Вопрос№55

Два события независимы, если вероятность появления события А не меняет вероятности события В.

Пусть - распределение случайного вектора - распределение x и -распределение y. Тогда X,Y независимы тогда и только тогда,когда :

где обозначает (прямое) произведение мер.

Пусть - кумулятивные функции распределения

соответственно. Тогда независимы тогда и только тогда, когда

Пусть случайные величины дискретны. Тогда они независимы тогда и только тогда, когда

Пусть случайные величины совместно абсолютно непрерывны, то есть их совместное распределение имеет плотность Тогда они независимы тогда и только тогда, когда

Где - плотности случайных величин X и Y соответственно.

Для независимых событий теорема умножения Р (АВ) = Р (А) РA (В) имеет вид

Р (АВ) = Р (А) Р (В), (**)

Вопрос№56/№57

Предположим, что событие В может произойти с одним и только с одним из n несовместных событий А1, А2, …, Аn, образующих полную группу событий (Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1), т.е. В=, ВА_i и ВА_j несовместны при i≠jпо т. Сложения Р(В)=, а по т. умножения Р(В)= - формула полной вероятности.

Пусть произошло событие В; А1, А2, …, Аn – гипотезы. Найдем вероятность гипотезы Р(А_i) при условии, что событие В произошло.

; . Используя формулу полной вероятности получим - формула Байеса.

Вопрос№58

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Формальное математическое определение следующее: пусть — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на Вероятностное поведение отдельной (независимо от других) случайной величины полностью описывается её распределением.

Основные типы величин : дискретные и непрерывные

Вопрос №59

Закон распределения дискретной случайной величины

Определение. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.

Вопрос №60

Определение. Математическим ожиданием случайной величины x (иногда применяется термин среднее или генеральное среднее) называется число (другие распространенные обозначения: , равное :

если - дискретная случайная величина и если - непрерывная случайная величина.

Определение. Дисперсией случайной величины называется число (другие распространенные обозначения: , равное если - дискретная случайная величина, и если - непрерывная случайная величина.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины (иногда применяется термин «стандартное отклонение случайной величины») называется число , равное Среднее квадратическое отклонение, следовательно, является, как и дисперсия, мерой рассеяния распределения, но измеряется, в отличие от дисперсии, в тех же единицах, которые используют для измерения значений случайной величины.