2.2 Интерполирование

Один из основных типов точечной аппроксимации. Определение. Оно состоит в следующем: для данной табличной функции строим многочлен (2.2), принимающий в заданных точкахте же значения, что и функция, т.е.

, (2.3)

При этом, среди нет одинаковых, т.е.при.

Точки называютсяузлами интерполирования, а многочлен -интерполирующим многочленом.

Т.о. близость интерполирующего многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.

Максимальная степень интерполяционного многочлена . В этом случае говорят оглобальной интерполяции, поскольку один многочлен

(2.4)

используется для интерполяции функции на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента .

Интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных частей рассматриваемого интервала. В этом случае имеем кусочную (или локальную) интерполяцию.

Как правило, интерполяционные многочлены используются для аппроксимации функции в промежуточных точках между крайними узлами интерполяции.

Однако иногда они используются и для приближенного вычисления функции вне рассматриваемого отрезка или. Это приближение называетсяэкстраполяцией.

1. Линейная интерполяция

Простейший и часто используемый вид локальной интерполяции. Она состоит в том, что заданные точки соединяют прямолинейными отрезками и функция приближается ломаной с вершинами в данных точках.

Уравнения каждого отрезка ломаной в общем случае разные. Т.к. имеется n интервалов , то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение многочлена первой степени

(2.5)

В частности, для і-го интервала по (2.3) имеем

Находим

(2.6)

Иначе, коэффициенты ,можно найти используя уравнение прямой, проходящей через 2 точки

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента , а затем подставить его (границы интервала) в формулу (2.6).

2.2.2 Квадратичная (параболическая)

интерполяция

Квадратичная (параболическая) интерполяция – в качестве интерполяционной функции на отрезке принимается квадратный трехчлен

(2.7)

Уравнение (2.7) содержит 3 неизвестных коэффициента, для определения которых необходимы 3 уравнения. По (2.3) имеем

Интерполяция для любой точки проводится по 3-м ближайшим к ней узлам.

2.2.3 Многочлен Лагранжа

Относится к глобальной интерполяции, т.е. построению интерполяционного многочлена, единого для всего отрезка . При этом, естественно, график интерполяционного многочлена должен проходить через все заданные точки.

Для нахождения коэффициентов уравнения (2.4) необходимо составить и решить систему из уравнения снеизвестными

(2.8)

Такой путь построения интерполяционного многочлена требует значительного объема вычислений, особенно при большом числе узлов. Существуют более простые алгоритмы построения интерполяционных многочленов.

Для формулы Лагранжа будем искать многочлен в виде линейной комбинации многочленов ,степениn

(2.9)

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен ,обращался в нуль во всех узлах интерполяции, за исключением одногоі-го, где он должен раняться 1. Этим условиям отвечают многочлены вида

(2.10)

Подставляя (2.10) в (2.9) получаем формулу, которая называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Для упрощения вычислений по формуле Лагранжа используется специальная схема рассматриваемая на с.532 учебника Демидович, Марон «Вычислительная математика». Изучить самостоятельно.