Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

Начертательная геометрия и инженерная графика

Файл:

Литература Инж графика / 02 Коломиец НГ 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

2.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

ювальні промені не перпендикулярні до допоміжної площини проекцій, то
проекціювання називається косокутним, а якщо перпендикулярні, - то
прямокутним. Центральне та косокутне допоміжне								проекціювання вико-
ристовують для розв’язування позиційних задач, а прямокутне – для
розв’язування метричних задач.
У будь-якому разі центр допоміжного проекціювання та площину
проекцій вибирають таким чином, щоб дістати таку проекцію об’єкта, яка
містила б у собі відповідь поставленої задачі, або за допомогою цієї проек-
ції можна було б легко знайти відповідь на вихідних проекціях заданого
об’єкта.
Центральне допоміжне проекціювання доцільно використовувати
для розв’язування позиційних задач, в яких необхідно побудувати точки чи
лінії перетину будь-якої лінії, площини або поверхні з пірамідою чи кону-
сом. У такому разі центр проекціювання беруть у вершині піраміди чи ко-
нуса, а за площину проекцій може бути взята одна із вихідних площин
проекцій чи будь-яка інша площина, що паралельна, перпендикулярна або
довільно розташована щодо будь-якої із вихідних площин проекцій. Засто-
сування центрального проекціювання розглянемо на декількох прикладах.
Приклад 6.7. Побудувати точки перетину прямої AB з пірамідою
Sdef (рис. 6.25).
Для спрощення креслення на рис. 6.25 показана частина бічної пове-
рхні піраміди, тобто не зафіксована якась основа піраміди, бо вона не
впливає на побудову точок перетину прямої з поверхнею піраміди. За
центр допоміжного проекціювання візьмемо							вершину S піраміди, а за
площину допоміжного проекціювання приймемо горизонтально проекцію-
вальну площину Г(Γ1). Спроекціюємо бічну поверхню піраміди із центра
S(S1, S2) на площину Г. Ребра піраміди як проекціювальні прямі проекці-
юються на площину Г у точки D(D1, D2), E(E1, E2), F(F1, F2), а грані у відрі-
зки прямих DE, EF, FD. Трикутник DEF за необхідності може слугувати
основою піраміди.
Разом		із	пірамідою			A2			A2
спроекціюємо		на		площину				D2		M2
							M2
Г і пряму AB(A1B1, A2B2).						a2


Для цього через точки A i B						S2			b2		E2
								N2
прямої	AB проведемо				два


проекціювальні				промені					c2		N2
SA(S1A1, S2A2)			i	SB(S1B1,				D1			F2
S2B2),	які	перетинають							B2		B2

площину Г у точках відпо-
						a		A1			F

відно	A ( A 1,	A 2)		i B (	B 1,						1
						1	M1

B 2). Отже пряма AB спрое-						c1	A1	N1			1
						S1	b				E1
кціювалась			у	пряму			1				B1
									B1
A B ( A 1 B 1,		A 2 B 2).			Ця

пряма перетинає трикутник								Рис. 6.25

D2E2F2 у точках M 2, N 2. Через ці точки проводимо проекціювальні промені M 2S2 i N 2S2, які перетинають проекцію А2В2 прямої АВ у точках М2 і N2. Це фронтальні проекції шуканих точок перетину прямої АВ з пірамідою. Їхні горизонтальні проекції M1 і N1 побудовані за лініями зв’язку

M2M1 i N2N1.

Приклад 6.8. Побудувати точки перетину прямої AB з призматичною поверхнею, cde (рис. 6.26).

Оскільки у призматичної поверхні бічні ребра паралельні між собою, то задачу доцільно розв’язувати паралельним косокутним проекціюванням. Напрямок проекціювання s(s1, s2) задаємо паралельно бічним ребрам призматичної поверхні. За площину проекцій беремо довільно розташовану горизонтально проекціювальну площину Г(Г1). У такому разі бічна поверхня призми спроекціюється у трикутник c d e ( c 1 d 1 e 1, c 2 d 2 e 2). Відрізок прямої AB проекціюється у відрізок A B ( A 1 B 1, A 2 B 2). Точки M 2, N 2 перетину його з трикутником c 2 d 2 e 2 – це допоміжні проекції шуканих

точок

перетину

прямої

АВ з призматичною по-

верхнею. Зворотним до-

поміжним проекціюван-

ням

знаходимо фронта-

льну

та

горизонтальну

проекції

точок М

та N.

2 N

Для

цього

через

точки

M 2

та

N 2

проводимо

A2 c2

проекціювальні промені

паралельно s2 до перети-

ну з відрізком А2В2. Ма-

ємо фронтальні проекції

М2 і N2

точок M, N, а за

лініями зв’язку будуємо і

горизонтальні їхні прое-

кції M1, N1.

Рис. 6.26

Приклад 6.9. Побудувати точки

перетину прямої l

з конусом (рис.

6.27).

Із вершини конуса S(S1, S2) як із центра проекціювання спроекціюємо пряму l і бічну поверхню конуса на площину його основи. Бічна поверхня конуса спроекціюється у коло основи його. Допоміжна проекція точки 1(11, 12) перетину прямої l з площиною основи конуса збігається з самою точкою. На прямій l беремо будь-яку точку, наприклад, А(А1, А2) і проводимо через неї проекціювальний промінь SA(S1A1, S2A2) до перетину з площиною основи конуса у точці A ( A 1, A 2). Сполучаємо точки 11 і A 1 відрізком прямої. 11 A 1 – це горизонтальна проекція допоміжної проекції

прямої l. Вона перетинає основу конуса

у точках M 1 і N 1. Через ці точки про-

водимо зворотні проекціювальні про-

мені M 1S1 та N 1S1. У перетині цих

променів з проекцією l1 прямої l маємо

горизонтальні проекції M1 та N1 шука-

них точок M i N. Фронтальні проекції

та N2 будуємо за лініями зв’язку.

Прямокутне допоміжне проекціювання

застосовується для розв’язування мет-

ричних задач, зокрема для визначення

натуральних величин відстаней та кутів

між геометричними елементами. Його

основу складають:

задання додаткової

площини проекцій,

перпендикулярної

до напрямку додаткового проекціюван-

ня;

побудова точки перетину заданого

напрямку додаткового проекціювання

із додатковою площиною проекцій; су-

міщення додаткової площини разом

з побудованою точкою перетину із фронтальною чи горизонтальною пло-

Рис. 6.27

щиною проекцій. Розглянемо названі графічні операції на конкретному

прикладі. Нехай задано напрямок додаткового проекціювання l(l1 l2) (рис.

6.28). Задамо площину Γ(f, h), перпендикулярну до напрямку l

(f2

l2 ,

l1). Побудуємо точку L перетину прямої l з площиною Г. Для цього че-

рез пряму l проведемо горизонтально проекці-

ювальну площину . Побудуємо лінію АВ пе-

ретину площин Г і Δ: A=h∩Δ (A1=h1∩Δ1, A2

h2), B=f∩Δ (B1=f1∩Δ1, B2

f2). Фронтальна

проекція l2 прямої l перетинає відрізок А2В2

точці L2 – фронтальній проекції точки L пере-

тину прямої l з площиною Г. Горизонтальну

проекцію точки L не будуємо, оскільки вона не

використовується у подальших побудовах. Тут

1 2

слід зазначити, що пряма АВ перпендикулярна

до сліду h.

Сумістимо площину Г разом із точкою L

з площиною проекцій П2, обертаючи її навколо

сліду f(f1, f2). Фронтальна проекція траєкторії

обертання точки А перпендикулярна до сліду

f(f2) або паралельна l2. Із точки Г12 як із центра

проводимо дугу кола через точку А1 до

Рис. 6.28

перетину у точці A 2

з названою проекцією траєкторії обертання точки А.

Через точки Г12 і A 2

проводимо пряму h 2 – зображення суміщеного з пло-

щиною П2 горизонтального сліду площини Г. Лінія A 2В2 – це зображення

суміщеної з площиною П2 прямої АВ. Саме цій прямій належить точка L 2

– зображення суміщеної з площиною П2 точки L2. На рис. 6.24 A 2В2

h 2,

оскільки АВ h. Лінія A 2В2 називається носієм допоміжної проекції

L 2

точки L. Зауважимо, що точка N1 перетину прямих l1 та A 2В2 належить бісектрисі кута А1Г12 A 2.

Розглянуті на рис. 6.28 побудови можна спростити. Нехай напрямок допоміжного проекціювання задано прямою l(l1, l2) (рис. 6.29). Візьмемо довільну точку Г12 і проведемо через неї перпендикулярно до l1 горизон-

таль h(h1, h2). Позначаємо точку А1 (А1=h1∩l1)		l2
і знаходимо її фронтальну проекцію А2. Далі		l2
і знаходимо її фронтальну проекцію А2. Далі
будуємо її суміщене з площиною П2 зобра-			L2
ження A 2, як на рис. 6.28: А2 A 2 \|\| l2, A1Γ12 =
A 2Γ12. Через точки A 2 і Г12 проводимо пряму		h2	A2
h 2 – зображення суміщеної з площиною П2	x	h2	A2
горизонтального сліду площини Г. Через точ-			A2 h
			2
ку A 2 перпендикулярно до h 2 проводимо зо-		h1
браження носія допоміжної проекції L 2 точки		h1	k
браження носія допоміжної проекції L 2 точки			k
L. Через точку Г12 і точку перетину побудова-			A1
ного носія з проекцією l1 проводимо бісектри-		l1	A1
су k кута A1Γ12 A 2. Побудована графічна		l1
конструкція називається діаграмою. Оскільки
для будь-якої конкретної задачі усі носії па-
ралельні між собою, то діаграму можна			Рис. 29
будувати у будь-якому вільному місці.

Застосування прямокутного допоміжного проекціювання покажемо на двох прикладах.

Приклад 6.10. Визначити натуральну величину кута між площинами

Σ(BCD) та Θ(BCE) (рис. 6.30).

Кут між двома площинами спроекціюється без спотворення, якщо його спроекціювати прямокутно на площину, перпендикулярну до лінії перетину заданих площин. На рис. 6.30 відрізок BC(B1C1, B2C2) є спільною стороною двох трикутників, якими подано площини Σ та Θ. Отже він є лінією перетину цих площин. Тому спроекціюємо площини Σ і Θ паралельно відрізку BC на площину, перпендикулярну до відрізка BC. Діаграму допоміжного проекціювання побудуємо задля компактності між фронтальною та горизонтальною проекціями заданих площин. Напрямок допоміжного проекціювання вибираємо паралельно відрізку ВС. Справа від горизонтальної проекції заданих площин проводимо пряму k1, паралельну бісектрисі k діаграми. Через проекції В1, С1, D1 E1 проводимо горизонтальні проекції проекціювальних променів паралельно відрізку В1С1 до перетину з прямою k1.

Через точки перетину цих променів з прямою k1 паралельно носієві діаграми проводимо носії відповідних допоміжних проекцій вершин трикутників до перетину з фронтальними проекціями проекціювальних променів

у точках

B 2= C 2,

D 2,

E 2. Кут

D 2 B 2 E 2

ста-

новить дійсну величину кута між площинами

Σ(BCD) та Θ(BCE).

Приклад 6.11.

Побудувати спільний перпендикуляр між прямими AB та CD

(рис. 6.31).

	D2
	E2
	E2	D
B2		2
B2	C2
	C2
		B2 =C2
	k

B1 D1

Рис. 6.30

Спільний перпендикуляр між двома мимобіжними прямими можна побудувати, якщо перетворити креслення цих прямих таким чином, щоб одна із них набула проекціювального положення. У цьому разі проекція проекціювальної прямої вироджується у точку. Проекція другої прямої є довільною прямою. Перпендикуляр, проведений від виродженої проекції однієї із прямих до проекції другої прямої, є спільним перпендикуляром між заданими прямими. Спроекціюємо прямі AB і CD на якусь допоміжну площину проекцій, перпендикулярну, наприклад, до прямої AB. Отже напрямок проекціювання паралельний прямій AB. Спочатку на вільному місці зліва від вихідних проекцій прямих побудуємо діаграму допоміжного проекціювання. На рис. 6.31 вона побудована, як на рис. 6.28 і 6.29. Потім справа від заданих прямих проводимо бісектрису k, паралельну бісектрисі k1 діаграми. Далі через точки A1, B1, C1, D1 проводимо горизонтальні проекції проекціювальних променів паралельно відрізку A1B1 до перетину з бісектрисою k. Маємо точки A 1, C 1, D 1. Через ці точки проводимо прямі – носії допоміжних проекцій A 2= B 2, C 2, D 2 точок A, B, C, D паралельно носієві K E 2 діаграми. Точки A 2= B 2, C 2, D 2 утворилися у перетині вище згаданих носіїв з фронтальними проекціями проекціювальних променів, проведених через точки A2, B2, C2, D2. Допоміжна проекція M 2 одного із кінців спільного між заданими прямими перпендикуляра, який належить прямій AB, збігається з точкою A 2= B 2. Від цієї точки проводимо перпендикуляр до проекції C 2 D 2 прямої CD. Маємо точку N 2 – допоміжну проекцію другого кінця спільного перпендикуляра, що належить прямій CD.

Зворотним

проекціюванням

побудуємо

прое-

кції точок M і N

на вихідних про-

екціях

заданих

прямих.

Спочат-

ку за допомогою

променя

N 2N2

знаходимо

прое-

кцію N2, а потім

за лінією зв’язку

знаходимо

прое-

кцію N1.

Далі на

діаграмі

допомі-

жного проекцію-

вання через точку

Рис. 6.31

E 2 проводимо

паралельно M 2 N 2 пряму до перетину зі слідом f(f2) у точці F. Пряма EF( E 2F2) паралельна спільному перпендикуляру МN. Відрізок E2F2 – це вихідна проекція відрізка EF. Тому через точку N2 проводимо паралельно E2F2 відрізок N2M2. Маємо точку М2 і за лінією зв’язку знаходимо точку M1. Відрізок MN(M1N1, M2N2) – це шуканий спільний перпендикуляр

Запитання для самоперевірки

1 Для чого потрібні способи перетворення креслень?

2 За якими основними напрямками можна перетворювати креслення?

3 На яких основних задачах ґрунтуються перетворення з визначення дійсних величин відстаней та кутів між геометричними елементами?

4 За яких положень геометричних елементів щодо площин проекцій відстані та кути між ними проекціюються без спотворення?

5 У чому полягає спосіб заміни площин проекцій?

6 Скільки площин проекцій і які саме необхідно замінити, щоб визначити кути нахилу прямої чи площини загального положення до площин проекцій П1 і П2?

7Скільки площин проекцій необхідно замінити, щоб визначити відстань від точки до прямої загального положення?

8Скільки площин проекцій необхідно замінити, щоб визначити відстань між двома паралельними площинами загального положення?

9Скільки площин проекцій необхідно замінити, щоб побудувати неспотворену проекцію трикутника чи будь-якої плоскої фігури?

10 Скільки площин проекцій необхідно замінити, щоб визначити дійсну величину двогранного кута між двома трикутниками зі спільною стороною, яка довільно розташована щодо площин проекцій?

11 У чому полягають способи обертання? Які є різновиди цих способів?

12 Як визначити дійсну довжину відрізка прямої загального положення та кути нахилу його до площин проекцій П1, П2 обертанням навколо проекціювальної осі?

13 У чому полягає спосіб плоско-паралельного переміщення?

14 Скільки разів необхідно перемістити щодо площин проекцій дві мимобіжні прямі, щоб визначити дійсну величину відстані між ними?

15 Скільки разів необхідно перемістити плоску фігуру і якусь точку, що не належить площині цієї фігури, щоб визначити відстань між ними?

16 Скільки разів необхідно перемістити щодо площин проекцій трикутник загального положення, щоб побудувати його неспотворену проекцію?

17 У чому полягає спосіб обертання навколо ліній рівня?

18 Як визначити дійсну величину кута між двома прямими, що перетинаються, та мимобіжними?

19 Як визначити дійсну величину кута між прямою та площиною, між двома площинами загального положення?

20 Як побудувати неспотворену проекцію трикутника загального положення обертанням навколо ліній рівня?

21.У чому полягає спосіб допоміжного проекціювання?

22.У чому полягає принцип розв’язування позиційних задач способом допоміжного проекціювання?

23.У чому полягає принцип розв’язування метричних задач способом допоміжного проекціювання?

24.Як визначити дійсну величину кута між двома трикутниками, якщо відомий напрямок їхньої лінії перетину?

25.Як визначити дійсну величину відстані між двома мимобіжними прямими способом допоміжного проекціювання?

26.Як визначити неспотворену проекцію трикутника загального положення способом допоміжного проекціювання?

7 БАГАТОГРАННИКИ. ПЕРЕТИН БАГАТОГРАННИКІВ З ПЛОЩИНОЮ, РОЗГОРТАННЯ БАГАТОГРАННИКІВ

7.1 Зображення багатогранників

Багатогранна поверхня - це поверхня, яка утворена відтинками площин. Тіло, яке з усіх боків обмежене відтинками площин, називається багатогранником. Елементами багатогранника є вершини, ребра та грані. Вершини та ребра багатогранника утворюють його сітку. Щоб подати на кресленні конкретний багатогранник, необхідно зобразити проекції його сітки.

Проекції точок, ліній (прямих і кривих), розташованих на поверхні багатогранника, будуються так, як у площині, тобто за допомогою прямих, що належать відповідним граням багатогранника.

7.2 Побудова проекцій ліній перетину площин з багатогранником

Лінія перетину багатогранника з площиною є плоским багатокутником, проекції якого можна побудувати за його вершинами (способом ребер), або за його сторонами (способом граней) (рис. 7.1). Спосіб ребер полягає у побудові точок перетину ребер багатогранника з січною площиною. При цьому багаторазово розв’язується задача на побудову точок перетину прямої з площиною. Спосіб граней полягає у побудові ліній перетину січної площини з гранями багатогранника. При цьому багаторазово розв’язується задача на побудову ліній перетину площин. Часто лінія пе-

ретину багатогранника з площиною бу-

дується комбіновано з використанням і

способу граней і способу ребер, а також

деяких інших способів.

Складність, компактність і наоч-

ність побудови лінії перетину багатог-

ранника з площиною залежить від того,

наскільки вдало вибрана методика і по-

слідовність розв’язання задачі.

Приклад 1. Побудувати проекції

лінії перетину призми ABCDEF з пло-

щиною Г (а || b) (рис. 7.2), та розгорт-

ку бічної поверхні призми з нанесенням

лінії перетину.

Задачу розв’язуємо способом

граней. Так, через грань AEFB призми

проводимо горизонтально проекціюва-

льну

площину

1 , яка

перетинає

прямі а та b у точках 1(11, 12) і 2 (21, 22).

Рис. 7.1

Лінія

(1121,

1222)

це

лінія

перетину

Рис. 7.2

площини Г з площиною грані AEFB. Відрізок MN(M1N1, M2N2) лінії 12 це лінія перетину грані AEFB з площиною Г. Аналогічно будуємо лінію MP( M1P1, M2P2) перетину площини Г з гранню AEDC (A1E1D1C1, A2E2D2C2), провівши через

останню горизонтально проекціювальну площину ( 1):		a = 3 ( 1 a1 = 31 );
b = 4( 1 b1 = 41); 34 =	Г, MP 34, MP (M1P1, M2 P2	) = Г AEDC. Трикут-

ник MNP(M1N1P1, M2N2P2) - лінія перетину площини Г з поверхнею призми. Розгортку поверхні призми будуємо способом нормального перерізу. Осно-

ви призми перпендикулярні до бічних ребер і на розгортці вони розгортаються у прямі лінії. На прямих А0А0 і Е0Е0 послідовно відкладаємо відрізки А0B0 = А1B1,

B0С0 = B1C1, C0A0 = C1A1, E0F0 = E1 F1, F0D0 = F1D1, D0E0 = D1E1. Точки M0, N0, P0

на розгортці побудовані за допомогою горизонтальних ліній, проведених через

точки M2, N2 та P2. Лінія M0N0P0M0	це лінія перетину площини Г з поверхнею
призми.
Приклад 2. Побудувати проекції лінії перетину площини Г (а \|\| b) з похилою
призмою ABCDEF та розгортку бічної поверхні призми з нанесенням лінії пере-
тину (рис. 7.3).
Задача розв’язується способом ребер. Через ребро АD(A1D1, A2D2) прово-
димо допоміжну фронтальну площину	( 1), яка перетинає прямі а та b у точках

1(11, 12) (1 = а Γ) і 2(21, 22) (2 = b Γ). Лінія 12 - це лінія перетину площини з площиною Г. Вона перетинає ребро AD у точці М(М1, М2). Саме у цій точці ребро AD перетинає площину Г. Аналогічно побудовані точки N(N1, N2) і Р(Р1, Р2):

ВЕ Λ \|\| П2	СF Σ \|\| П2
Λ Г = 34	Σ Г = 56
34 ВЕ = N (3242 B2E2 = N2)	56 СF = P(5262 C2F2 = P2)
N = ВЕ Г	Р = СF Г

Трикутник MNP - це лінія перетину площини Г з поверхнею призми.

Розгортка поверхні призми побудована розгортанням її по фронтальній площині. У цьому разі вершини призми пересуваються по колах, площини яких перпендикулярні до площини П2 і на неї проекціюються прямими, перпендикулярними до проекцій бічних ребер. Так із точки А2 як із центра робимо засічку на


прямій С2С0	С2F2 радіусом А2С0 = А1С1. Потім із точки С0 як із центра робимо
засічку на прямій B2В0		В2Е2 радіусом С0В0 = C1B1, із точки В0 робимо засічку на
прямій А2А0	А2D2 радіусом В0А0 = В1А1. Лінія А2С0В0А0 - це розгортка нижньої
основи призми. Через точки С0, В0, А0 проведені відрізки С0F0 C2F2, B0E0			B2F2,
A0D0 A2D2.	Лінія D2F0E0D0 - це розгортка верхньої основи призми. Вона може
бути побудована таким же чином, як і лінія А2С0В0А0.
Точки М0, N0, Р0		побудовані за допомогою ліній M2М0 А2D2, N2N0	B2E2,

P2P0 C2F2. Лінія М0Р0N0M0 це лінія перетину MNP.

Приклад 3. Побудувати проекції лінії перетину поверхні піраміди SABC з площиною Г (а || b) і розгортку бічної поверхні піраміди з нанесенням ліній перетину (рис. 7.4)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Литература Инж графика

#
03.03.201652.25 Mб3001 Михайленко и др. Инж. и комп. графика.pdf
#
03.03.20162.73 Mб3402 Коломиец НГ 1.pdf
#
03.03.20161.17 Mб2403 Коломиец НГ 2.pdf
#
03.03.20161.16 Mб2406 МУ Контр раб Заочн.pdf
#
03.03.2016161.05 Кб2107 МУ к СРС.pdf
#
03.03.20161.89 Mб2008 ИКГ лек Лопатов.pdf
#
03.03.201643.01 Кб39Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика.doc