mehanika_spl.sr.tekst_lekciy_popov_savich

Уравнение Эйлера (8.12) можно освободить от символической комбинации V V и вместе с тем выделить в левой части градиентное слагаемое.

Вспоминая для этого установленное ранее выражение конвективной составляющей ускорения

Vкон V V grad V2 rotV V. 2

Поставляя его в левую часть уравнения (8.12), получим следующую модификацию уравнения Эйлера, предложенную Громека и Ламбом

51

данной точке, отнесенную к единице массы, т.е. как полную удельную механическую энергию.

Действительно, первое слагаемое в левой части представляет удельную кинетическую энергию, третье слагаемое - удельную потенциальную энергию объемных сил. Функция давления Ф имеет смысл потенциала (потенциальной энергии) объемного действия сил давления (точнее, массовой плотности действия этих сил). Следует избегать встречающегося ино-

гда определения функции давления Ф (в случае const равной p ) как потенциал давле-

ний. Давление образует скалярное поле, для которого понятие потенциала или потенциальной энергии не существует.

3. Теорема Бернулли

Пусть идеальная жидкость под действием потенциального поля объемных сил с потенциалом П совершает стационарное баротропное движение с функцией давления Ф Тогда первый член в уравнении (8.20) равен нулю, и умножая обе части (8.20) скалярно на

вектор скорости V , получим, в силу перпендикулярности последнего слагаемого вектору V ,

или, вспоминая определение производной по направлению,

стационарном движении одно и тоже. Из равенства (8.21) сразу следует, что вдоль траектории или линии тока трехчлен Бернулли В сохраняет одно и тоже значение

Полученное равенство можно рассматривать как первый интеграл уравнения Эйлера, справедливый в случае стационарного движения при наличии функции давления, представляющей потенциал объемного действия поверхностных сил, или потенциала объемных сил. Этот интеграл, выведенный путем скалярного умножения обеих частей уравнения (8.20) на

вектор скорости V , можно трактовать как интеграл механической энергии уравнения движения центра инерции элементарного объема жидкости (интеграл Бернулли).

Равенство (8.22) выражает теорему Бернулли: при стационарном баротропном движении идеальной жидкости под действием потенциальных объемных сил сумма кинетической энергии единицы массы, функции давления и приведенного к единице массы потенциала объемных сил сохраняет вдоль линии тока (траектории) постоянное значение.

Интеграл Бернулли мог быть выведен и непосредственно из уравнения Эйлера без преобразования его к форме Громека-Ламба. Действительно, переписывая в условиях теоремы уравнение Эйлера в виде

dV grad П Ф , dt

и умножая скалярно на вектор V , получим

dV2

V grad П Ф , dt 2

52

но по определению индивидуальной производной по времени от скалярной функции, в случае стационарного движения будем иметь

что по предыдущему, и приводит к равенству (8.22).

Рассмотрим частные случаи теоремы Бернулли, относящиеся к простейшим баротропным процессам. В случае движения несжимаемой жидкости const

Ф p p0 p const.

Ограничиваясь среди объемных сил только силами тяжести и направляя вертикальную ось z вверх, получим

П gz const.

Тогда формула (8.22) примет вид (символ const обозначает сохранение величины вдоль линии тока)

Отдельные члены равенства (8.24) имеют размерность длины и называются соответственно:

V 2 - скоростной, p пьезометрической и z - нивелирной высотами. Сумма этих высот H

2g

называется гидравлической высотой.

Формула (8.24) приводит к классической формулировке теоремы Бернулли: при стационарном движении тяжелой идеальной несжимаемой жидкости гидравлическая высота, равная сумме скоростной, пьезометрической и нивелирной высот, сохраняет постоянное значение вдоль линии тока (траектории) или вихревой линии.

Эта форма теоремы Бернулли имеет основное значение в гидравлике и называется уравнением Бернулли.

Предположим, что объемными силами по сравнению с поверхностными (давлением) можно пренебречь: тогда уравнение Бернулли примет более простой вид

Первый член левой части этого равенства называют пьезометрическим напором, второй - скоростным или динамическим напором, сумму их - полным напором р0 и теорема

Бернулли будет сформулирована так: при стационарном движении идеальной несжимаемой жидкости в отсутствие объемных сил полный напор, сохраняет свою величину вдоль линии тока (траектории) или вихревой линии.

Теорема Бернулли обычно широко иллюстрируется примерами в курсах гидравлики и прикладной гидромеханики. Для ознакомления с совместным применением теорем количеств движения и кинетической энергии в форме теоремы Бернулли рассмотрим вывод теоремы Борда об ударе при внезапном расширении потока. Эта теорема служит аналогом теоремы Карно и утверждает, что потеря полной механической энергии потока идеальной жидкости при внезапном его расширении равна кинетической энергии, соответствующей «потерянным» скоростям.

53

Под отнесенной к единице объема полной механической энергией потока будем, согласно (8.25), принимать величину

p0 p V 2 . 2

Потерей отнесенной к единице объема полной механической энергией на участке внезапного расширения потока является разность

где индексы 1 и 2 относятся к сечениям потока 1-1 и 2-2, показанным на рис. 8.1 штриховыми линиями.

Докажем, что эта отнесенная к единице объема потеря кинетической энергии, соответствует потерянным скоростям, т.е. величине

Применим теорему Эйлера к объему, ограниченному сечениями 1-1 и 2-2. Обозначая Через 1 площадь сечения потока до расширения, а через 2 - после расширения, находим

В этом равенстве первое слагаемое соответствует предположению о том, что во всем сечении 1-1 давление практически постоянно.

Во втором слагаемом использовано сечение 1 , так как только через него переносится количество движения. Замечая, что из условия постоянства массового расхода при const следует, что

V1 1 V2 2,

заменим второе слагаемое в равенстве (8.) равной ему величиной V1V2 2 . Будем иметь, со-

кращая обе части равенства на 2

p1 p2 V2 V2 V1 .

Подставив значение p1 p2 в правую часть выражения (8.26), придем к искомому результату:

54

доказывающему справедливость теоремы Борда - Карно.

55

Лекция 9

Уравнения Навье – Стокса и их применение для решения простейших линейных задач

Впервые эти уравнения были получены Навье в 1827 г и затем Стоксом в 1845 г. В векторной форме уравнения имеют вид

divV 0,

где символ 2V V - лапласиан.

В проекциях на прямоугольные декартовы оси они запишутся в следующем виде

Рассмотрим некоторые линейные задачи. Такие задачи либо точно следуют из самой постановки (установившиеся с прямолинейными траекториями, когда нелинейные члены отсутствуют), либо получаются в результате приближённой линеаризации уравнений Навье – Стокса путём отбрасывания малых конвективных ускорений, что соответствует малым рейнольдсовым числам.

Одним из наиболее простых случаев движения вязкой несжимаемой жидкости является так называемое ламинарное (слоистое) движение по трубе произвольного сечения, при котором линии тока – прямые линии, параллельные оси трубы. Лишь при движении с очень малыми скоростями.

Рассмотрим ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в трубах четырёх видов сечений: круглого, эллипсовидного, треугольного.

Для установившегося течения вязкой жидкости, без учета действия силы тяжести, имеем следующую систему уравнений Навье-Стокса

Кэтим уравнениям следует применить граничные условия - прилипания вязкой жидкости

кстенкам трубы, т.е. обращение в нуль скорости жидкости на стенках. Предполагается, что скорость потока одинаково направлена во всех точках каждого поперечного сечения, т.е.

1 2 0, и определению подлежит только 3 (x1, x2, x3). Тогда из первых двух уравне-

ний системы (9.1) получим

56

а это означает, что p p(x3)или, что давление в каждом поперечном сечении одинаково во всех точках и изменяется только вдоль трубы.

Из уравнения неразрывности (9.2) при принятом допущении получаем, что 3 0 и

x3

тогда 3 (x1,x2) , т.е. скорости точек сечения зависят только от двух координат. После

где v.

В уравнении (9.3) слева стоит зависимость скорости только от x1 и x2 , а справа давление p зависит только от координаты x3 , такое уравнение может выполняться, только при таком

условии если левая и правая части являются постоянными величинами. Отсюда делаем вывод, что

т.е. давление является линейной функцией координаты x3 направленной вдоль направления

потока жидкости. Давление, приходящееся на единицу расстояния вдоль трубы, можно выразить в виде

где p - перепад давлений на длине l между двумя сечениями трубы вдоль её оси. Знак минус поставлен потому, что движение жидкости происходит только в направлении убывания давления. Подставляя (9.5) в правую часть уравнения (9.3) получим уравнение для определения для трубы любого вида сечения

Рассмотрим решение уравнения (9.6) для круглой цилиндрической трубы. Решение будем искать в виде

так как такая функция для удовлетворяет граничным условиям прилипания жидкости на

и уравнение (9.6) примет вид

4A P ,

R2 l

отсюда

A PR2 . 4 l

57

Используя это значение А решение (9.6) можно выразить в виде

где r2 x12 x22.

Таким образом, скорость в круговом сечении трубы распределена согласно параболическому закону и пропорциональна площади сечения (рис. 9.1).

x 1

Vmax

x3

x2

Рис. 9.1

Максимальное значение скорости будет у центральной точки сечения О и равно

Аналогичными вычислениями найдем закон течения жидкости при эллипсовидном сечении трубы. Для того чтобы и в этом случае граничные условия выполнялись, решение уравнения (9.6) будем искать в виде

где В = const, а и b - полуоси сечения трубы (рис.9.2).

Рис. 9.2

Действительно, формула (9.10) удовлетворяет граничным условиям прилипания частиц вязкой жидкости к стенкам трубы. Например, это очень просто увидеть для частиц с координатами (а, 0) или (0, в). Сделав простые вычисления с координатами любой точки М(x1,x2 ) лежащей на этом эллипсе, можно проверить, что условие прилипания выполняются.

Значение постоянной В в этом случае имеет вид

58

Поменяем форму сечения трубы. Возьмем его в виде равностороннего треугольника. Совершенно естественно предположить, что и в этом случае течение жидкости зависит от площади сечения. В свою очередь площадь треугольника определяется его размерами и зависит от длин сторон и высот. Кроме того должно быть выполнено условие прилипания частиц жидкости на стенках трубы. Этому условно удовлетворяет функция, содержащая произведения длин высот треугольника

где D - постоянная, a h1,h2,h3 - длины высот треугольника опущенные из любой его точки на

стороны треугольника. Действительно, это произведение всегда равно нулю если высоты опускаются из точки, лежащей в вершине или на стороне треугольника.

Выразим длины высот h1,h2,h3 опущенных из произвольной точки М (рис.9.3), лежащей

a

Рис. 9.3

59

После подстановки значения высот через координаты произвольной точки (9.15) в формулу (9.14), получим зависимость между скоростью и координатами точки

3

С0, a сечения, но это предположение следует обосновать. Для этого исследуем функ-

6

цию (x1,x2 ), стоящую в (9.18), на экстремум для точки С.

3

Найдем значение производных и вычислим их значения для точки С 0, a

6

2 23 6x2 a3,x1

2

x23 2a3 6x2 a3, (9.19)

2

2 3 6x1 0.x1 x2

Проверим выполнение условий максимума функции двух переменных для точки

3

С0, a , согласно которого

6

3a2 0 и a3 0.

Следовательно, максимальная скорость, как и в предыдущих случаях, будет в централь-

в формулу (9.18)

60