
- •Министерство образования и науки украины
- •Рецензент: Скобцов ю.О., д.Т.Н., профессор
- •Операции над множествами
- •Основные законы алгебры множеств:
- •Задание к лабораторной работе.
- •Контрольные вопросы.
- •Отношения на множествах
- •Теоретическая справка
- •Способы задания отношений
- •Свойства бинарных отношений
- •2. Антирефлексивность: .
- •4. Симметричность: .
- •5. Антисимметричность: .
- •6. Транзитивность: .
- •Функциональные отношения
- •Задание к лабораторной работе
- •Булевы функции. Законы алгебры логики. Аналитические способы описания. Полные системы функций
- •Теоретическая справка Определение функции алгебры логики
- •Табличный способ представления фал
- •Графическое представление фал
- •Функции алгебры логики одного аргумента
- •Функции алгебры логики двух аргументов
- •Элементарные функции алгебры логики
- •Условные приоритеты булевых функций
- •Выражение одних элементарных функций через другие
- •Аналитическая запись фал
- •Дизъюнктивная нормальная форма (днф)
- •Дизъюнктивная совершенная нормальная форма (дснф)
- •Алгоритм перехода от табличного задания функции к дснф
- •Конъюнктивная совершенная нормальная форма
- •Алгоритм построения конъюнктивной совершенной нормальной формы
- •Полные системы фал
- •Задание к лабораторной работе
- •Минимизация фал на кубе
- •Пункты решения задачи о минимизации фал
- •Минимизация в четырехмерном пространстве
- •Метод Квайна минимизации булевых функций
- •Метод Мак-Класки минимизации булевых функций
- •Графический метод минимизации: карты Карно и диаграммы Вейча
- •Основные принципы построения карт Карно
- •Задание к лабораторной работе
- •Алгоритм генерации варианта
- •Контрольные вопросы
Свойства бинарных отношений
Пусть
задано на множестве
,
.
1.
Рефлексивность:
.
Отношение на
множествеXназываетсярефлексивным, если для любого
имеет место
,
то есть каждый элемент находится в
отношениик
самому себе.
Матрица рефлексивного отношения имеет единичную главную диагональ, а граф рефлексивного отношения – имеет петлю возле каждого своего элемента.
Например:
,
,
,
.
На множестве людей: “быть родственником”, ”обучаться в одной студенческой группе ”.
На множестве множеств: A B, A=B.
2. Антирефлексивность: .
Отношение на
множествеXназываетсяантирефлексивным, если не
существует
такого, что имеет место
,
то есть ни один элемент не находится
в отношении
к самому себе.
Матрица антирефлексивного отношения имеет нулевую главную диагональ, а граф – не имеет ни одной петли.
Например:
,
,
.
На множестве людей: “быть родителем”, ”быть ребенком”.
На множестве множеств: A B, AB.
3. Нерефлексивность: .
4. Симметричность: .
Отношение на
множествеXназываетсясимметричным, если для всех
и
из Х, из принадлежности (x,y)
отношению
следует, чтои
принадлежит отношению.
Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали, а граф – для каждой дуги (x,y) существует обратная дуга(y,x).
Например:
,
,
.
На множестве людей: “быть родственником”,
”обучаться в одной студенческой группе
”. Отношение
"брат
"
является симметричным
на множестве
мужчин и не является
симметричным на
множествевсех людей.
На множестве множеств:
,
.
5. Антисимметричность: .
Отношение на
множествеXназываетсяантисимметричным, если для всех
и
из Х, из принадлежности (x,y)
и(y,x)
отношению
следует, что
.
Матрица антисимметричного отношения не имеет ни одной симметричной единицы относительно главной диагонали, а граф – длякаждой дуги (x,y) не существует обратная дуга(y,x) и наоборот.
Свойства симметричности и антисимметричности не являются взаимоисключающими, примером может служить отношения равенства на множестве натуральных чисел.
Например:
,
,
,
,
.
На множестве людей: “быть выше”, ”быть равным”.
На множестве множеств:
,
,
.
6. Транзитивность: .
Отношение
на множестве
называетсятранзитивным, если для
всех
из множества
,из принадлежности
и
отношению
следует, что
также принадлежит .
Например:
,
,
,
,
,
.
На множестве людей: “быть выше”, ”обучаться в одной студенческой группе”.
На множестве множеств:
,
,
.
Отношение r на множестве Xнеявляется транзитивным,если существует, хотя бы один пример того,что для некоторых х,y,z множества Х из принадлежности (x,y) и(y,z) отношению r не следует,что (x,z) такжепринадлежит r.
Например.
1)
.
Отношение неявляется
транзитивным,потому что
из принадлежности этому отношению пар
и
,
неследует,что
и пара
принадлежит
отношению
.
2) Пусть задано двухэлементное
множество определим
все бинарные отношения на этом множестве:
.
Для всех отношений, заданных на множестве
,
определить наличие или отсутствие
основных свойств.
Введем следующие обозначения:
а) рефлексивность– Р;
б) антирефлексивность– АР;
в) симметричность– С;
г) антисимметричность– АС;
д) транзитивность– Т.
№ |
|
Р |
АР |
С |
АС |
Т |
1 |
|
- |
+ |
+ |
+ |
+ |
2 |
|
- |
- |
+ |
+ |
+ |
3 |
|
- |
+ |
- |
+ |
+ |
4 |
|
- |
+ |
- |
+ |
+ |
5 |
|
- |
- |
+ |
+ |
+ |
6 |
|
- |
- |
- |
+ |
+ |
7 |
|
- |
- |
- |
+ |
+ |
8 |
|
+ |
- |
+ |
+ |
+ |
9 |
|
- |
+ |
+ |
- |
- |
10 |
|
- |
- |
- |
+ |
+ |
11 |
|
- |
- |
- |
+ |
+ |
12 |
|
- |
- |
+ |
- |
- |
13 |
|
+ |
- |
- |
+ |
+ |
14 |
|
+ |
- |
- |
+ |
+ |
15 |
|
- |
- |
+ |
- |
- |
16 |
|
+ |
- |
+ |
- |
+ |
Отношение порядка– антисимметрично, транзитивно.
Отношение нестрого порядка()
– рефлексивно,
антисимметрично,
транзитивно.
Например:
,
.
На множестве множеств:
,
.
Отношение строгого порядка()
– антирефлексивно,
антисимметрично,
транзитивно.
Например:
,
.
На множестве множеств: “”.
- “x предшествует
y в смысле
отношения строгого порядка”,
- “x предшествует
y в смысле
отношения нестрогого
порядка”.
Два элементаи
некоторого упорядоченного множества
(множества, на котором существует
отношение порядка) сравнимы
между собой, если
предшествует
,
и/или
предшествует
в смыслеотношения
порядка.
Если в упорядоченном множестве
существует пара элементов x
и y,
для которойни
непредшествует
,
ни
не предшествует
,
тогда говорят, что эти два элементанесравнимы
между собой в смысле этого.
В отношениях полногопорядка все элементы сравнимы между собой, а в отношенияхчастичногопорядка не все элементы сравнимы между собой.
Например:
Отношения полного порядка:
,
.
Отношения частичного порядка:
,
,
на множестве множеств:
,
,
.
Отношение эквивалентности( ) – рефлексивно, симметрично, транзитивно.
Класс эквивалентностидля элемента:
.
Например:
,
.
На множестве людей: “иметь одно имя”, ”обучаться в одной студенческой группе”.
На множестве множеств:
.
Отношение эквивалентности
разбивает
–множество,
на котором задано отношение нанепересекающиеся, которые
называют классами эквивалентности.
Элементы, принадлежащие одному классу, находятсямежду собой в отношении эквивалентности, элементы из разных классов в отношении эквивалентности между собой не находятся.
Например:
Отношение
задано на множестве
списком пар
.
Область определения:
.
Область значений:
.
Отношение
– рефлексивно, симметрично, транзитивно,
следовательно, это отношение
эквивалентности.
Классы эквивалентности:
.
Например:
Отношение .
Это отношение называют отношением
сравнения по модулюна множестве натуральных чисел.
означает, что
и
имеют одинаковый остаток при делении
на
.
Отрезок натурального ряда
.
Отношение сравнения по модулю 3 на
:
.
Область определения и область значений:
.
Отношение
– рефлексивно, симметрично, транзитивно.
Отношение
– отношение эквивалентности.
Классы эквивалентности:
.
Пусть
– некоторое
бинарное отношение.
Обратным отношением
называется отношение, которое
определяется следующим образом:
Обратное отношение получается путём перестановки значений в парах исходного отношения.
Пусть
и
– произвольные бинарные
отношения такие, что
где
– некоторые множества.
Композиция отношений
и
– это таке
бинарное отношение
которое состоит из
упорядоченных пар
для которых существует
такой элемент, что выполняются
условия:
Например.
.
.
.
.