ТеорПрактНаучнИссл_Устименко
.pdf11
С другой стороны, модель диктует, какой именно эксперимент следует проводить. То есть модель - источник информации для организации экс-
перимента.
Отсюда следует, что нельзя построить "эксперимент вообще", а можем говорить только об "эксперименте под конкретную модель".
Одним из возможных выходов из этого замкнутого цикла можно считать рассмотрение некой "универсальной модели", для которой многие конкретные модели являются частным случаем. Тогда, организовав эксперимент под эту "универсальную модель", можно рассчитывать, что он будет "работать" и для конкретных частных моделей. Для этого рассмотрим предложенный американским ученым, основоположником кибернетики Норбертом Винером кибернетический подход для экспериментального нахождения модели объекта, доступного для наблюдения только по входам и выходам.
Кибернетический подход к эксперименту состоит в следующем: имеется в наличии некоторый технический объект, экспериментатор-исследователь может сам устанавливать либо определять из опыта некоторые воздействия на объект (входы) и, наблюдая реакцию объекта (выходы), попытаться объяснить причинно-следственные связи между входными воздействиями и реакцией (то есть создать модель).
Традиционно при аналитическом проектировании технических систем выделяют следующие 5 групп параметров (Рис. 1.1).
1. Управляемые параметры ( = 1,2, … ). Они являются контролируемыми и регулируемыми (давление, расход рабочей жидкости, массы и конструктивные размеры движущихся элементов и др.). От них в первую очередь, зависят условия эффективного функционирования технической системы.
2. Входные неуправляемые параметры ( = 1,2, … ) . Они могут быть измерены, но возможность воздействия на них отсутствует (например, контролируемые, но нерегулируемые климатические условия).
3.Возмущающие параметры ξ ( = 1,2, … ). Они характеризуют внешний «шум», могут изменяться случайным образом с течением времени и недоступны для измерения (например, неконтролируемый износ кинематических пар, различные помехи).
4.Внутренние параметры ( = 1,2, … ). Они характеризуют состояние системы и определяют логику ее функционирования (например, ампли- тудно-частотные параметры).
5. Выходные параметры ( = 1,2, … ) или отклики. Они являются интегральными характеристиками технической системы, определяют ее потенциальные возможности и особенности взаимодействия с окружающей
12
средой. Условия, при которых эти параметры достигают экстремальных зна-
чений, называют критериями качества или критериями оптимальности.
Зависимость выходного параметра от других параметров представляет собой уравнение связи, а соотношение для критерия оптимальности – целе-
вую функцию.
U1 U 2 U 3 U 4 |
U q-1 Uq |
X X X X
X X
1
2
3
4
n-1 n
|
|
Y1 |
|
|
Y 2 |
Объект исследования |
Y 3 |
|
Y 4 |
||
, , , … |
Y m-1 |
|
1 2 3 |
|
|
Y m
ξ1 |
ξ 2 |
ξ 3 |
ξ 4 |
ξ s-1 ξs |
Рисунок 1.1 – Информационная модель системы
Общий подход к эксперименту состоит в следующем: для исследуемого технического объекта экспериментатор может сам устанавливать либо определять из опыта каковы воздействия на объект (входы) и, наблюдая реакцию объекта (выходы), устанавливать причинно-следственные связи между воздействиями и реакцией, то есть создавать модель изучаемого объекта.
Структура мысленного кибернетического эксперимента Н. Винера (Рис. 1.2) предполагает наличие объекта исследования в виде, так называемого, "черного ящика", и его модели – в виде "белого ящика". Под "черным ящиком" понимается система, у которой доступны для наблюдения только входы и выходы и, кроме того, на вход можно в принципе подавать произвольное воздействие. Внутреннее устройство "черного ящика" считается принципиально недоступным. В противоположность этому, "белый ящик" - это система, доступная не только снаружи (по входам и выходам), но и изнутри, то есть полностью известно его внутреннее устройство. Более того, "белый ящик" имеет управляющий вход, с помощью которого его можно настроить на выполнение любого заданного преобразования вход-выход. Н. Винер в результате теоретического анализа этой задачи дал положительный ответ на вопрос о принципиальной возможности "раскрытия" любого (в определенном классе систем) "черного
13
ящика". При этом сам эксперимент рассматривается как система с обратной связью. Винер показал, что существует такой алгоритм работы этой системы (задаваемый устройством управления), при котором в установившемся состоянии после завершения переходного процесса "белый ящик" (модель) по своему внешнему поведению (вход-выход) будет неотличим от "черного ящика" (объекта).
Генератор |
|
|
|
С |
|
||
|
«Черный |
|
|
||||
входных |
|
|
|
ящик» (объект) |
|
Р |
|
|
|
|
|
||||
воздейст- |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
Е |
|
|
|
|
|
«Белый ящик» |
|
Н |
|
|
|
|
|
|
И |
рассогласо- |
|
|
|
|
|
(модель) |
|
||
|
|
|
|
|
Е |
вание |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Управление
Рисунок 1.2 – Структура эксперимента Н.Винера по раскрытию "черного ящика"
Большим недостатком проведения экспериментальных исследований по такой схеме является «слепой» метод построения модели, когда совершенно не используется априорная информация об объекте, известная до начала эксперимента. А такая априорная информация, часто в значительных объемах, имеется практически всегда и есть смысл ее использовать.
На практике экспериментатор обычно располагает значительным объемом априорной информации об исследуемом техническом объекте. Часть этой информации учитывается при построении гипотез относительно внутреннего устройства и поведения исследуемого объекта. Гипотеза и представляет собой предполагаемую модель или набор моделей. При этом цель эксперимента чаще всего заключается в проверке адекватности предполагаемой модели и (или) в уточнении ее параметров.
Усовершенствованный эксперимент Винера - это эксперимент с учетом априорной информации (Рис. 1.3). При этом необходимо учитывать и то, что могут иметь место неформализованные процедуры, которые выполняет человек, как непосредственный участник эксперимента. Ключевая идея, лежащая в основе такого усовершенствования, состоит в том, чтобы избавиться от бездумно-
14
го перебора за счет разумного использования априорной информации. В результате этого эксперимент по раскрытию "черного ящика" с учетом априорной информации строится по принципу целенаправленного поиска все более точной модели исследуемого объекта.
Управляемый |
«Черный ящик» |
С |
|
генератор |
(объект) |
Р |
|
входных воз- |
|
А |
|
действий |
|
В |
|
|
|
Н |
|
|
|
Е |
|
|
«Белый ящик» |
Н |
|
|
И |
рассогласо- |
|
|
(модель) |
||
|
Е |
вание |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Управление
Априорная ин-
формация
Исследователь
Рисунок 1.3 - Усовершенствованный эксперимент Винера
Процесс такого эксперимента состоит в том, что на основании априорной и текущей (апостериорной) информации о результатах сравнения осуществляется такое управление "белым ящиком" и генератором воздействий, чтобы свести к минимуму различия в поведении "черного" и "белого" ящиков. Выбор возможных моделей и видов воздействий на объект является в общем случае неформальной (не поддающейся алгоритмизации) процедурой. Поэтому подготовка эксперимента и общее управление его проведением требует обязательного участия исследователя.
Условимся, используя в дальнейшем модель «черный ящик», предполагать, что внутренняя структура и характер связей между входными и выходными величинами исследователю неизвестны, о них он судит по значениям на выходе при определенных значениях на входе. Входные величины X условимся называть факторами, выходные Y откликами (в литературе возможны и другие названия, такие как параметрами, реакции, целевые функции).
Правильный выбор откликов и факторов в значительной степени предопределяет успех исследования. Строго формализованной методики не сущест-
15
вует, многое зависит от опыта экспериментатора, проникновения в сущность объекта исследования, знания теории эксперимента. Однако, информация, о требованиях, предъявляемых к факторам, объекту исследования и откликам позволит более корректно ставить задачи исследования.
Для определения требований, предъявляемых к факторам, определим, что
фактором является любая величина, влияющая на параметр и способная изменяться независимо от других.
Факторы можно разделить на следующие 3 группы:
контролируемые и управляемые, которые можно изменять и устанавливать на заданном экспериментатором уровне ;
контролируемые, но неуправляемые величины;
неконтролируемые и неуправляемые (обусловленные случайными воздействиями, износом деталей).
Кроме независимости, к факторам предъявляются и другие требования:
операциональность (факторы должны быть определимыми – т.е. должно быть четко определено, в какой именно точке и каким прибором будут измеряться);
совместимость – при всех сочетаниях значений факторов эксперимент будет безопасно выполнен;
управляемость – экспериментатор устанавливает значение уровня по своему усмотрению;
точность установления факторов должна быть существенно выше (по крайней мере на порядок) точности определения параметра.
однозначность – означает непосредственность воздействия фактора (либо их комбинации-критерия подобия) на объект исследования.
фактор должен быть количественным.
Основными свойствами объекта исследования являются: сложность, полнота априорной информации, управляемость и воспроизводимость.
Сложность характеризуется числом состояний, которые в соответствии с целью исследований, можно различать при проведении исследований.
Априорная (информация известная до начала исследования). Обычно в исследованиях нуждаются объекты, информация о которых ограничена.
Управляемость – свойство, позволяющее изменять состояние объекта по усмотрению исследователя. В управляемых объектах можно изменять все входные величины. В частично управляемых системах можно ставить эксперимент, за не управляемыми можно только наблюдать.
Воспроизводимость – свойство объекта переходить в одно и то же состояние при одинаковых сочетаниях факторов. Чем выше воспроизводимость, чем проще выполнять эксперимент и тем достовернее его результаты.
16
Прежде всего, необходимо определить, в чем именно заключается задача, так как реальные ситуации редко бывают четко очерчены. Процесс выделения «задачи», поддающейся математическому анализу, часто бывает продолжительным и требует владения многими навыками (например, общения с колле- гами-специалистами, работающими в данной области техники, чтение литературы, глубокое изучение вопроса).
Часто одновременно со стадией постановки задачи идет процесс выявления основных или существенных особенностей явления. Этот процесс схематизации (идеализации) играет решающую роль, поскольку в реальном явлении участвует множество процессов, и оно чрезвычайно сложно. Некоторые черты представляются важными, другие – несущественными.
Очевидно, математической моделью объекта, изображенного на рисунке, может служить совокупность соотношений вида
Y = f (X, U, ξ),
однако практически при построении модели такие соотношения получить невозможно. Приходится вводить ограничения, например, считать, что каждый из параметров может изменяться в определенных пределах, обусловленных верхней и нижней границами.
В инженерном эксперименте в качестве откликов, как правило, принимаются экономические (приведенные затраты, себестоимость, производительность труда и т.п.) или технические (к.п.д., расход энергии, производительность машины, давление, напряжение и т.д.) показатели.
К откликам предъявляют следующие основные требования:
должен быть количественным и оцениваться числом. Для качественных показателей используются ранговые и условные показатели оценки;
отклик должен допускать проведение эксперимента при любом сочетании факторов. Недопустимо, чтобы при каком-то сочетании произошел взрыв или несчастный случай;
данному сочетанию факторов с точностью до погрешности должно соответствовать одно значение отклика;
отклик должен быть универсальным, т.е. характеризовать объект всесторонне;
желательно, чтобы отклик имел простой экономический или физический смысл, просто и легко вычислялся;
Рекомендуется, чтобы отклик был единственным. Исследовать объект, строить математические зависимости можно для каждого отклика, но оптимизировать можно только по одному. Если откликов несколько, то целесообразно подходить к задаче постановки исследования как к многокритериальной. В частности, исследователем выбирается один основной критерий – остальные вы-
17
ступают в виде ограничений. Есть и другие подходы – когда вводится единый критерий, например
Ф1Ф1 ( А) ... K Ф( А)
Акоэффициенты βi ≥0 , обычно требуют, чтобы i 1. Единый крите-
рий считается решающим, а коэффициенты βi отражают важность каждого из составляющих критериев.
Есть, так называемый «метод уступок» – когда производится последовательная оптимизация всех критериев с назначением уступок по каждому критерию на соответствующем шаге оптимизации.
1.2Принципы математического моделирования
1.2.1Выбор факторов и параметров математической модели
Итак, мы условились независимую переменнную, соответствующую одному из возможных способов воздействия на техническую систему, называть фактором. Функционирование любой технической системы зависит от ряда внешних и внутренних факторов. Те факторы, которые варьируют в определенном диапазоне, принимают за параметры. Наиболее важные из них счита-
ются определяющими.
Процесс выделения совокупности параметров, которые должны быть учтены при разработке математической модели, называется параметриза-
цией.
Если состояние технической системы характеризуется непрерывными физическими величинами (температура, давление, скорость и т.п.), то она имеет непрерывные переменные параметры.
Если параметры принимают лишь целочисленные значения, то их относят
кдискретным переменным величинам.
Внекоторых случаях при построении математических моделей м.с. внутренние параметры Z вообще не рассматриваются, а моделируются только связи между входными и выходными процессами. Получаемые при этом зависимости не раскрывают особенностей процессов, протекающих в самом моделируемом
объекте, но их вполне достаточно для оценки его функционирования.
При формировании математических моделей технических систем выбранные параметры могут использоваться двояко:
при теоретических исследованиях они входят в состав фундаментальных закономерностей, характеризующих свойства объекта-оригинала;
18
при экспериментальных исследованиях они фигурируют в процессе идентификации моделируемого объекта
Этап параметризации является одним из важнейших при математическом моделировании и оптимизации. Поэтому для выявления определяющих параметров технической системы используются различные методы, основными из которых являются: экспертные оценки, планируемые наблюдения за функционированием реальных объектов, специально поставленные эксперименты, другие информационные источники.
1.2.2 Общая характеристика математических моделей
Введем понятие математической модели технического объекта. Математическая модель представляет собой идеализированную схему технического объекта (или его составных частей), построенную путем отображения в ней наиболее существенных свойств и «элементарных» процессов с помощью комплекса математических зависимостей и логических соотношений.
Такая модель позволяет решать поставленные задачи обобщенно, обеспечивает краткость и четкость фиксации свойств и отношений объекта - оригинала, дает его знаковую интерпретацию.
Формирование математической модели осуществляется на основе выделенного комплекса параметров, а также различных уровней абстрагирования и упрощения реального технического объекта. Тем не менее, такая идеализированная модель позволяет получать довольно точные результаты. Это объясняется тем, что для определения основных характеристик исследуемого объекта при моделировании достаточно учесть относительно небольшое число определяющих параметров. Сложность, однако, состоит в том, что они должны быть правильно выбраны и между ними должны быть установлены объективные связи; необходимо также решать вопрос о полноте модели. При этом важно не столько знание математики, сколько глубокое понимание сущности поведения объекта-оригинала, где тесно переплетаются и знание теории, и опыт, и интуиция.
К настоящему времени установится общий порядок построения математических моделей, при котором сначала исходят из простых условий, а затем шаг за шагом по мере увеличения глубины анализа и накопления необходимой информации поднимаются по ступеням иерархической градации, переходя к постепенному усложнению моделей [18].
Качество получаемых моделей нельзя оценить ни по структуре, ни по форме. Единственным критерием такой оценки может служить лишь достоверность полученных на модели прогнозов поведения реального объекта.
Любая математическая модель должна рассматриваться в совокупности трех ее сторон - смысловой, аналитической и вычислительной.
19
Смысловая сторона модели или содержательное описание - представляет собой начальную стадию математической формализации. При этом производится определение границ исследуемого объекта, обобщаются сведения о физической природе протекающих в нем процессов и соответствующих количественных характеристиках, выделяется степень взаимодействия его элементов, выбираются управляемые переменные и критерии оптимальности, учитываются необходимые ограничения и принятые допущения.
Аналитическая сторона модели или математическое описание - является выражением содержательного описания на языке математики в виде некоторой системы уравнений связи. При этом вся совокупность используемых параметров представляется в абстрактных терминах, все качественные зависимости между ними переводятся в функциональные или иные соотношения, устанавливаются граничные и начальные условия.
Применяемый математический аппарат должен «вписываться» в моделируемый объект и достоверно отражать специфику его структурных и динамических особенностей. По своей форме математическое описание модели обычно состоит из зависимостей, отражающих общие физические законы: уравнений, описывающих «элементарные» процессы (например, движение материальной точки по поверхности рабочего органа машины); различных эмпирических и полуэмпирических соотношений, полученных в результате статистической обработки экспериментальных данных.
Примерный состав математического описания модели представлен на рис.
1.4.
Общие закономерности «элементарных» процессов
Общие материальные и энергетические балансы
|
Теоретические и |
Математическое |
эмпирические |
описание |
соотношения |
Ограничения на переменные параметры объекта
Рисунок 1.4 - Состав математического описания модели
20
Вычислительный аспект математической модели - алгоритм решения с использованием компьютера - определяется как упорядоченная последовательность операций, которые надо выполнить над уравнениями связи, чтобы получить искомые результаты самым эффективным путем.
При разработке алгоритма должны бытьустановлены размерности всех используемых величин,
определены допустимые границы, в которых будут изменяться парамет-
ры,
и задана предельная ошибка вычислений.
Основными требованиями к математическим моделям являются уни-
версальность, математическая строгость, точность и экономичность.
Универсальность математической модели определяется возможностью ее использования для различных технических объектов. В настоящее время получили широкое распространение так называемые модульные (блочные) модели, которые описываются известными физическими закономерностями. При разработке математической модели какого-либо конкретного технического объекта модульные модели соединяются между собой по принципу подчинения. Образующаяся многоуровневая цепочка моделей обладает рядом преимуществ, т.к. на каждом уровне решаются свои задачи, а на вышестоящие и нижестоящие уровни по уравнениям связи (каналам связи) передается минимальный объем информации.
Использование модульных моделей существенно сокращает затраты труда при моделировании технических объектов, позволяет применять унифицированные формы ввода в ЭВМ данных об их свойствах и систематизированные процедуры обработки полученных результатов.
Математическая строгость связана с качеством идеализации объекта оригинала. Под идеализацией понимается выделение основных и отбрасы-
вание второстепенных (в условиях поставленной задачи) свойств и характеристик указанного объекта.
На практике идеализация осуществляется различными путями:
-переходом от распределенных параметров к сосредоточенным:
-сокращением числа независимых переменных;
-снижением размерности решаемой задачи (от трехмерной к двухмерной и одномерной):
-заменой переменных константами:
-изменением принимаемых ограничений;
-усреднением свойств по объему и направлению (идеальное перемешивание; гипотезы плоских сечений и т.п.).
В любом случае математическая строгость соответствует принятой степени идеализации.