5.2.4 Другие прямые методы

Метод квадратного корня используется для симметричных матриц системы.

Клеточные методы могут использоваться для решения больших систем, когда матрица и вектор правых частей целиком не помещаются в оперативной памяти.

5.3 Итерационные методы

5.3.1 Метод уточнения решения. Метод уточнения корней

Позволяет уточнить решение, полученное с помощью прямого метода. Этот метод дает возможность уменьшить ошибки вычисления, а именно ошибки округления. Рассмотрим систему линейных уравнений

Пусть с помощью некоторого прямого метода (чаще всего метода Гаусса) вычислены приближенные значения неизвестных . Подставив эти решения в левые части исходной системы, получаем в правой части значения, отличные от

Введем обозначения - погрешность значений неизвестных,- невязка решения,

Вычитая из исходной системы уравнений систему уравнений с приближенными значениями корней, получим следующую систему

Решая эту систему, находим значения погрешностей , , которые далее используют как поправки к решению, то есть

Таким образом, можно найти поправки к решению , и следующие приближения переменных и так далее. Процесс продолжается до тех пор, пока все очередные значения погрешностей (поправок) не станут достаточно малыми (устраивающими нас).

Заметим, что для нахождения определенного значения погрешностей (поправок) решаются системы линейных уравнений с одной и той же матрицей А исходной системы при разных правых частях, что при использовании метода Гаусса сокращает объем вычислений на этапе прямого хода.

5.3.2 Метод итераций.

Метод простой итерации

Пусть дана система линейных уравнений. Предполагая, что диагональные коэффициенты

,

разрешим i–ое уравнение системы относительно x_i

Полученную эквивалентную систему будем решать методом последовательных приближений.

Выберем нулевое приближение неизвестных x_i⁽⁰⁾, . В качествеx_i⁽⁰⁾ могут быть:

- значения, полученные путем решения системы прямым методом;

- столбец свободных членов преобразованной системы ;

- нулевые значения;

- произвольные значения.

Далее последовательно строим приближения

Первое

Второе

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все значения x_i^(k) не станут близкими к x_i^(k-1). Близость этих значений можно охарактеризовать максимальной абсолютной величиной их разности

,

так называемый критерий по абсолютным отклонениям или максимальной относительной величиной их разности.

,

так называемый критерий по относительным отклонениям (можно использовать при ).

При выполнении одного из этих условий итерационный процесс называется сходящимся.

Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов системы удовлетворяли условию ,

При этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняются строго.

Это условие является достаточным для сходимости, но не является необходимым, то есть для некоторых систем итерации сходятся и при невыполнении этих условий.

Отметим, что сходимость итерационного процесса не зависит от выбора начального приближения x_i⁽⁰⁾. От выбора x_i⁽⁰⁾ зависит скорость сходимости.

Достаточно жесткое условие сходимости не позволяет решить данным методом любую систему линейных уравнений. Однако, если det A≠0, то такую систему можно привести к эквивалентной системе (с помощью линейного комбинирования уравнений исходной системы), удовлетворяющей условию сходимости.

Под линейным комбинированием понимают элементарные преобразования:

- перестановка двух уравнений;

- умножение всех элементов уравнения на одно и то же число отличное от нуля;

- прибавление к элементам какого-либо уравнения соответствующих элементов другого уравнения, умноженных на одно и то же число.

В результате преобразований матрица системы должна быть эквивалентной исходной. Для проверки эквивалентности проверяют определители, которые по модулю должны быть равными, то есть могут отличаться только знаком.

Пример

Преобразуем систему, чтобы выполнялось условие сходимости

или

Преобразуем систему к виду расчетному

Или вторым способом