Лабораторная работа № 1 Определение площади геометрических фигур методом Монте-Карло

Цель работы: получение навыков проведения статистических экспериментов.

1.1 Общие положення

Имитационная модель – это формальное (то есть выполненное на некотором формальном языке) описание логики функционирования исследуемой системы и взаимодействия отдельных ее элементов во времени, учитывающее наиболее существенные причинно-следственные связи, присущие системе, и обеспечивающее проведение статистических экспериментов.

В результате имитационных экспериментов исследователь получает набор экспериментальных данных, на основе которых могут быть оценены характеристики системы.

Иммитационная модель должна отвечать двум основным требованиям:

• отражать логику функционирования исследуемой системы во времени;

• обеспечивать возможность проведения статистического эксперимента.

В основе статистического эксперимента лежит метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Суть его состоит в том, что результат испытания ставится в зависимость от значения некоторой случайной величины, распределенной по заданному закону. Поэтому результат каждого отдельного испытания также носит случайный характер.

Проведя серию испытаний, получают множество частных значений наблюдаемой характеристики (то есть выборку). Полученные статистические данные обрабатываются и представляются в виде численных оценок интересующих исследователя величин (характеристик системы).

Теоретической основой метода статистических испытаний являются предельные теоремы теории вероятностей (теорема Чебышева, теорема Бернулли, теорема Пуассона). Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний.

Важно отметить, что метод статистических испытаний применим для исследования как стохастических, так и детерминированных систем.

Еще одной важной особенностью данного метода является то, что его реализация практически невозможна без использования ЭВМ.

1.2 Пример нахождения площади круга методом Монте-Карло

В качестве иллюстрации к изложенному рассмотрим применение метода статистических испытаний для вычисления площади круга заданного радиуса. Данная задача относится к классу детерминированных, поскольку весьма сложно представить себе случайные факторы, под влиянием которых площадь неподвижной геометрической фигуры могла бы изменяться.

Пусть круг имеет радиус r = 5, и его центр находится в точке с координатами О(1, 2). Уравнение соответствующей окружности имеет вид:

(x – 1)² + (y – 2)² = 25. (1.1)

Для решения задачи методом Монте-Карло опишем вокруг круга квадрат. Его вершины будут иметь координаты (-4, -3), (6, -3), (-4, 7) и (6, 7). Координаты любой точки, лежащей внутри квадрата или на его границе должны удовлетворять неравенствам: -4 < х < 6 и -3 < у < 7. Квадрат будет иметь длину ребра, равную 10.

При решении данной задачи естественно исходить из того, что все точки в этом квадрате могут появляться с одинаковой вероятностью, то есть будем считать, что х и у распределены равномерно с плотностями вероятностии:

(1.2)

(1.3)

Проведя некоторое количество испытаний (то есть получив множество случайных точек, принадлежащих квадрату), подсчитаем число точек, попавших внутрь круга или на окружность. Если выборка состоит из n наблюдений и из n точек m точек попали внутрь круга или на окружность, то оценку площади круга можно получить из соотношения:

. (1.4)

В таблице 1.1 приведены оценки площади круга , полученные для разных значений n, причем для каждого n выполнялось 5 прогонов (точное значение = 78,54 см).

Прогоны отличаются друг от друга последовательностями случайных чисел, из которых формировались координаты точек.

На основании полученных результатов могут быть сделаны выводы, которые справедливы для любого имитационного эксперимента независимо от физической природы и типа моделируемой системы:

• каждый прогон модели можно рассматривать как одно наблюдение в проводимом эксперименте на модели;

• с увеличением продолжительности прогона (то есть продолжительности наблюдения) отклонение измеряемой величины от ее точного значения уменьшается, поскольку наблюдаемая система переходит в стационарное состояние;

• влияние переходных условий можно уменьшить, если увеличить количество прогонов модели (то есть количество экспериментов);

• существует предел, за которым увеличение продолжительности прогона модели уже не дает существенного повышения точности результата, измеряемой дисперсией.

Таблица 1.1. – Результаты оценки площади круга методом статических испытаний

Номер прогона	Оценки площади круга
	Число испытаний (n)
	100	200	1 000	5 000	10 000
1	78	79,5	77	79,5	77
2	70	77	78	78,88	78,8
3	81	77,3	80,2	79,5	79,8
4	70	79,12	71,29	78,22	78,6
5	79	77,72	77,76	79	78,26
Среднее	75,6	78,13	76,85	79,02	78,79
Дисперсия	27,3	1,248	11,077	0,280	1,024

Основная цель рассмотренного примера – привлечь внимание к тому факту, что имитационное моделирование не ограничивается разработкой модели и написанием соответствующей программы, а требует подготовки и проведения статистического эксперимента. В связи с этим результаты имитационного моделирования следует рассматривать как экспериментальные данные, требующие специальной обработки и анализа.