Введение
Решение научно-технической задачи состоит из следующих этапов:
- анализ постановки задачи;
- формальное моделирование решения задачи;
- практическое решение.
Этап формального моделирования представляет собой решение поставленной научно-технической задачи в виде математической задачи, являющейся ее моделью. Для решения математических задач используются методы:
- графические;
- аналитические;
- численные .
Графические
методы позволяют
в ряде случаев оценить порядок искомой
величины. Основная идея этих методов
состоит в том, что решение находится
путем геометрических построений.
Например, для нахождения корней уравнения
строится график функции
,
координаты точек пересечения которого
с осью абсцисс и будут искомыми корнями.
При использовании аналитических методов решение задачи удается выразить с помощью формул. В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений, то использование известных из курса математики приемов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это слишком редкие случаи.
Основным инструментом для решения сложных математических задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению четко определенного набора арифметических действий над числами (другими словами алгоритму). Результаты при этом получаются в виде числовых значений.
Численные методы анализа необходимы в случаях, когда аналитическое решение задачи или не может быть получено или его использование затруднительно из-за громоздкости, и представляют собой приближенные методы решения задач. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислении вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоемких задач. С появлением ЭВМ начался период бурного развития численных методов и их внедрения в практику.
Численные методы компьютерного анализа – это приближенные методы решения задачи с использованием ЭВМ с целью получения результата за приемлемое время.
Численные методы разрабатывают и исследуют, как правило, высококвалифицированные специалисты-математики. Для студентов инженерных специальностей главными задачами являются:
- понимание основных идей методов, особенностей и областей их применения;
- умение выбрать из имеющегося арсенала методов тот, который наиболее пригоден в данном конкретном случае.
Основная литература
1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.
2. Демидович Б.П., Марон И.А. Численный анализ.
3. Краскевич В.Е., Зеленский К.Х. Численные методы в инженерных исследованиях.
4. Бахвалов Н.С. Численные методы.
-
Теория приближенных чисел
( Теория погрешностей)
1.1 Основные понятия и определения
Определение.
Приближенным
числом
называется число, незначительно
отличающееся от точного (истинного)
числа А и
заменяющее последнее в вычислениях.
Если известно что
,
то
называется приближенным значением
числа А
по недостатку, если
,
то – по избытку.
Определение.
Под ошибкой
(погрешностью)
приближенного числа
обычно понимается разность между
соответствующим точным числом А
и данным приближением.
(1.1)
Если
,
то
-
положительная,
,
то
-
отрицательная,
Из (1.1) следует, что
(1.2)
Т.о., точное число можно рассматривать как приближенное с ошибкой равной 0.
Определение.
Абсолютной погрешностью
приближенного числа
называется абсолютная величина разности
между соответствующим точным числом А
и приближенным числом
(1.3)
Следует различать два случая:
-
Число А нам известно, тогда
легко определяется по формуле (1.3).
-
Число А нам неизвестно, что практически
бывает чаще всего,
и, следовательно, мы не можем определить
по формуле (1.3).
В этом случае
полезно вместо неизвестной теоретической
абсолютной погрешности
ввести ее оценку сверху, т.н. предельную
абсолютную погрешность.
Определение.
Под предельной
абсолютной погрешностью
,
или
понимается всякое число, не меньшее
абсолютной погрешности этого числа
(1.4)
Заметим, что
сформулированное выше понятие предельной
абсолютной погрешности является весьма
широким, а именно: под предельной
абсолютной погрешностью
приближенного числа
понимается любой представитель
бесконечного множества не отрицательных
чисел, удовлетворяющих неравенству
(1.4).
Абсолютная погрешность (или предельная) абсолютная погрешность не достаточна для характеристики точности (качества) измерения или вычисления. Для характеристики точности используют абсолютною погрешность, приходящуюся на единицу точного числа, которая называется относительной погрешностью.
Определение.
Относительной погрешностью
приближенного числа называется отношение
абсолютной погрешности
этого числа к модулю соответствующего
точного числа
А, при
этом
(1.5)
Так же как и для абсолютной погрешности и по тем же причинам, введем понятие предельной относительной погрешности.
Определение.
Предельной относительной погрешностью
приближенного числа называется всякое
число, не меньше относительной погрешности
этого числа
(1.6)
Основные источники погрешностей:
- погрешности задачи – погрешности, связанные с постановкой задачи, а также принятые нами при изучении тех или иных явлений условия, упрощающие задачу;
- погрешности математических методов – погрешности, связанные с наличием бесконечных последовательностей (рядов) в математическом анализе;
- неустранимые погрешности – погрешности исходных данных, в том числе и физических, математических констант;
-погрешности округления – погрешности, связанные с системой счисления;
- погрешности действий – погрешности, связанные с действиями над приближенными значениями.
Само собой разумеется, что при решении
конкретной задачи те или иные погрешности
иногда отсутствуют или влияние их ничтожно.
Для оценки погрешности решения научно-технических задач на практике можно использовать следующие приемы:
1. Решить задачу различными численными методами.
2. Незначительно изменить исходные данные и повторно решить задачу. Результаты сравнить. Если они различаются существенно, задача или метод ее решения являются неустойчивыми. Далее скорректировать задачу или (и) выбрать другой метод.
Далее рассмотрим вычисление погрешностей чисел и погрешностей арифметических действий.