- •5. Решение систем линейных уравнений
- •5.1 Основные понятия
- •5.2 Прямые методы
- •5.2.1 Правило Крамера
- •5.2.2 Метод обратной матрицы
- •5.2.3 Метод Гаусса (метод исключения Гаусса)
- •5.2.4 Другие прямые методы
- •5.3 Итерационные методы
- •5.3.1 Метод уточнения решения. Метод уточнения корней
- •5.3.2 Метод итераций.
- •5.3.3 Метод Зейделя
5. Решение систем линейных уравнений
К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи. Можно с полным основанием утверждать, что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики.
5.1 Основные понятия
Запишем систему из линейных уравнений снеизвестными:
(5.1)
Совокупность коэффициентов этой системы запишем в виде квадратной матрицы A порядка
(5.2).
Совокупность неизвестных и совокупность правых частей запишем в виде векторов исоответственно
,
Т.о. систему (5.1) можно записать в векторно-матричном виде
(5.3)
В ряде случаев системы уравнений имеют некоторые специальные виды матрицы A.
-симметричная матрица, ее элементы расположены симметрично относительно главной диагонали, .
- верхняя треугольная матрица с равными нулю элементами, расположенными ниже главной диагонали.
- клеточная матрица, ее нулевые элементы составляют отдельные группы (клетки).
-ленточная матрица, ее ненулевые элементы составляют «ленту», параллельную диагонали. Эта ленточная матрица называется ещё трёх диагональной.
- единичная матрица, единичная диагональная матрица (частный случай ленточной матрицы)
Специальный вид может иметь вектор
- нулевой вектор , при котором систему линейных уравнений называютоднородной.
С квадратной матрицей A связан определитель (детерминант)
где α, β, ω пробегают все возможные n! перестановок номеров 1,2,…,n
k - число инверсий в данной перестановке:
k=0, если перестановка четная,
k=1, если перестановка нечетная.
Не следует отождествлять два понятия A и det A. A - упорядоченная в виде таблицы система чисел, а det A – число, определяемое по формуле.
Если det A≠0 то матрица называется неособенной, система уравнений невырожденной, иначе (det A=0) – особенной или сингулярной, а система уравнений вырожденной.
Необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы линейных уравнений является условие det A≠0 (система называется совместной и определенной). Если же
det A=0, то система либо не имеет решений, либо имеет их бесконечное множество (система называется несовместной или противоречивой).
Если det A≈0, то система уравнений называется плохо обусловленной.
Методы решения систем линейных уравнений делятся на две группы:
- прямые (точные)
- итерационные
Прямые методы используют конечные соотношения (формулы) для вычисления корней системы. Они дают решение после выполнения заранее известного числа действий (шагов, операций). К ним относятся метод Крамера, метод обратной матрицы, метод Гаусса, метод квадратных корней и т. д.
Достоинства:
сравнительно просты и наиболее универсальны, а значит пригодны для решения широкого класса линейных систем
Недостатки:
- не учитывают, обычно, структуру матрицы (при большем числе нулевых элементов в разреженных матрицах, например, клеточных или ленточных, эти элементы занимают место в памяти ЭВМ) и при больших значениях n расходуется много места в памяти;
- накапливание погрешностей в процессе решения, так как вычисления на любом этапе используют результаты всех предыдущих этапов (операций). Это особенно опасно для больших систем, когда резко возрастает общее число операций, а также для плохо обусловленных систем, весьма чувствительных к погрешностям.
Вывод. В связи с этим прямые методы используются обычно для сравнительно небольших систем с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю определителем.
Итерационные методы - это методы последовательных приближений. В них необходимо задать некоторое приближенное решение - начальное приближение. После этого с помощью определенного алгоритма проводится один цикл вычислений, называемый итерацией. В результате итерации находят новое приближение. Итерации проводятся до получения решения с требуемой точностью. К этим методам относятся метод итераций, метод Зейделя.
Достоинства:
- требуют меньше оперативной памяти ЭВМ;
- не накапливают погрешности, так как точность вычислений в каждой итерации определяется лишь результатами предыдущей итерации и практически не зависит от ранее выполненных вычислений.
Недостатки:
- алгоритмы решения обычно более сложны по сравнению с прямыми методами;
- объем вычислений заранее определить трудно;
- сходимость итераций может быть очень медленной;
Вывод. Итерационные методы могут быть использованы для любых систем линейных уравнений, в том числе содержащих большое число уравнений или плохо обусловленных. Кроме того могут быть использованы для уточнения решений, полученных с помощью прямых методов. Такие смешанные алгоритмы обычно довольно эффективны.