2. Аппроксимация функций

2.1. Основные сведения

Определение. Величина называетсяфункцией переменной величины , если каждому из тех значений, которые может принимать, поставлено в соответствии по определенному закону одно или несколько значений. При этом переменная величинаназываетсяаргументом. Аргумент всегда переменная величина, функция, как правило, тоже.

Говорят также, величина зависит от. Сообразно с этим аргумент называютнезависимой переменной, функцию – зависимой переменной.

Если каждому значению аргумента соответствует одно значение функции, то функция называется однозначной, иначе, т.е. два или более, - то многозначной (двузначной, трехзначной и т.д.). Если особо не оговорено, что функция многозначная, подразумевается, что она однозначная.

Тот факт, что есть функция от, выражают в записи так

, (2.1)

где - - обозначен закон соответствия (функциональная зависимость) междуи.

Известно три способа задания функциональной зависимости:

1. аналитический;

2. графический;

3. табличный.

Аналитический способ состоит в указании функции одной или несколькими математическими формулами.

Преимущества:

- возможность получения значения для любого фиксированного аргументас любой точностью и с наименьшими затратами по времени (так как этот способ прямо указывает действия и последовательность их выполнения над независимой переменнойдля получения соответствующего значения величины).

Недостатки:

- на практике часто неизвестна аналитическая формула;

- в некоторых случаях, если известна, то настолько громоздка (содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.п.), что ее использование в практических расчетах затруднительно;

- не наглядность с точки зрения поведения функциональной зависимости.

Графический способ состоит в проведении линии (графика) в декартовой системе координат, у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции.

Преимущества:

- легкость обозрения картинки в целом;

- непрерывность изменения аргумента.

Недостатки:

- ограниченная степень точности, что приводит к утомительности прочитывания значений функции с максимально возможной точностью.

Табличный способ заключается в том, что для избранных значений аргумента указываются соответствующие значенияс определенной степенью точности.

Преимущества:

- он сразу дает числовые значения функции для табличного значения аргумента.

Недостатки:

- таблица трудно обозрима в целом;

- она часто не содержит всех необходимых значений аргумента, а для получения этих значений могут потребоваться либо очень сложные расчеты либо проведение дорогостоящих экспериментов.

Определение. Задача аппроксимации функции в вычислительной математике позволяет приближенно вычислить значение функции при любом значении аргумента (из некоторой области) с наименьшими затратами времени и средств, если функция задана таблично, т.е. когда аналитическая функциональная зависимость неизвестна либо очень громоздка. И сводится к замене (аппроксимации) данной функцийприближенной функциейтак, чтобы отклонение (в некотором смысле)отв заданной области было наименьшим. Функцияпри этом называетсяаппроксимирующей. На практике в качестве чаще всего рассматривают многочлен

(2.2)

Т.о. задача аппроксимации функции сводится к подбору коэффициентов ,, чтобы достичь наименьшего отклонения многочленаот функции. Что касается самого понятия «малое отклонение», то оно уточняется при рассмотрении конкретных способов аппроксимации.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек , то аппроксимация называетсяточечной. К ней относятся, например, интерполирование, среднеквадратичное приближение. При построении приближения на непрерывном множестве точек, например, на отрезке , аппроксимация называетсянепрерывной (или интегральной).