Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ТеорПрактНаучнИссл_Устименко

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
2.48 Mб
Скачать

121

В следующей таблице в столбце коэффициенты находятся вычисленные значения коэффициентов функции регрессии. В строке - пересечение записано значение свободного члена 0. В столбце Стандартная ошибка вычислены среднеквадратические отклонения коэффициентов. В столбце статистика записаны отношения значений коэффициентов к их среднеквадратическим отклонениям, что необходимо для проверки гипотез о значимости коэффициентов уравнения регрессии. В столбце - значение вычисляются уровни значимости, соответствующие критериальным статистикам. Если вычисленный уровень меньше заданного (например, 0.05), то принимается гипотеза о значимом отличии коэффициента от нуля, а в противном случае принимается гипотеза о незначительном отличии коэффициента от нуля.

По данной задаче необходимо выполнить построение многофакторного уравнения регрессии и выполнить его статистический анализ с полным обоснованием принятых гипотез.

122

5.Основы теории случайных процессов и их статистической обработки 5.1. Краткие сведения о случайных процессах

Математическое описание стохастических моделей основано на методах теории случайных процессов, корреляционном и спектральном анализе [ ]. Математический аппарат случайных процессов весьма эффективен для исследования функционирования технических систем при наличии случайных внешних воздействий (например, случайное изменение времени, пути, возмущающих нагрузок, координат положения, рельефа обрабатываемых поверхностей, массы и объема перерабатываемых или транспортируемых материалов, жидкостей и т.п.)

Понятие «случайный процесс» является производным от понятия «случайная функция».

Если значение какой-либо функции при данном значении независимой переменной является случайной величиной, то мы имеем случайную функцию.

Случайный процесс - это случайная функция ( ), независимой переменной которой является время.

Значения случайной функции х( ) в некотором ее сечении при фиксированном аргументе = 1 являются случайными величинами, которые описываются вероятностным законом распределения ( , 1).

 

Основные характеристики случайных функций представляются в виде сле-

дующих

функций: Мх( )

- математическое ожидание; х( ) - дисперсия;

 

 

 

 

 

 

=

- среднее

квадратическое отклонение случайной функции,

 

 

х

 

х( 1, 2) - корреляционная функция.

Математическим ожиданием случайной функции х( ) называется функция Мх( ), которая при каждом представляет собой математическое ожидание соответствующего сечения случайной функции. По смыслу математическое ожидание случайной функции есть некоторая средняя функция, около которой различным образом варьируются конкретные реализации случайной функции.

Дисперсией случайной функции х( ) называется функция х( ) значение которой для каждого равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции.

Корреляционной функцией случайного процесса х( ) называется функция двух аргументов х( 1, 2), которая для каждой пары фиксированных значений 1, 2 равна математическому ожиданию произведения:

,

=

− ( )

− ( )

х 1 2

1

 

1

2

 

2

При определении оценок Мх( ), х

,

х 1, 2

по экспериментальным

данным используются следующие формулы:

123

 

 

 

М =

1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

=

 

 

− ( ) 2

;

 

 

 

 

 

х

 

− 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

,

=

 

 

− ( )

− ( ) ;

 

 

х 1 2

 

− 1

 

1

 

 

 

1 2

2

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Важным классом случайных функций являются стационарные случайные функции, у которых вероятностные характеристики одинаковы при всех значениях . В этом случае математическое ожидание и дисперсия постоянны: Мх = , х = , , а корреляционная функция зависит только от

разности между своими аргументами: х 1, 2 = х

, где = 2 1.

Из симметричности корреляционной функции

х 1, 2

следует, что

х = х , т.е. корреляционная функция стационарной случайной функции есть четная функция аргумента ; поэтому она зависит только от абсолютной величины разности 2 1

При исследовании параметров технических систем, на которые воздействуют случайные процессы, используются такие типичные корреляционные функции:

1.х = , > 0;

2.х = 2 , > 0;

3.

 

=

cos , > 0;

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

= 2

 

cos , > 0;

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

=

 

(cos +

sin ), > 0, > 0;

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 −

 

 

, 0 ≤ ≤

 

 

 

 

 

 

 

0

6.

 

=

 

 

0

 

х

 

 

0, > 0

 

 

 

 

 

 

Так как указанные функции обладают свойством четности, их графики симметричны относительно оси ординат. Коэффициенты и подбираются из условия наилучшего приближения опытной кривой, например, методом наименьших квадратов.

На практике вместо корреляционной функции х часто пользуются безразмерной нормированной корреляционной функцией

( )=

Стационарные случайные процессы обладают свойством эргодичности, которое заключается в том, что отдельная реализация случайного процесса на

124

бесконечном временном интервале полностью определяет весь случайный процесс. В этом случае математическое ожидание, дисперию и корреляционную функцию можно приближенно определять по одной достаточно длинной реализации.

Об эргодичности или неэргодичности стационарного случайного процесса можно судить по его корреляционной функции. Если х стремится к нулю при → ∞, то это является достаточным условием для того, чтобы случайный процесс обладал свойством эргодичности.

Благодаря эргодичности все расчеты и эксперименты значительно упрощаются. Вместо ряда параллельных испытаний достаточно воспользоваться одной кривой x(t), полученной при испытании в течение достаточно длительного времени.

5.2. Спектральное разложение стационарных случайных процессов

Представление стационарной случайной функции в виде суммы бесконечно большого числа гармонических колебаний с непрерывно изменяющейся частотой ω (непрерывным спектром) называется спектральным разложением. Для оценки частотного состава случайной функции вводится статистическая характеристика , которую называют спектральной плотностью. Это не случайная четная вещественная (неотрицательная) функция частоты. По сравнению с характеристикой х она не дает новой информации о случайно процессе, но при переходе из временной области в частотную наглядно раскрывает его внутреннюю структуру по спектру частот.

Спектральная плотность и корреляционная функция связаны между собой взаимно обратными косинус - преобразованиями Фурье:

 

 

 

 

=

 

 

 

cos ;

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

cos ;

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

На практике вместо спектральной плотности х

часто используется

нормированная спектральная плотность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

х

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нормированная корреляционная функция

 

и нормированная спек-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тральная плотность

 

также связаны между собой преобразованиями Фу-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рье

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

125

 

=

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

Для спектральных плотностей стационарных случайных процессов имеется ряд выражений, соответствующих типовым корреляционным функциям, приведенным выше:

1.

 

 

=

 

;

 

 

 

 

 

 

 

( 2+ 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

=

 

 

 

4 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2√

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∙( 2+ 2+ 2)∙

 

 

 

 

 

3.

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

222 +4 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

+ 2

 

4.

=

 

 

 

 

4

+ 4 ;

 

 

 

 

 

 

 

2√

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ∙(

2+ 2)∙

 

 

 

 

 

5.

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

222 +4 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

=

 

 

 

 

(1 − cos

 

).

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

При обработке первичной информации для оценки эффективной ширины спектра частот и среднего интервала корреляции используют следующие соотношения:

2 ∆ = ( ) ;

 

2

∆ =

( ) .

 

 

 

 

 

0

 

 

Между шириной спектра и средним интервалом корреляции существует зависимость

∆ ∙ ∆ ≥ 2 .

Например, для 1-ого типа корреляционной функции ∙ ∆ = ; ∆ = 2.

Следовательно, чем уже ширина спектра стационарного случайного процесса, тем больше интервал корреляции его сечений, и наоборот.