точок L, N, P, Q, R, T знаходимо за лiнiями зв’язку на вiдповiдниих фронтальних проекцiях ребер. Cполучаємо пари точок вiдрiзками прямих з урахуванням їх видимостi за названим ранiше принципом належностi цих пар однiй грані пiрамiди i однiй гранi призми.

Побудова лінії перетину двох призм, основи яких розташованi в однiй площинi, доцiльно виконувати за допомогою допомiжних площин, паралельних бiчним ребрам обох призм (рис. 9.9). На вiльному мiсцi недалеко вiд заданих призм проводимо площину (а; b) (аАD, b GJ) i в цiй площинi проводимо пряму 12(1121, 1212), паралельну площинi основ призм. Площина називається площиною паралелiзму. Потiм через точку А(А1) проводимо пряму h(h1) паралельну прямiй 12(1121). Ця пряма у сукупностi з ребром АD(А1D1) визначає допомiжну площину Г(h, АD), яку проведено через ребро АD, i є лiнiєю перетину названої допомiжної площини з площиною основ призм. У перетинi її з основою GHI(G1H1I1) маємо точки 3(31) i 4(41). Через цi точки проводимо прямi, паралельнi бiчним ребрам призми GHIJKL(G1H1I1J1K1L1), до перетину в точках М(М1) та N(N1) з ребром АD(A1D1). За лiнiями зв’язку знаходимо фронтальнi проекцiї М2 i N2 точок М i N, які є точками перетину ребра АD з призмою GHIJKL. Аналогiчно будують iншi точки. Через точку В(В1) проводимо пряму h′(h′1), паралельну прямiй 12(1121). Вона перетинає основу GHI(G1H1I1) у точках 5(51) та 6(61), через якi проводимо лiнiї перетину допомiжної площини

1) h1′′=G1, h1′′ 1121 1) h1′′′ H1,h1′′′ 1121

81S1== (h′′, GJ) ACED T, U=HK ABCDEF

З положення прямих h(h1) i h3(h13) щодо основ призм видно, що їхня лiнiя перетину є однiєю просторовою замкненою лiнiією, а ребра CE(C1E1, С2E2) та IL(I1L1, I2L2) не беруть участi у перетинi призми. Точки перетину ребер сполучені мiж собою вiдрiзками прямих лiнiй з урахуванням їхньої видимостi, як показано на рис. 8.9.

Запитання для самоперевірки

1.Якими способами будуються точки перетину прямої лінії з поверхнею багатогранника у загальному випадку?

2.Що являє собою лінія перетину двох багатогранників?

3.Які типові задачі на побудову проекцій лінії перетину двох багатогранників можна навести залежно від положення їх щодо площин проекцій?

4.Якими способами будуються проекції лінії перетину двох багатогранників залежно від положення їх щодо площин проекцій?

5.У чому полягають способи ребер і граней та в яких випадках вони використовуються для побудови ліній перетину багатогранників?

6.Як використовується спосіб ребер для побудови ліній перетину пірамід і призм у будь-яких поєднаннях у випадках, коли їхні основи належать одній площині?

КОРОТКА ІСТОРИЧНА ДОВІДКА

Ще в стародавні часи люди прикрашали своє житло, зображуючи на стінах різні події свого життя. Разом з цими спробами виникла потреба у створенні правил побудови таких зображень. Так виник метод проекцій. Цей метод застосовували для побудови зображень предметів, які відповідали б видимим формам цих предметів. Тому спочатку розвивається перспектива, а потім – ортогональні проекції і аксонометрія. У ІІІ ст. до н. е. грецький математик Евклід у своїй праці „Оптика” розглянув декілька теорем і аксіом „про умови бачення предметів”. Римський архітектор Вітрувій у своєму трактаті „Десять книг про архітектуру” розглянув деякі задачі перспективи, застосувавши поняття „головна точка”, „точка зору”, горизонтальні і фронтальні проекції предметів (без проекційного зв’язку).

Зодчі Київської Русі створили такі всесвітньо відомі пам’ятки архітектури, як Софія Київська, Золоті Ворота, які і зараз викликають захоплення. Правила будівництва були викладені в „Будівельному статуті” та в Руській Правді (1020 р.) Ярослава Мудрого. Саме там були наведені зображення, побудовані за проекційним принципом.

Значного розвитку методи зображень зазнали в епоху Відродження. У цей час видатні праці з теорії перспективи були написані Альберті (1404

– 1472 рр.), Леонардо да Вінчі (1452 – 1519 рр.), Дюрером (1471 – 1528 рр.), Г. Убальді (1545 – 1607 рр.), Дезаргом (1593 – 1662 рр.).

УСтародавній Русі за свідченнями пам’ятників старовини ХІV – XVI ст.ст. (мініатюри в рукописних книгах, фрески, ікони) застосовувалися методи зображень, близькі до сучасних перспективи та аксонометрії.

З розвитком економіки та міжнародних зв’язків з’являються нові зображення. Про це свідчать, наприклад, плани м. Пскова ХVI ст., план Москви 1619 р., „Чертежная книга городов и земель Сибири”, яка була укладена Ремезовим у 1701 р.

УXVIII ст. в Росії виконувалися різноманітні плани та креслення із застосуванням ортогональних проекцій: будівельні, гідротехнічні, суднобудівельні та ін. Серед них можна назвати креслення в книзі „Новая манера укрепления городов” (1711 р.), креслення Єкатеринбургзької фортеці (1726 р.), „Молотовой фабрики” (1741 р.), парової машини І. І. Ползунова (1763 р.), креслення І. П. Кулібіна (1735 – 1818 рр.), архітекторів В. І. Баженова, М. Ф. Казакова та ін.

Способи точного розв’язування різноманітних графічних задач та прийоми застосування креслярських інструментів описані в книзі „Приемы циркуля и линейки или избраннейшее начало в математических искусствах, им же возможно легким и новым способом доступити землемерия и иных из оного происходящих искусств”, виданої у 1725 р. в Росії.

Отже до кінця XVIII ст. накопичився величезний матеріал з проекційних методів. Одначе ці методи були розрізнені, не об’єднані

загальною теорією і почасти були тільки способами розв’язання окремих практичних задач. Французький геометр Гаспар Монж (1746 -1818 рр.) об’єднав ці методи у своїй праці „Geometrie descriptive” (1799 р.), започаткувавши існування нарисної геометрії як науки. Метод ортогональних проекцій на дві площини (метод Монжа) до цього часу є основним методом побудови інженерно-технічних креслень. М. Шаль з цього приводу говорить: „З появою нарисної геометрії миттєво розширилась як за поняттями так за засобами чиста геометрія, яка близько століття залишалася в ігноруванні, - наука, що прославила Евкліда, Архімеда, Аполлонія, яка була в руках Галілея, Кеплера, Паскаля, Гюйгенса єдиним знаряддям у їхніх великих відкриттях законів природи, в решті решт, наука, яка створила безсмертні „Principia” Ньютона. Нарисна геометрія підготувала ґрунт для розквіту геометричних знань та появи більш загальної науки – проективної геометрії.

В Росії викладання нарисної геометрії почалося з 1810 р. в С.- Петербурзькому інституті корпусу шляхів сполучення. Спочатку нарисну геометрію викладали французькі спеціалісти Фабр і Потьє французькою мовою. У 1818 р. дисципліну став викладати Яків Олександрович Севаст’янов (1796 – 1849 рр.) російською мовою. У 1816 р. він переклав курс Потьє на російську мову, а в 1821 р. опублікував укладений ним курс „Основания начертательной геометрии”, започаткувавши тим самим вітчизняну літературу з цього предмета. У 1831 р. Севаст’янов видав дві книги „Приложения начертательной геометрии”. Своєю діяльністю він сприяв швидкому поширенню в Росії нарисної геометрії, яка стала до кінця ХІХ ст. обов’язковим предметом майже в усіх технічних навчальних закладах. Цьому сприяла і та обставина, що в Росії на момент виникнення нарисної геометрії були накопичені великі знання з проекційних методів.

Академік І. І. Сомов (1815 – 1876 рр.) вперше російською мовою у своїй книзі „Начертательная геометрия” (1862 р.) виклав метод заміни площин проекцій.

Видатний вклад у розвиток теорії нарисної геометрії внесли професори Н. І. Макаров (1824 – 1904 рр.) та В. І. Курдюмов (1853 – 1904 рр.). Макаров у своїй книзі „Начертательная геометрия” ( 1870 р.) детально виклав метод заміни площин проекцій та теоретично обґрунтував викладення ізометричної проекції як окремий випадок прямокутної аксонометрії („Приложения начертательной геометрии”, 1885 р.). В. І. Курдюмову належить капітальна праця „Курс начертательной геометрии” (виданий окремими частинами в період з 1895 по 1905 р.), який по праву вважається класичним і завершує столітній етап наукового розвитку і викладання нарисної геометрії в Росії. В ній теорія нарисної геометрії набула найбільш повного розвитку і відображення.

Академік Є. С. Федоров зробив значний внесок у розвиток теорії зображень точок простору на площині (1907 – 1909 рр.) та нової геометрії 1907, 1912 і 1917 рр.). Розробці теорії методів зображень та питань застосування нарисної геометрії у різних галузях науки і техніки

присвячена значна частина праць професорів М. О. Риніна (1877 – 1942

рр.), А. К. Власова (1868 – 1922 рр.) та Н. О. Глаголєв (1888 – 1945 рр.). У

30 – 40 – ві роки на фізико-математичних факультетах університетів та педагогічних інститутів, а також у деяких вищих технічних навчальних закладах нарисна геометрія викладалася на проективній основі.

У колишньому Радянському Союзі розвиток нарисної геометрії характеризувався широким залученням працівників кафедр нарисної геометрії та інженерної графіки до науково-дослідної роботи а також до участі в теоретичних семінарах (у Москві, Ленінграді, Києві, Харкові, Куйбишеві, Тбілісі та інших містах), постановкою та розв’язанням найважливіших теоретичних питань в галузі аксонометрії, перспективи, теорії поверхонь, теорії проекційних методів, геометричного моделювання, кібернетики графіки, багатовимірної нарисної геометрії і питань застосування у різних галузях науки і техніки та ін.

Цей короткий перелік напрямків досліджень свідчить про те, що сучасна нарисна геометрія із науки, яка раніше відігравала допоміжну роль для креслення, перетворилася, з одного боку, на науку, що знаходить застосування в усіх напрямках техніки, і, з іншого – в математичну науку, яка широко використовує апарат проективної, лінійчатої, багатовимірної і евклідової геометрій. У цей період плідно працювали професори О. І.

Добряков (1895 – 1947 рр.), Д. І. Каргін (1880 – 1949рр.), С. М. Колотов (1880 – 1965 рр.), М. Я. Громов (1884 – 1963 рр.), В. О. Гордон ( ), М. М.

Іванов Особлива роль у розвитку сучасної нарисної геометрії належить

професорам М. Ф. Четверухіну та І. І. Котову. Доктор фізикоматематичних наук, професор М. Ф. Четверухін є автором капітальних досліджень з проективної та нарисної геометрій. Йому належить розробка теорії позиційної та метричної повноти зображень, великі роботи з аксонометрії, теорії геометричних побудов. Ним написані курси проективної геометрії, нарисної геометрії, численні посібники з геометричних побудов. Спільно з проф. Є. О. Глазуновим у 1953 р. вони опублікували монографію „Аксонометрія”. У 1944 р, М.Ф. Четверухін заснував науковий семінар з нарисної геометрії та інженерної графіки.

Доктор технічних наук, професор І. І. Котов здійснив капітальні дослідження в галузі комбінованих зображень, теорії повноти та розробки засад для об’єднання різних методів зображень. Він організував Всесоюзний науковий семінар „Кібернетика графіки”, який об’єднав значні наукові сили країни.

Наукова та організаторська робота М. Ф. Четверухіна та І. І. Котова сприяла розвитку підготовки наукових кадрів. За їхнього сприяння захистили докторські дисертації Л. М. Лихачов (Рига), І. С. Джапарідзе (Тбілісі), Г. К. Ніколаєвський (Харків), К. І. Вальков (Ленінград), А. В. Павлов (Київ) та ін. У повоєнні роки поступово почали формуватися наукові школи з нарисної геометрії та інженерної графіки у Москві, Києві,

Ленінграді, Тбілісі, Харкові, Донецьку, Мелітополі та інших містах тепер уже країн СНД.

В Україні нарисна геометрія як наука і навчальна дисципліна набула значного розвитку в 40-і роки ХХ століття, коли професор С. М. Колотов заснував наукову школу в Київському інженерно-будівельному інституті (нині КНУБА). Його учні і колеги, у першу чергу, В. Є. Михайленко, О. Л. Підгорний, В. С. Обухова, М. Ф. Євстифеєв та інші продовжили

справу свого вчителя і не тільки поглибили наукові дослідження з допоміжного проекціювання, а й відкрили нові напрямки розвитку нарисної геометрії. Головним із цих напрямків був пошук та розробка нових методів конструювання поверхонь з використанням аналітичного та графічного апаратів на базі сучасних комп’ютерних технологій. Теоретичні дослідження з нарисної геометрії почали широко впроваджуватися у будівництві та архітектурі, в промисловості (машинота приладобудування, суднобудування, турбобудування тощо) агротехніці та інших сферах діяльності людини. Набула широкого поширення прикладна геометрія та інженерна графіка, яка увійшла як наукова спеціальність до переліку ВАК колишнього Союзу, а потім і України.

З науковою школою КІБІ тісно співпрацювали усі великі внз Києва і всієї України (Харків, Львів, Донецьк, Дніпропетровськ та багато інших), а також багато інститутів та університетів колишнього Союзу і Європи. На цей час в Україні багато вчених, які мають вчений ступінь доктора технічних наук за фахом „Прикладна геометрія та інженерна графіка”. Детальніше про це можна дізнатися із довідника „Хто є хто у нашій науці”.