Том-1_РУ

Для числовых расчетов все векторы проецируются на ось х (рис. 10.1). 2. Абсолютно упругий удар.

Запишем закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии:

Решив полученную систему уравнений (попробуйте выполнить это самостоятельно), найдем скорости шаров после удара.

Чтобы выполнить расчеты, необходимо спроецировать векторы скоростей на ось х (рис. 10.1). Если при расчете какая-то проекция скорости окажется отрицательной, то это означает, что вектор этой скорости направлен в сторону, противоположную направлению оси х.

В заключение отметим, что величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения. Эта аналогия прослеживается в таблице 10.1.

51

Физические основы механики

Глава 4. Элементы специальной теории относительности

§11 Элементы специальной теории относительности

Теория относительности – физическая теория, рассматривающая про- странственно-временные закономерности, справедливые для любых физических процессов.

Специальная теория относительности изучает свойства пространства и времени в инерциальных системах отсчета при отсутствии полей тяготения. Специальную теорию относительности также называют релятивистской теорией.

11.1 Принцип относительности Галилея

Сопоставим описания движения частицы в инерциальных системах отсчета К и К . Система К движется относительно К с постоянной скоростью v в

направлении оси х (рис. 11.1). Координаты точки М в системе К и К будут связаны соотношениями:

наково.

Таким образом, преобразования Галилея позволяют, зная координаты в одной инерциальной системе отсчета, определить координаты в другой инерциальной системе отсчета.

Аналогичные уравнения можно было бы получить для vy и vz . Уравнение

(11.2) в этом случае можно записать в векторном виде.

________________________________________________________________________________________________________________________

*Галилей Галилео (1564–1642), итальянский физик и математик.

53

Физические основы механики

Уравнение (11.3) представляет собой классический закон сложения скоростей. Продифференцируем по времени (11.3) и придем к равенству:

( v const , dvdt 0 )

Таким образом, ускорения точки относительно систем К и К одинаковы. Масса тела при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не меняется, следовательно

Системы К и К были взяты произвольно. Поэтому полученный результат означает следующее:

1.Законы механики одинаково формулируются во всех инерциальных системах отсчета.

2.Все механические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково при одинаковых начальных условиях.

Эти утверждения называются принципом относительности Галилея.

Из принципа относительности следует, что никакими механическими опытами, проведенными внутри инерциальной системы отсчета, невозможно установить покоится она или движется прямолинейно и равномерно.

Величины, которые имеют одно и то же численное значение во всех системах отсчета, называются инвариантными (invariantis– «неизменяющийся»).

Впреобразованиях Галилея инвариантными величинами являются масса, ускорение, сила, время. Неинвариантные: скорость, импульс, кинетическая энергия.

11.2Постулаты специальной теории относительности

Воснове специальной теории относительности лежат два постулата: принцип относительности Эйнштейна и принцип постоянства скорости света. Принцип относительности Эйнштейна является распространением механического принципа Галилея на все без исключения физические явления.

1.В любых инерциальных системах отсчета все физические явления (механические, оптические, тепловые и т.д.) протекают одинаково (при одинаковых условиях). Это означает, что уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к преобразованиям координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

2.Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета, не зависит от скорости движения источника и приемника света, является предельным значением скорости передачи сигнала.

c 2,998 108 м/с 3 108 м/с.

54

Физические основы механики

11.3 Преобразования Лоренца

Преобразования, которые удовлетворяют постулатам Эйнштейна, называются преобразованиями Лоренца*. Если система К движется относительно системы К со скоростью v, направленной вдоль оси х (рис.11.1), то эти преобразования имеют вид:

Преобразования Лоренца при этом перейдут в преобразования Галилея. Это означает, что выполняется принцип соответствия. Принцип соответствия состоит в том, что всякая новая теория содержит в себе старую теорию в качестве частного случая.

2.Предположим, что v c . При этом 1 v2 0 .

c2

Это означает, что преобразования не имеют смысла. Отсюда следует, что движение со скоростью v c невозможно.

3. Из преобразований Лоренца видно, что временные и пространственные координаты взаимосвязаны.

Используя преобразования Лоренца можно получить релятивистский закон сложения скоростей:

Если v и v’ много меньше скорости света, то

V v v

Это означает, что уравнение (11.7) переходит в классический закон сложения скоростей (см. формулу (11.3)).

________________________________________________________________________________________________________________________

*Лоренц Хендрик Антон (1853–1928), нидерландский физик.

55

Физические основы механики

11.4 Следствия из преобразований Лоренца

Из преобразований Лоренца вытекает ряд необычных с точки зрения классической ньютоновской механики следствий.

1. Понятие одновременности событий относительно, а не абсолютно, как это считается в классической механике. Это означает, что события, одновременные,

но происходящие в разных точках пространства системы К , будут неодновременными в системе К.

2. Относительность промежутка времени между событиями

где 0 – промежуток времени, измеренный по часам, движущимся вместе с телом (собственное время);

– промежуток времени в системе отсчета, движущейся со скоростью v. Из полученной формулы следует, что собственное время меньше времени, отсчитанного по часам, движущимся относительно тела.

3.Сокращение линейных размеров в направлении движения (лоренцово сокращение)

где l0 – длина тела в системе отсчета, относительно которой оно покоится (собственный размер);

l – длина тела в системе отсчета, относительно которой оно движется со скоростью v.

Изменяются только продольные размеры, поперечные остаются постоянными.

11.5Основные соотношения релятивистской динамики

1.Эйнштейн показал, что масса тела является функцией скорости движения:

56

Физические основы механики

стремится к скорости света (v c), то его масса устремляется к бесконечности. Следовательно, никакое тело, обладающее массой покоя, не может двигаться со скоростью света. Со скоростью с могут двигаться лишь частицы, не обладающие массой покоя (фотоны).

2. Релятивистский импульс.

p mv ,

энергией покоя.

Выражение (11.13) представляет собой закон взаимосвязи энергии и массы.

Полная энергия материального объекта равна произведению его релятивистской массы на квадрат скорости света в вакууме.

Отсюда следует, что всякое изменение массы тела на m сопровождается изменением его энергии на величину

57

Физические основы механики

В случае малых скоростей v c формулу (11.16) можно преобразовать следующим образом:

5. Связь кинетической энергии с импульсом реляти-

В заключение следует отметить, что теория относительности не отрицает существования абсолютных величин и понятий. Она лишь устанавливает, что ряд понятий и величин, считавшихся в классической физике абсолютными, в действительности являются относительными.

Не следует также думать, что с появлением теории относительности классическая физика утратила свое значение. Релятивистские эффекты для обычных макроскопических тел и обычных скоростей столь незначительны, что оказываются далеко за пределами практической точности. В большинстве отраслей техники классическая физика «работает» также хорошо, как и прежде.

58

Физические основы механики

• Обратите внимание!

Исторически сложилось так, что в учебных и научных текстах по физике могут наблюдаться следующие ситуации:

1.Одним и тем же термином обозначаются различные явления или понятия.

2.Одно и то же понятие называется разными терминами.

3.Термин применяется к объектам, к которым его применять нельзя.

4.Различные по смыслу понятия обозначаются близкими по звучанию тер-

минами.

Для того, чтобы учебный материал воспринимался адекватно, в конце каждого раздела вводится рубрика «Обратите внимание!», в которой даются специальные пояснения.

Различайте следующие, близкие по звучанию, термины:

Инертность – свойство различных материальных объектов приобретать разные ускорения при одинаковых внешних воздействиях со стороны других тел. Инертность присуща разным телам в разной степени. Мерой инертности тела в поступательном движении является масса, а при вращательном движении – момент инерции.

Инерция – свойство тел сохранять неизменным состояние своего движения по отношению к инерциальным системам отсчета, когда внешние воздействия на тело отсутствуют или взаимно уравновешиваются. Инерция свойственна всем материальным объектам в равной степени.

Момент инерции – мера инертных свойств твердого тела при вращательном движении, характеризующая распределение массы относительно оси вращения

изависящая от массы, формы и размеров тела.

•Изучив раздел «Физические основы механики»,

студент должен ЗНАТЬ:

Суть понятий:

Физическое явление, физическая величина, физическая модель, физический закон, система единиц измерения. Материальная точка. Абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело. Система отсчета, тело отсчета, траектория, радиус-вектор.

Определения физических величин, их единицы измерения и формулы, по которым рассчитываются величины:

Путь, перемещение, скорость, ускорение. Угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение, период, частота вращения. Масса, плотность, импульс тела, сила, импульс силы. Момент инерции, момент силы, момент импульса. Работа, мощность, энергия.

59

Физические основы механики

Законы:

Закон всемирного тяготения. Законы Гука, Архимеда, сухого и вязкого трения. Законы Ньютона. Основной закон динамики вращательного движения. Законы сохранения импульса, момента импульса, механической энергии.

Классический закон сложения скоростей, закон сложения скоростей в релятивистской механике.

Теоремы:

Теорема Штейнера. Теорема об изменении кинетической энергии.

Уравнения:

Уравнения скорости и перемещения для равномерного и равнопеременного движения.

Формулы:

Связь между линейными и угловыми характеристиками. Потенциальная энергия, кинетическая энергия поступательного и вращательного движения. Расчет работы и мощности при поступательном и вращательном движении.

Преобразования Галилея, преобразования Лоренца, следствия из преобразований Лоренца, основные соотношения релятивистской динамики.

Графики:

Графическое представление движения (график зависимости координаты тела от времени, график зависимости скорости, ускорения от времени).

Графическое представление пройденного пути, работы, потенциальной энергии.

60