ТеорПрактНаучнИссл_Устименко

41

первый – уравнения, описывающие физические процессы, могут быть выражены уравнениями связи между безразмерными комбинациями – критериями подобия. Последние уравнения будут справедливы для всех подобных объектов.

второй - число независимых критериев равно m-k. Оно меньше числа размерных физических переменных на число основных единиц. Т.е. речь идет об уменьшении числа переменных, которыми описывают процесс. Это в свою очередь ведет к уменьшению объема экспериментальных исследований и делает результаты более наглядными.

2.3. Методика определения критериев подобия на основе анализа размерностей

Данная методика является универсальной, что позволяет путем определенной последовательности действий найти безразмерные комбинации, которые характеризуют рассматриваемый технический объект, не зависимо от его физической природы. Решение этой задачи состоит из трех этапов.

На первом этапе выбираются фундаментальные переменные. Обычно при выборе выходной переменной осложнений не бывает. Как правило, заранее известно, что необходимо определить. Входной фундаментальной переменной (фактором), как отмечалось ранее, является любая величина, влияющая на отклик, и способная изменяться независимо от других. Для правильного выбора фундаментальных переменных необходимо глубокое понимание сути исследуемого объекта. Часто это требует не только изучения априорной информации, но и постановки предварительных экспериментов. Если после выбора фундаментальных переменных система безразмерных комбинаций не получается, то необходимо возвратиться к анализу объекта исследования.

На втором этапе выбирается система основных единиц для выражения размерностей фундаментальных переменных. В качестве основных рекомендуется принимать основные единицы СИ:

метр - единица длины l , размерность L ; килограмм - единица массы m , размерность М ; секунда - единица времени t , размерность Т;

ампер - единица силы электрического тока i, размерность I;

кельвин - единица термодинамической температуры Ө, размерность К; моль - единица количества вещества n , размерность N;

кандела - единица силы света j, размерность J.

Используя размерности основных единиц, можно составить формулы размерностей всех фундаментальных переменных. Например, известно, что сила определяется зависимостью = .

42

Формула размерности силы определяется как произведение формул размерности массы и ускорения

[ ] = [а][ ] = [ ][ −2] = [ −2]

Записав формулы размерностей всех фундаментальных переменных, описывающих процессы в объекте, устанавливают, какие размерности основных единиц в них входят. Эти единицы и будут составлять систему основных единиц в условиях конкретной задачи.

На третьем, заключительном этапе определяются критерии подобия с использованием теории размерностей.

Для уяснения способа нахождения безразмерных критериев с помощью теории размерности рассмотрим пример решения задачи.

Пример решения задачи по определению критериев подобия процесса силового взаимодействия шара с обтекающим потоком жидкости.

Схема стенда для определения силы, с которой поток действует на шар, показана на рис.2.1. Шар помещен в трубопровод настолько большого внутреннего диаметра, что стеснением им потока можно пренебречь. Гибкой нитью шар связан через блок с пружинным динамометром. Усилие зависит от свойств шара и потока. Если шероховатостью шара можно пренебречь (шар выполнен гладким), то его свойства определяются одной переменной - диаметром . Свойства потока оцениваются средней скоростью , плотностью и вязкостью жидкости. Таким образом, в рассматриваемом случае фундаментальных переменных пять: выходной параметр и факторы , , , .

Для выбора основных единиц запишем формулы размерностей фундаментальных переменных. Наименования фундаментальных переменных, их обозначения и размерности приведены в табл.2.2. Из данных, приведенных в таблице, следует, что размерности всех фундаментальных переменных можно выразить тремя основными единицами – , , . Так как число фундаментльных переменных в этой задаче равно пяти, а число основных единиц – три, то независимых критериев будет − = 5 − 3 = 2.

Таблица 2.2 Наименования, обозначения и размерности фундаментальных переменных

43

Рис.2.1. Схема стенда для определения силы воздействия потока на шар

Критерий - безразмерная комбинация - в общем случае может быть представлена произведением фундаментальных переменных в определенных степенях. В рассматриваемом случае критерий = , где , , , , - показатели степеней. Показатели могут быть целыми, дробными, положительными и отрицательными числами. Они могут принимать и нулевое значение. В последнем случае критерий не будет зависеть от соответствующей фундаментальной переменной.

Будем искать произведение критериев 1 и 1 в виде

где , , , , - неизвестные показатели степеней.

Если зависимость (2.7) справедлива относительно переменных, то она будет справедлива и относительно размерностей. Подставим в (2.7) вместо переменных их размерности. При этом будем учитывать, что поскольку критерии безразмерны, то левая часть уравнения представлена произведением размерностей в нулевых степенях:

M0L0T0 = (MLT−2 )a Lb(LT−1)c(ML−3)e(ML−1T−1)f

Чтобы последнее выражение было справедливым, должны выполняться ус-

В трех уравнениях пять переменных. Решив совместно уравнения (2.8) – (2.10), можно исключить три переменные. От того, какие переменные исключаются, зависит вид критериев. Все критерии будут формально верными. Одна-

45

Таблица 2.3 Данные для решения задач по определению безразмерных критериев с

использование теории размерностей

46

47

48

3. Организация экспериментальных исследований

До середины XVIII века вопросами организации эксперимента целиком занимались экспериментаторы. Математиков обычно привлекали для обработки результатов уже проведенного эксперимента. Постепенно, с усложнением экспериментальных задач, стало ясно, что речь должна идти не только об обработке экспериментальных данных, а об оптимальной процедуре ма- тематико-статистического анализа. Такие процедуры и были разработаны усилиями многих математиков. Основные этапы становления планирования эксперимента можно выделить следующие:

метод наименьших квадратов – (А.Лежандр, К.Гаусс, конец 18начало 19 века);

основы регрессионного и корреляционного анализа (Ф.Гальтон, К.Пирсон, конец 19 - начало 20 века);

концепция малых выборок (Госсет, более известный под псевдонимом «Стьюдент», начало 20 века);

основы математического планирования эксперимента (Р.Фишер, середина 20 века);

разработка последовательной стратегии экспериментирования, шаговая стратегия проведения эксперимента (Бокс и Уилсон).

Причем в результате становления математического планирования получается сбалансированность между стремлением к минимизации числа опытов и уровнем точности и надежности полученных результатов. Хорошо

спланированный эксперимент обеспечивает оптимальную обработку результатов, и, следовательно, возможность четких статистических выводов.

Однако, в основе статистических методов обработки данных (дисперсионный и регрессионный анализ) лежат определенные предпосылки о свойствах законов распределения случайных величин, их независимости, однородности дисперсий и т.д., что в реальных задачах выполняется далеко не всегда. Совокупность таких предпосылок принято называть моделью ситуации. Возникает вопрос: зачем оптимально планировать эксперимент, если нет уверенности в том, выполняются ли предпосылки принятой модели ситуации? В конце 70-х годах 20 века центр тяжести переместился на проблему принятия решения при выборе модели ситуации и обработке данных. Так возникло новое направление, известное под названием анализа данных. Здесь можно выделить такие основные этапы, как

-проверка выполнимости предпосылок модели ситуации;

-использование априорной информации (байесовские методы);

49

- применение устойчивых (робастных) процедур в случае нарушения тех или иных предпосылок или невозможности их проверки.

Все это стимулирует в последнее время развитие робастных и непараметрических методов анализа. Таким образом, экспериментатор должен наилучшим образом выбрать модель ситуации, план эксперимента и метод обработки.

3.1. Классификация экспериментальных исследований

Под экспериментом будем понимать совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации об его свойствах

Опыт – это отдельная экспериментальная часть.

Основной целью эксперимента является проверка теоретических положений (подтверждение рабочей гипотезы), а также более широкое и глубокое изучение темы научного исследования.

Различают эксперименты естественные и искусственные.

Естественные эксперименты характерны при изучении социальных явлений (социальный эксперимент) в обстановке, например, производства, быта и т.п.

Искусственные эксперименты широко применяются во многих естественнонаучных исследованиях. В этом случае изучают явления, изолированные до требуемой степени, чтобы оценить их в количественном и качественном отношениях.

Рассмотрим классификацию экспериментальных исследований. Примем схему, в которой выделим следующие обобщенные признаки эксперимента:

Организация;

Постановка задачи;

Способ проведения.

По структуре эксперименты делят на натурные, модельные и имитаци-

онные (машинные).

В натурном эксперименте средства исследования непосредственно взаимодействуют с объектом исследования. В модельном экспериментируют не с объектом, а с его заменителем – моделью. Модель при этом играет двоякую роль. Во-первых, она является объектом экспериментального исследования. Во-вторых, по отношению к изучаемому объекту она является средством экспериментального исследования. Имитационное моделирование является раз-

50

новидностью модельного эксперимента, при котором соответствующие характеристики исследуемого объекта исследуются с помощью разработанных алгоритмов и программ моделирования. Данный вид эксперимента отличается универсальностью и обладает широкой областью применения.

По стадии научных исследований эксперименты делятся на лабораторные, стендовые и промышленные.

Лабораторные эксперименты служат для изучения общих закономерностей различных явлений и процессов, для проверки научных гипотез и теорий.

Стендовые испытания проводят при необходимости изучить вполне конкретный процесс, протекающий в исследуемом объекте с определенными физическими, химическими и др. свойствами. (например, наработка на отказ) По результатам стендовых испытаний судят о различных недоработках при создании нового объекта, а также вырабатывают рекомендации относительно серийного выпуска изделий и условий его эксплуатации. Промышленный эксперимент проводят при создании нового изделия или процесса по данным лабораторных и стендовых испытаний, при оптимизации существующего процесса, при проведении контрольно-выборочных испытаний качества выпускаемой продукции.

Лабораторные и стендовые опыты проводят с применением типовых приборов, специальных моделирующих установок, стендов, оборудования и т.д. Эти исследования позволяют наиболее полно и доброкачественно, с требуемой повторяемостью изучить влияние одних характеристик при варьировании других. Лабораторные опыты в случае достаточно полного научного обоснования эксперимента (математическое планирование) позволяют получить хорошую научную информацию с минимальными затратами. Однако, такие эксперименты не всегда полностью моделируют реальный ход изучаемого процесса, поэтому возникает потребность в проведении производственного эксперимента.

Производственные экспериментальные исследования имеют целью изучить процесс в реальных условиях с учетом воздействия различных случайных факторов производственной среды. Пассивные производственные эксперименты заключаются в сборе данных и анализе случайных отклонений от заданных параметров процесса. В активных экспериментах изменения параметров процесса заранее планируют и задают.

Иногда возникает необходимость провести поисковые экспериментальные исследования. Они необходимы в том случае, если затруднительно классифицировать все факторы, влияющие на изучаемое явление вследствие отсутствия достаточных предварительных данных. На основе предварительного эксперимента строится программа исследований в полном объеме.

С точки зрения организации эксперимента можно выделить:

обычные (рутинные) эксперименты,

специальные (технические),