4.1.2 Простейший (пуассоновский поток)

Вероятность наступления событий за время для закона распределения Пуассона определяется по следующей формуле:

,

где – интенсивность случайного потока, т.е. среднее число событий (поступающих заявок) в единицу времени.

Плотность распределения временного интервала между заявками в простейшем пуасоновском потоке соответствует экспоненциальному закону распределения:

, .

В свою очередь функция распределения имеет вид:

.

4.1.3 Нестационарный пуассоновский поток

Если поток обладает свойствами ординарности и отсутствия последствия, но не является стационарным, то он называется нестационарным пуассоновским потоком. Плотность такого потока – переменная величина, которая в точке , по определению, равна производной , где– математическое ожидание числа событий на участке.

Можно показать, что для такого потока вероятность появления за время от до ровно событий равна:

,

где .

Таким образом, является математическим ожиданием числа событий на участке отдо, а само это число событий подчиняется закону Пуассона. Таким образом, нестационарный пуассоновский поток сводится к стационарному пуассоновскому потоку.

4.1.4 Поток Пальма

Ординарный поток называется потоком Пальма (потоком с ограниченным последействием), если промежутки времени между любыми двумя последовательными событиями являются независимыми случайными величинами. Примером потока Пальма может служить поток деталей, обтачиваемых токарем, если время изготовления каждой очередной детали не зависит от времени изготовления всех предыдущих деталей.

В простейшем потоке вследствие отсутствия последствия все интервалы между двумя соседними событиями представляют собой независимые случайные величины, поэтому простейший поток является частным случаем стационарного потока Пальма. Это свойство потока Пальма играет большую роль в тех случаях, когда необслуженные заявки вновь поступают в другую систему обслуживания.

4.1.5 Потоки Эрланга

Потоки Эрланга получаются путем особого преобразования (“разрежения”) простейшего потока. Это преобразование состоит в выбрасывании из простейшего потока некоторых событий.

Выбросим из простейшего потока каждое второе событие, т.е. 2-е, 4-е, 6-е и т.д. Оставшиеся события образуют новый поток, который называется потоком Эрланга 1-го порядка. Очевидно, что интервалы между соседними событиями потока Эрланга 1-ого порядка получаются суммированием двух интервалов между соответствующими событиями простейшего потока.

Поток Эрланга 2-го порядка образуется следующим образом. Выбросим два события после первого, затем два события после оставшегося четвертого, затем два события после оставшегося седьмого и т.д. Интервалы между соседними событиями потока Эрланга 2-ого порядка представляет собой сумму трех интервалов между соответствующими событиями простейшего потока.

Вообще, поток Эрланга -го порядкаполучается из простейшего потока путем выбрасывания по событий после оставшегося (первое событие не выбрасывается).

Простейший поток можно рассматривать как поток Эрланга нулевого порядка.

Для потока Эрланга -го порядка:

.

Закон распределения с такой плотностью вероятности называется законом Эрланга -го порядка.Он представляет собой закон распределения суммы независимых случайных величин, имеющих показательное распределение с одним и тем же параметром.