II Элементарные функции

Определение.Элементарной называют функцию, котораяможет бытьзаданаявно однойформулой, содержащейконечное числоарифметических операций и суперпозиций, примененных к основным элементарным функциям.

Следует отметить, что некоторые функции, заданные несколькими формулами (т.е., вообще говоря, неэлементарные) иногда удается записать одной формулой. Примером служит функция y = |x|. По определению

В то же время имеем: . Таким образом, функцияy = |x|элементарная. Ее график:

III Примеры неэлементарных функций

1)

(читается «уравно сигнумх»).

2)y = [x],где[x]целая часть числаx

(читается «yравно антьеx»).

Эта функция неэлементарная, ибо задается не формулой, а словесно:

[x]наибольшее целое, не превосходящееx.

Отметим одно свойство: .

3. y = {x}, где{x}дробная часть числаx, т.е.{x} = x  [x].

Лекция 2

§3. Последовательности: основные понятия, примеры

I Определение

Пусть каждому натуральному числу nпо некоторому правилу поставлено в соответствие определенное числоx_n: 1  x₁, 2  x₂, …, n  x_n, …Бесконечная совокупность этил чиселx₁, x₂, …, x_n, … называется числовой последовательностью, сами числа называются членами последовательности,x_n общий член последовательности. Краткая запись:{x_n} «последовательность с общим членом x_n».

Другими словами, последовательность – это функция натурального аргумента f(n).

Последовательность можно задавать:

1) аналитически, например,;

2) словесно, например, 2, 3, 5, 7, 11…последовательность простых чисел;

3)рекуррентным способом, например,. При этом способе задают первый или несколько первых членов и формулу, позволяющую определить любой член последовательности по известным предшествующим членам.

II Элементы поведения и операции

Как и для произвольной функции, для последовательности можно ввести понятия монотонности и ограниченности.

1) Последовательность {x_n} называется возрастающей (неубывающей), еслидля любогоn. Если же для любогоnимеем неравенство, то последовательность называется убывающей (невозрастающей).

2) Последовательность {x_n} называют ограниченной сверху, если, и ограниченной снизу, если. Последовательность называют ограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Можно дать и другое определение ограниченности:.

Члены последовательности удобно изображать точками на числовой оси. Тогда ограниченность означает, что все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку , а возрастание означает, что каждый последующий член последовательности расположен правее предшествующего.

Над последовательностями можно осуществлять арифметические операции. Например, сумма последовательностей {x_n} и {y_n} это последовательность{z_n}такая, что. Аналогично определяют разность, произведение и частное. Полезно уметь представлять данную последовательность как сумму или произведение двух других последовательностей. Например,есть

произведение и.

III Примеры

1) стационарная последовательность.

2) ограниченная, немонотонная.

3) ограниченная снизу, немонотонная.

4) ограниченная, возрастающая.

5) это последовательность с общим членом