Том-1_РУ

Электростатика и постоянный ток

Aq .

На практике за нулевой потенциал обычно принимают потенциал Земли.

Если поле создается системой зарядов, то, в соответствии с принципом суперпозиции, потенциал результирующего поля равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

i 1

§36 Графическое изображение электростатических полей

Графически электростатическое поле изображают с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.

Эквипотенциальная поверхность – это геометрическое место точек электростатического поля, потенциалы которых одинаковы. Работа, со-

вершаемая силами электростатического поля при перемещении электрического заряда по одной и той же эквипотенциальной поверхности, равна нулю.

Силовая линия (линия напряженности) – это линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора напряжен-

ности E (рис. 36.1).

Особенности силовых линий электростатического поля:

статического поля.

4. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Эквипотенциальные поверхности обычно чертят так, что при переходе от одной эквипотенциальной поверхности к соседней потенциал меняется на одну

и ту же величину . Чем меньше выбрано значение разности потенциалов , тем детальнее будет представлено распределение потенциала в пространстве.

Для бóльшей наглядности чертят также силовые линии, перпендикулярные поверхностям равного потенциала. Там, где (при постоянной разности потенциалов ) соседние эквипотенциальные поверхности наиболее близко подходят друг к другу, напряженность электрического поля максимальна. Наоборот, в местах, где расстояния между ними велики, будет мала и напря-

женность поля E .

131

Электростатика и постоянный ток

Примеры картин силовых линий и эквипотенциальных поверхностей: 1. Поле точечного заряда.

2. Система точечных зарядов.

3. Поле равномерно заряженной плоскости.

§37 Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом

Электростатическое поле можно описать с помощью векторной величины

верхности находятся на разном расстоянии друг от друга.

Изменение потенциала в заданном направлении r характеризует производная по направлению ddr . С уменьшением расстояния от заряда потенциал поля увеличивается. Это означает, что численное значение производной будет

132

Электростатика и постоянный ток

возрастать в сторону, противоположную вектору E . Для того, чтобы указать направление наиболее быстрого возрастания потенциала, вводят векторную величину, которая называется градиентом потенциала.

Градиент потенциала (обозначается grad ) – это вектор, направленный

в сторону максимального возрастания потенциала и численно равный изменению потенциала, приходящемуся на единицу длины в этом направлении. Таким образом, градиент потенциала характеризует степень неоднородности поля.

Установим, как связаны напряженность электрического поля E и градиент потенциала grad . Поместим в точку А указанного электрического поля

пробный положительный заряд qпр. Пусть под действием поля он смещается из

точки с потенциалом в точку с потенциалом d . При этом совершается работа

где dr – расстояние между эквипотенциальными поверхностями и d .

Это означает, что напряженность электрического поля численно равна изменению потенциала, приходящемуся на единицу длины. Формулу (37.3) можно записать в векторном виде

Знак « – » говорит о том, что вектор напряженности направлен в сто-

рону убывания потенциала. Формула (37.4) справедлива для любого электростатического поля.

Рассмотрим однородное электрическое поле. Примером такого поля является поле между двумя разноименно заряженными пластинами. В каждой точке

однородного поля вектор E сохраняет свое численное значение и направление. В этом случае

где d – расстояние между эквипотенциальными плоскостями с потенциалами

1 и 2,

U 1 2 – разность потенциалов (напряжение).

133

Электростатика и постоянный ток

§38 Расчет электростатических полей

38.1 Теорема Гаусса

Теорема Гаусса* позволяет в ряде случаев найти напряженность поля более просто, чем с использованием формулы для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции электростатических полей. Прежде чем сформулировать теорему, введем понятие потока вектора напряженности электростатического поля.

Потоком вектора напряженности электрического поля через элементарный участок поверхности dS называется величина

– угол между направлением n и E (рис. 38.1).

Поток вектора напряженности через любую поверхность S равен алгебраической сумме потоков напря-

женности сквозь все элементарные участки этой поверхности.

Согласно теореме Гаусса для электростатического поля

Поток вектора напряженности электростатического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на произведение 0 .

Введем дополнительную характеристику D электростатического поля, которую называют вектором электростатической индукции (электрическим смещением).

В этом случае теорему Гаусса можно записать следующим образом:

Поток вектора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью.

___________________________________________________________________________________________________________________________

*Гаусс Карл Фридрих (1777–1855), немецкий математик, астроном и физик.

134

Электростатика и постоянный ток

38.2 Примеры расчета электростатических полей

При расчете электростатических полей в этом разделе предполагается, что проводники находятся в вакууме, т.е. =1.

38.2.1 Поле равномерно заряженной бесконечно длинной нити

Пусть бесконечно длинная нить заряжена равномерно с линейной плотно-

стью заряда . Линейной плотностью заряда называется величина, численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины. При равномерном распределении заряда

[ ] Клм .

В качестве замкнутой поверхности выберем коаксиальный цилиндр ради-

EdS E 2 rl .

S

Рисунок 38.2 По теореме Гаусса (см. формулу (38.3)):

Напряженность поля заряженной нити определяется линейной плотностью заряда и расстоянием от нити. Поле отрицательно заряженной нити отли-

чается только направлением напряженности E .

Получим формулу для расчета разности потенциалов поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечно длинной нитью. Работа А, совершаемая силами электростатического поля при перемещении пробного заряда qпр из точки 1 с потенциалом 1 в точку 2 с потенциалом 2 равна

135

Электростатика и постоянный ток

Как уже отмечалось, существенным является не само значение потенциала, а разность потенциалов. Сравнив полученное выражение для расчета работы с формулой (35.9), можно сделать вывод, что разность потенциалов двух точек поля нити определяется соотношением

38.2.2 Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Пусть плоскость заряжена равномерно с поверхностной плотностью заряда. Поверхностной плотностью заряда называется величина, численно равная заряду, приходящемуся на единицу площади. При равномерном распределении заряда

Это означает, что на любых расстояниях от бесконечной плоскости напряженность поля одинакова по величине (рис. 38.3).

Две равномерно, с одинаковой плотностью , разноименно заряженные бесконечные параллельные плоскости создают однородное электрическое поле. Напряженность Е поля между плоскостями определяется соотношением:

136

Электростатика и постоянный ток

качестве гауссовой поверхности выбирают концентрическую с заряженной сферой поверхность радиуса r. Если r > R, то внутрь поверхности попадает весь заряд q, распределенный по сфере. Применив теорему Гаусса, можно получить формулу для расчета напряженности поля равномерно заряженной сферической поверхности:

Это означает, что вне шара напряженность убывает по такому же закону, как и у поля точечного заряда.

Сферическая поверхность радиуса r < R не будет содержать зарядов, поэтому внутри сферы, заряженной с постоянной поверхностной плотностью, поле отсутствует, т.е. Е = 0.

Глава 11. Электрическое поле в веществе §39 Электрический диполь

Электрическим диполем называется система двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов +q и –q, расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до тех точек, в которых определяется поле системы.

лению с плечом диполя и численно равный произведению модуля заряда q на плечо l , называется электрическим моментом диполя или дипольным мо-

ментом (рис. 39.1).

EA Пусть положение произвольной точки А от-

1носительно центра диполя (точка О) задается ради- ус-вектором r . Радиус-вектор r образует с осью

rдиполя угол (рис. 39.2). Используя принцип суперпозиции полей, можно получить формулу для

где р – дипольный момент.

137

Электростатика и постоянный ток

Если = 0 (точка лежит на оси диполя), то

Если 2 (точка лежит на прямой, проходящей через центр диполя перпендикулярно оси диполя), то

поль заряды +q и –q окажутся под действием равных по величине, но противоположных по направлению сил F1 и F2 . Модуль каждой силы F qE .

§40 Диэлектрики в электрическом поле

Диэлектрики (изоляторы) – это вещества, не способные проводить электрический ток. Идеальных изоляторов в природе не существует. Все вещества хотя бы в ничтожной степени проводят электрический ток. Однако, вещества, которые называются диэлектриками, проводят ток в 1015 – 1020 раз хуже, чем вещества, которые называются проводниками.

138

Электростатика и постоянный ток

Согласно молекулярно-кинетической теории все вещества состоят из атомов или молекул. В свою очередь, атомы состоят из положительно заряженных ядер и отрицательно заряженных электронов, расстояние между которыми очень мало (~10–10 м), поэтому атомы и молекулы, находящиеся в электрическом поле, можно рассматривать как диполи. Если диэлектрик внести в электрическое поле, то это поле и сам диэлектрик претерпевают существенные изменения.

40.1 Классификация диэлектриков

По своей структуре диэлектрики можно разделить на три группы.

1. Вещества, молекулы которых имеют симметричное строение (N2, H2, O2,

молекулу так, чтобы ее дипольный момент установился по направлению поля.

3. Вещества, молекулы которых имеют ионное строение (NaCl, KCl, KBr и др.). При наложении на кристалл электрического поля происходит некоторая

деформация решетки. При этом возникает дипольный момент.

40.2 Поляризация диэлектриков

Заряды, входящие в состав диэлектрика, называются связанными. Покинуть пределы молекулы связанные заряды не могут. Под действием электрического поля связанные заряды могут лишь смещаться относительно положений равновесия.

Если внешнее электрическое поле отсутствует, то дипольные моменты молекул диэлектрика или равны нулю (неполярные молекулы), или распределены

139

Электростатика и постоянный ток

по направлениям в пространстве хаотическим образом (полярные молекулы). В обоих случаях суммарный дипольный момент диэлектрика равен нулю.

При помещении диэлектрика во внешнее электрическое поле его молекулы приобретают дипольные моменты или поворачиваются так, что их дипольные моменты устанавливаются по направлению поля. Смещение положительных и отрицательных зарядов диэлектрика под действием электрического поля называ-

ется поляризацией диэлектрика.

В результате диэлектрик приобретает дипольный момент

i 1

где pi – дипольный момент одной молекулы.

Для количественного описания поляризации диэлектрика вводят векторную величину, которую называют поляризованностью.

Поляризованность ( PV ) – векторная физическая величина, численно равная дипольному моменту единицы объема диэлектрика.

где V – физически бесконечно малый объем, взятый вблизи рассматриваемой точки.

[PV ] Клм3 м мКл2 .

В слабых полях поляризованность изотропных диэлектриков пропорциональна напряженности электрического поля (рис. 40.3) в той же точке:

40.3 Поле внутри диэлектрика

Рассмотрим две бесконечные параллельные плоскости с равными по величине, но разными по знаку зарядами. Между пластинами возникает однородное

электрическое поле напряженностью E0 . Напряженность поля в вакууме будет определяться зарядами на пластинах

140