Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

KonspektElektrotekhnika_i_elektronika

.pdf
Скачиваний:
26
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
6.68 Mб
Скачать

Электротехника и электроника

2.3.3. Поверхностный эффект

Причина явления, получившего название «поверхностный эффект» (п.2.3) кроется в том, что при переменном электрическом токе части проводника рас- положенные ближе к оси охватываются большим магнитным потоком, величи- на которого уменьшается по мере удаления от оси к поверхности. Но чем меньше магнитный поток, тем меньше индуктивность и индуктивное сопротив- ление. Поэтому плотность тока неодинакова в различных точках поперечного сечения проводника: у поверхности проводника она получается больше, чем при постоянном токе, а в центре меньше. Переменный ток как бы вытесняется к поверхности провода.

Разница в плотностях тока у оси и на периферии провода возрастает с уве- личением диаметра провода, проводимости материала, его магнитной прони- цаемости и частоты переменного тока.

Отношение активного сопротивления проводника r к его сопротивлению R при постоянном токе (омическому сопротивлению) называется коэффициентом

поверхностного эффекта ξ = r .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

2.3.4. Цепь с емкостным элементом

 

 

 

 

 

i

С

u, i

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

I

ϕ=− 900

ω

u

 

 

 

 

ω t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

π/2

π

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

a)

 

 

б)

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

Рис. 2.15

 

 

 

 

 

В цепь с напряжением u = Um sin ωt включен конденсатор. В схеме замеще-

ния (рис. 2.15,а) он представлен емкостным элементом с емкостью С. Конден-

сатор периодически заряжается и разряжается, то есть в цепи протекает пере-

менный ток:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = dq = С du , где q = C·u - величина заряда. dt dt

Тогда: i = С d (U m sin ω t) = Сω U m cos ω t или i= Im sin (ωt+90о), dt

где амплитуда тока:

Im = Um ωC.

Разделив на 2 амплитуды тока и напряжения, получим выражение закона Ома для действующих значений:

I = ωCU =

U

=

U

,

1

 

 

 

X С

 

ωC

 

 

 

- 30 -

 

 

 

 

 

2. Однофазные электрические цепи

 

 

 

 

 

 

где ХС

=

1

=

1

- емкостное сопротивление [Ом].

 

2πfС

 

 

ωС

 

Ток изменяется синусоидально (временная диаграмма - рис. 2.15,б).

Начальная фаза тока

ψi

=

π

= 90o .

 

 

 

2

 

 

 

 

Угол сдвига фаз

ϕ = ψu − ψi

= −

π

,

 

 

 

 

 

 

2

 

то есть напряжение отстает от тока на 90º. Векторная диаграмма напряжения и тока представлена на рис. 2.15,в.

Мгновенная мощность:

p = ui = U

 

I

 

sin ω t cosω t = I U

 

sin 2ω t

= UI sin 2ω t

m

m

m

 

 

 

m

2

 

 

 

 

 

 

 

 

изменяется синусоидально с частотой, вдвое большей частоты переменного то- ка (рис. 2.16). Мгновенная мощность положительна, пока возрастает напряже- ние на конденсаторе - конденсатор заряжается;

 

р

 

происходит накопление энергии в его электри-

 

u

 

ческом поле. Когда напряжение понижается,

 

 

конденсатор разряжается на источник, то есть

 

 

i

 

 

энергия из электрического поля возвращается

 

 

 

0

π

ω t

назад к источнику.

Средняя за период (активная) мощность:

 

 

 

Р = 0 .

 

 

 

В цепи происходит обмен энергией между

 

 

 

источником и приемником. Эта энергия харак-

 

 

 

теризуется реактивной емкостной мощно-

 

Рис. 2.16

 

стью:

 

 

QС = U·I = I2·XС, [вар].

 

 

 

Таким образом, емкостной элемент является реактивным элементом.

Пример 2.6. Построить векторную диаграмму, найти активную мощность Р и потребление энергии емкостным приемником ХС за время работы t = 1 час, если известно U = 200 B, I = 10 A. Определить реактивную емкостную мощ-

ность.

 

 

 

 

 

 

I

Решение. Для емкостного приемника: P = 0 Вт.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-90o

Потребляемая энергия W = I

2

r t = P t = 0 1 = 0

Вт·час.

 

 

 

 

Угол сдвига фаз между напряжением и током ϕ = −

π

, то

 

U

 

 

2

 

есть на векторной диаграмме (рис. 2.17) вектор напряжения U

Рис. 2.17

отстает от вектора тока I на 90º:

 

Реактивная емкостная мощность:

 

QС = U·I = 200·10= 2000 Вар= 2 квар.

 

- 31 -

Электротехника и электроника

2.4. ЦЕПЬ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ РЕЗИСТИВНОГО, ИНДУКТИВНОГО И ЕМКОСТНОГО ЭЛЕМЕНТОВ

В цепь с напряжением u = U m sin ωt включены последовательно соединен-

ные резистор с сопротивлением r, катушка с индуктивностью L и конденсатор с

емкостью С. В схеме замещения (рис. 2.18,а) они представлены идеальными

элементами. При прохождении тока на выводах элементов возникают напряже-

ния: ua на резистивном элементе, uL

на индуктивном элементе, uС на емко-

стном элементе.

Согласно второму закону Кирхгоффа, мгновенное значение

 

 

 

 

 

 

полного напряжения:

i

r

L

C

 

 

u = ua + uL + uС.

 

 

 

 

UL

 

Ток и напряжения изменя-

 

 

 

 

 

ются синусоидально. Это по-

 

ua

uL

uС

UC

ω

u

U

зволяет перейти к векторному

 

 

 

 

 

 

 

изображению величин. Дейст-

 

 

 

 

Up

 

 

 

 

ϕ

Ua

I

вующее значение полного на-

 

 

 

 

 

 

пряжения U равно геометриче-

 

 

а)

 

б)

 

ской сумме напряжений на от-

 

 

 

 

дельных элементах:

 

 

 

Рис. 2.18

 

 

 

 

 

 

 

U = Ua + UL + UC,

 

 

 

 

 

 

где Ua = I·r - активное напряжение совпадает по фазе с током I (φа = 0);

UL = I XL - индуктивное напряжение опережает ток на 90° ( φL = 90о); UC = I XC - емкостное напряжение отстает от тока на 90° ( φС = - 90о).

Для определения полного напряжения построим векторную диаграмму (рис. 2.18,б). Начинаем с вектора тока I, который является общим для всей схе- мы. Под углом 0о относительно вектора тока проводим вектор Ua, из конца ко- торого под углом φL = 90о откладываем вектор UL; из конца вектора UL под уг- лом φС = - 90о относительно вектора I проводим вектор UС. Допускаем, что XL>XC , поэтому вектор UL длиннее вектора UC. Результирующий вектор U со- единяет начало вектора Ua с концом вектора UC.

Общее напряжение на реактивных элементах называется реактивным на- пряжением U L + U C = U р . Так как векторы индуктивного и емкостного на-

пряжений имеют противоположные направления, то действующее значение ре- активного напряжения:

Uр= UL - UC .

Векторы U, Uа, Uр являются сторонами прямоугольного треугольника - треугольника напряжений, где действующее значение полного напряжения:

U = U a2 + U p2 = U a2 + (U L UС )2 .

Активная и реактивная слагающие напряжения:

U a = U cosϕ ; U p = U sinϕ .

Угол между векторами U и Uа:

U L UC

ϕ

U p

= arctg

 

= arctg

 

 

 

 

U a

 

U a

- угол сдвига фаз между напряжением U и током I.

- 32 -

2. Однофазные электрические цепи

Разделив все стороны треугольника напряжений на величину тока I, полу-

чим треугольник сопротивлений (рис. 2.19), где:

r =

U a

 

 

- активное сопротивление;

 

 

 

 

 

Z

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

U

 

 

 

 

 

ϕ

Z =

- полное сопротивление;

r

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =

U p

 

- результирующее реактивное сопротивление,

Рис. 2.19

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X = XL - XC, где X L =

U L

- индуктивное сопротивление;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

U

X C = C - емкостное сопротивление.

I

Таким образом, знак Х позволяет определить, является ли оно индуктив- ным или емкостным.

Из треугольника сопротивлений получим:

 

 

 

 

 

; X = Z sinϕ ; r = Z cosϕ ,

 

 

Z =

r 2 + (X L X C )2

где ϕ = arctg

X

= arctg

X L X C

- угол сдвига фаз межу напряжением и током.

 

 

 

r

r

Величина и знак угла φ позволяют определить характер нагрузки (показы- вает, какие элементы присутствуют в эквивалентной схеме замещения):

φ > 0 – активно-индуктивная (r и L); φ < 0 – активно-емкостная (r и С); φ = 0 – активная (r); φ = 90о индуктивная (L); φ= - 90о емкостная (С).

Таким образом, возможны пределы изменения − π ≤ φ ≤ π в зависимости

от соотношения r, XL, XC.

 

2

2

 

 

 

Выражение закона Ома для этой цепи:

 

 

I =

U

= U .

 

r 2

+ ( X L X C )2

Z

 

Пример 2.7. В цепи с последовательным соединением элементов r, L, C из- вестны U = 100 B, r = 4 Oм, XL = 5 Oм, XC = 2 Oм. Найти ток І и напряжения на выводах элементов Ur, UL, UC. Построить векторную диаграмму.

Решение. Полное сопротивление цепи:

Z = r 2 + (X L X C )2 = 42 + (5 2)2 = 5 Ом.

= U = 100 =

Действующее значение тока I 20 А.

Z 5

Действующие значения напряжений на элементах:

U а = U r = I r = 20 4 = 80 В;

U L = I X L = 20 5 =100 В; UC = I X C = 20 2 = 40 В.

Для полученных значений напряжений векторная диаграмма изображена на рис. 2.18,б.

- 33 -

Электротехника и электроника

Если все стороны треугольника напряжений умножить на величину тока I,

то получим треугольник мощностей (рис. 2.20), где:

P = Ua·I - активная мощность [Вт];

S

 

 

Q = Up·I - реактивная мощность [вар];

 

Q

 

S = U·I - полная мощность. Единица - вольт-ампер [ВА].

 

ϕ P

 

Q = QL - QC ,

 

 

 

где QL = UL·I - реактивная индуктивная мощность; QC = UC·I - реактивная емкостная мощность. Из треугольника мощностей следует:

 

S =

P2

+ Q2

.

 

Так как S = U I, а U = I·Z, то S = I2·Z.

 

 

 

 

P = S cosϕ

= UI cosϕ . Так как cosϕ

= Ua= I r, то

Q = S sinϕ

= UI sinϕ . Так как sinϕ

= Up= I Х, то

Угол сдвига фаз:

 

QL QC

 

 

ϕ = arctg

Q

= arctg

.

 

 

 

 

 

P

 

 

P

Рис. 2.20

P = Ua·I= I2·r.

Q = Up·I= I2·Х.

Поскольку Q = QL - QC, то знак реактивной мощности позволяет определить, является ли она индуктивной «+» или емкостной «-». При этом соответственно угол сдвига фаз будет ϕ > 0 или ϕ < 0.

Если в цепи находится два или более последовательно соединенных одно- типных приемника, то для вычисления полной мощности нужно сначала найти суммарные активную и реактивную мощности:

 

 

=

 

 

 

 

.

S = (P )2

+ (Q )2

(P )2

+ (Q

Lk

Q )2

k

k

 

k

 

Ck

Выражение активной мощности отличается от выражения мощности по- стоянного тока наличием множителя cos φ, называемого коэффициентом мощ-

ности:

cosϕ = P =

P

.

P2 + Q2

S

 

Коэффициент полезного действия - отношение полезно используемой при- емником мощности Р2 к потребляемой им из сети мощности Р1:

η =

P

=

P − ∆ P

 

2

1

,

P

P

 

 

 

 

1

 

1

 

где потери мощности ∆P= P1 - P2.

 

 

 

 

Пример 2.8. По значениям U = 100 B, I = 10 A, ϕ = -30° определить Р, Q, S цепи. Указать характер нагрузки. Найти энергию, которую получает нагрузка за t = 30 с работы.

Решение. Полная мощность S = U I =100 10 =1000 ВА.

Активная мощность P = S cosϕ =1000 cos30o =1000

3

= 860 Вт.

2

 

 

1

 

Реактивная мощность Q = S sinϕ =1000 sin(30) = −1000

= −500 вар.

 

 

2

 

- 34 -

2. Однофазные электрические цепи

Так как Q отрицательная, то она является емкостной мощностью. Следова- тельно, полная мощность имеет две составляющие: активную и реактивную ем- костную. Характер нагрузки: активно емкостной.

Потребляемая электрическая энергия W = P t = 860 0,5 = 450 Вт·час.

2.4.1. Резонанс напряжений

Возникает в цепи с последовательным соединением резистивного, индук- тивного и емкостного элементов при условии:

XL = XC .

Следовательно, реактивные индуктивное UL = IХL и емкостное UС = IХС на- пряжения компенсируют друг друга UL – UС = 0. Векторная диаграмма пред- ставлена на рис. 2.21.

Полное сопротивление Z = r 2 + ( X L X C )2 = r имеет минимальное зна-

чение.

Ток I = U = U максимален.

 

 

 

 

Z

r

 

 

 

X L X C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Угол сдвига фаз ϕ

= arctg

= 0,

то есть ток совпадает по фазе с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

напряжением.

 

 

пряжением.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UL

 

 

 

Полное

 

 

 

напряжение

 

 

 

 

цепи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= I r

 

 

 

 

 

 

UC

 

ω

U =

U a2 + (U L UС )2

 

= U a

приложено к

актив-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ному сопротивлению.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I r

 

 

I r

 

 

 

U=Ua

 

 

I

 

Из соотношений

 

 

U

=

U

=

 

=

полу-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I X

 

I X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

L

U

C

L

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.21

 

 

чим

 

U L = UC = U

X L

= U

 

X C

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, если индуктивное XL и емкостное XC сопротивления цепи больше ее активного сопротивления, то напряжения на XL и XC при резонансе

напряжений превосходят приложенное к цепи напряжение в X L = X C раз, то r r

есть на участках с XL и XC возникают перенапряжения. Вследствие этого в элек- тротехнических установках может быть пробита изоляция. Например, если в кабельную линию включить последовательно катушку какого-нибудь аппарата, индуктивность которой находится в резонансном соотношении с емкостью ка- беля.

Однако во многих областях электротехники резонанс находит полезное применение. Например, в радиотехнике для усиления электрических сигналов, настройке радиоприемников на частоту передатчика.

Цепь, содержащая индуктивный и емкостной элементы, представляет со- бой колебательный контур. Если в первую четверть периода конденсатор с ем-

2

костью С заряжается; в электрическом поле запасается энергия W = CU m 2 .

- 35 -

Электротехника и электроника

В течение следующей четверти периода конденсатор разряжается на ка- тушку с индуктивностью L. В магнитном поле накапливается энергия

2

W = LI m 2 . После этого энергия магнитного поля катушки индуктивности

преобразуется в энергию электрического поля конденсатора. Таким образом, происходит непрерывный обмен энергией между индуктивным и емкостным элементами. Поступающая от источника энергия полностью преобразуется в тепловую W = r I 2t в резистивном элементе с активным сопротивлением r.

Пример 2.9. Цепь с последовательным соединением элементов r, L, C ра- ботает в режиме резонанса напряжений. Известны:

U = 100 B, Ur = 100 В, UL = 30В, І = 1 А.

Найти UС и емкостное сопротивление конденсатора.

Решение. При резонансе: U

 

= U

 

= 30 B, тогда X

 

=

U

С

=

30

= 30 Ом.

L

C

C

 

 

 

 

 

 

I

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5. ЦЕПЬ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ РЕЗИСТИВНОГО, ИНДУКТИВНОГО И ЕМКОСТНОГО ЭЛЕМЕНТОВ

В цепь с напряжением u = U m sin ωt включены параллельно соединенные

резистор с сопротивлением r,

i

ia iL iC

u r

L C

а)

Рис. 2.22

катушка с индуктивностью L и конденсатор с ем-

 

 

 

 

 

 

 

 

костью С. В схеме замещения

 

 

 

 

 

 

U

ω

(рис. 2.22,а) они представлены

ϕ

 

Ia

 

 

 

 

идеальными элементами. Со-

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

гласно первому закону Кирх-

 

I

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

гоффа мгновенное значение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IC

 

 

IL

 

полного тока (тока в нераз-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ветвленной части цепи):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = ia + iL + iС,

 

 

б)

 

 

 

 

 

где ia ток в ветви с рези-

 

 

 

 

 

 

 

 

стивным элементом, iL ток в

 

 

 

 

 

 

 

 

ветви с индуктивным элемен-

том, iС ток в ветви с емкостным элементом.

Токи изменяются синусоидально, поэтому переходим к их векторному изо- бражению. Действующее значение полного тока I представляет собой геомет- рическую сумму токов отдельных ветвей:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I = I a + I L + I C ,

где

I

 

=

U

,

I

 

=

U

, I

 

=

U

- действующие значения соответственно актив-

a

 

L

 

С

 

 

 

 

r

 

 

X L

 

 

X C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ного, индуктивного и емкостного токов.

Для определения полного тока строим векторную диаграмму (рис. 2.22,б). Общим для всех ветвей является напряжение. Приняв начальную фазу ψu = 0, проводим вектор U горизонтально. Под углом φа = 0о относительно вектора U проводим вектор Ia (ток Ia совпадает по фазе с напряжением U), из конца кото- рого под углом φL = 90о относительно U откладываем вектор IL, учитывая, что ток IL отстает от U; из конца вектора IL под углом φС = - 90о относительно U

- 36 -

2. Однофазные электрические цепи

проводим вектор IC, учитывая, что ток IC опережает U. Допускаем, что XL < XC (поэтому вектор IL длиннее вектора IC). Результирующий вектор I соединяет на- чало вектора Ia с концом вектора IC.

Общий ток ветвей с реактивными элементами называется реактивным током I L + I C = I p . Так как векторы индуктивного и емкостного токов имеют

противоположные направления, то действующее значение реактивного тока:

I р= I L - I C .

Векторы I, Iа, Iр являются сторонами прямоугольного треугольника - тре-

угольника токов, где полный ток:

I = Ia2 + I p2 = Ia2 + (I L IC )2 .

Активная и реактивная слагающие тока:

 

Ia = I cosϕ

; I p = I sinϕ .

Угол между векторами I и Iа:

 

I

 

ϕ

= arctg

I p

= arctg

I

L

C

Ia

 

 

Ia

 

 

 

 

 

 

 

- угол сдвига фаз между напряжением и током.

Разделив все стороны треугольника токов на напряжение

угольник проводимостей (рис. 2.23), где:

ϕ G

B

Y

Рис. 2.23

U, получим тре-

G =

1

=

Ia

 

 

- активная проводимость;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y =

1

=

 

I

 

- полная проводимость;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B =

1

 

=

 

 

 

I p

 

 

- результирующая реактивная проводимость.

 

X

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В= BL - BC

, где BL =

1

=

I L

реактивная индуктивная проводимость;

X L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

B

=

 

 

 

1

 

=

IC

реактивная емкостная проводимость.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

X C

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из треугольника проводимостей следует:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G= Y·cos φ; B= Y·sin φ; Y = G 2 + B2 =

 

G 2 + (B

L

B )2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

где угол сдвига фаз

 

 

 

 

BL BC

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ = arctg

 

= arctg

B

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

G

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Закон Ома для параллельного соединения выражается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формулой:

 

 

 

 

I = U Y .

 

 

 

Рис. 2.24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если умножить стороны треугольника токов на напряже-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ние U то получим треугольник мощностей (рис. 2.24), в кото-

ром катеты треугольника изображают активную Ia·U = P и реактивную Ip·U = Q мощности, а гипотенуза полную мощность U·I =S.

- 37 -

Электротехника и электроника

Реактивная мощность цепи Q = QL - QC имеет две составляющие: IL·U = QL

реактивную индуктивную мощность и IC·U = QC - реактивную емкостную мощность.

Гипотенуза S и катет P образуют между собой угол φ, равный углу сдвига фаз между напряжением U и током I.

Таким образом, имеем: S = P2 + Q2 .

P = S cosϕ

= UI cosϕ ; но I cosϕ

= Ia

=

U

; тогда P = Ia

U =

U 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

Q = S sinϕ

= UI sinϕ

; но I sinϕ

= I p

=

U

; тогда Q = I p

U =

U 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

X

S=U I; I =

U

; S =

U 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соотношение, определяющее угол сдвига фаз: ϕ = arctg Q .

P

Пример 2.10. В цепи с параллельным соединением элементов r, L, C из-

вестны U = 100 B, r = 25 Oм, XL = 20 Oм, XC = 50 Oм. Определить токи І, Ir, IL, IC.

Построить векторную диаграмму.

Решение. Активный ток Iа

= I r

=

U

=

100

= 4 A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 25

Индуктивный ток I L =

U

 

 

=

100

= 5 A.

X L

 

 

 

 

20

 

 

 

 

 

 

Емкостный ток IC =

U

=

100

= 2 A.

 

 

 

X C

50

 

 

 

 

 

 

 

Общий ток I = I r2 + (I L IC )2 = 42 + (5 2)2 = 5 A.

Задаемся направлением вектора напряжения, относительно которого откла- дываем вектора токов. Ток Ia совпадает по направлению с U; из конца вектора Ia откладываем вектор тока IL, который отстает от U на 90о; из конца вектора IL вектор IС, который опережает U на 90о. Результирующий вектор соединяет на- чало вектора Ia с концом вектора IC. Для полученных значений токов векторная диаграмма соответствует рис. 2.22,б.

2.5.1. Резонанс токов

Возникает в цепи с параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов при условии:

 

 

 

U

ω

 

 

 

BC = BL.

 

 

 

 

 

При этом реактивные токи: индуктивный IL = U·ВL и

I= I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

емкостный IC = U·ВС, компенсируют друг друга IL – IС= 0.

 

 

 

 

 

 

IC

 

I

 

Векторная диаграмма представлена на рис. 2.25.

 

 

 

L

 

Полная проводимость равна активной проводимости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y = G 2 + (B

L

B )2 = G , то есть имеет минималь-

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.25

 

 

 

C

 

ное значение.

 

 

 

- 38 -

2. Однофазные электрические цепи

Общий ток I также имеет минимальное значение:

I = Ia2 + (I L IС )2 = Ia = U G

ипротекает в ветви с резистором. Угол сдвига фаз:

ϕ= arctg ВL − ВC = 0,

G

то есть ток совпадает по фазе с напряжением.

При резонансе токи IL, IC замыкаются в контуре, образуемом ветвями с ин- дуктивным и емкостным элементами. Они могут во много раз превосходить ток I в неразветвленной части цепи, что может быть опасно.

В цепи происходит непрерывный обмен реактивной энергией между ин- дуктивным и емкостным элементами (QC = QL). Энергия от источника покрыва-

ет только потери в ветви с активным сопротивлением ( S = P2 + Q2 = P = Ia2 r ).

Пример 2.11. В цепи с параллельным соединением элементов r, L, C из- вестны U = 100 B, Ir = 4 A, IL = 3 A. Найти ток ІC и емкостное сопротивление конденсатора, чтобы в цепи состоялся резонанс токов.

Решение. Вследствие резонанса I L = IC = 3 A. Тогда:

X C

=

U

=

100

= 33,3 Ом.

 

 

 

 

IC 3

 

 

 

 

2.6. КОЭФФИЦИЕНТ МОЩНОСТИ И ЕГО

 

 

 

 

ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ

Коэффициентом мощности называют отношение активной мощности P к полной S. Численно он равен косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током:

P = UI cosϕ = ϕ cos .

SUI

Сточки зрения рационального использования электрических машин и ап- паратов, которые служат источниками электрической энергии, желательно иметь как можно более высокий коэффициент мощности, то есть приближаю- щийся к cos φ = 1. Например, для питания приемника мощностью Р = 100 кВт при cos φ = 0,7 источник питания должен быть рассчитан на полную мощность:

S =

P

=

100

=143кВА,

cosϕ

 

 

0,7

 

а при cos φ = 1 – только на 100 кВА.

Высокий коэффициент мощности желательно также иметь для уменьшения потерь при передаче энергии по проводам ЛЭП. При мощности приемника в

конце ЛЭП P = U·I·cos φ ток

I =

P

, а мощность потерь энергии в линии:

U cosϕ

P

= I 2r

=

 

P2

 

 

r ,

 

U 2 cos2

ϕ

 

 

ЛЭП

ЛЭП

 

 

ЛЭП

 

то есть чем больше cos φ, тем меньше потери в ЛЭП.

- 39 -

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]