mehanika_spl.sr.tekst_lekciy_popov_savich

aijbj ,Fikk ,Rqpp , ijkuj k .

Тензоры второго ранга обозначаются символами с двумя свободными индексами. Так произвольный тензор второго ранга D будет записываться в одной из трех возможных форм

Dij ,Di j ;Dij ,

где точка указывает, что j – второй индекс. Тензорные величины второго ранга могут выглядеть по разному, например

Aijip, ijuk k .

Тензор третьего ранга записывается символами с тремя свободными индексами, а символ, который не имеет связанного с ним индекса, изображает скаляр (λ, μ, ν, q), или тензор нулевого ранга.

В обычном физическом пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов, и любой вектор в этом пространстве полностью задается своими тремя компонентами. Поэтому индексы у величины аi , представляющих вектор a в физическом

трехмерном пространстве, принимают значения 1,2,3, символ Dij , где оба индекса i,j

В общем случае в N-мерном пространстве тензор nго порядка будет иметь Nn компонент.

Удобство индексных обозначений для записи систем равенств в компактной форме иллюстрируется следующим примером

(i =1,2,3)

что представляет в развернутой форме три уравнения:

x1 G11z1 G12z2 G13z3 ,

x2 G21 z1 G22 z2 G23 z3 ,

x3 G31z1 G32z2 G33z.

Соглашением о суммировании часто пользуются в связи с представлением векторов и других тензоров в символических обозначениях через базисные векторы,

снабженные индексами. Например, произвольный вектор V можно написать в виде:

где 1, 2, 3 - декартовы компоненты вектора V . Применяя к этому равенству согла-

шение о суммировании, его можно переписать в сокращенной форме:

свободных индексов, принятое в чисто индексном обозначении тензорных величин. Тензоры второго ранга тоже могут быть представлены суммированием по базис-

ным векторам, снабжённым индексами. Так, диаду ab , заданную в девятичленной форме (1.24) можно записать в виде:

11

В этом выражении важно сохранить порядок написания базисных векторов. Подобным же образом девятичленная форма любого тензора второго ранга D может быть представлена в компактных обозначениях так:

Определим базис для данной тройки векторов с помощью определителя:

Таким образом, данная тройка векторов образует левую систему координат.

Если векторы в смешанном произведении переставить местами, то система перейдёт в правую, так как

дикулярны. Найти такой третий вектор c , чтобы a ,b ,c образовали правый триэдр.

Решение.

Если векторы взаимно перпендикулярны, то скалярное произведение этих векторов должно быть равно нулю:

a b (e1 e2 e3 ) (e1 e2 ) 1 1 0 .

Следовательно, векторы a и b взаимно перпендикулярны. Найдём вектор c который

будет перпендикулярен векторам a и b .

c a b (e1 e2 e3 ) (e1 e2 ) e3 e3 e2 e1 e1 e2 2e3.

Орт этого направления будет:

12

№ 3. Для диадика D заданного в девятичленной форме вычислить его скаляр DS

и вектор DV если D eˆ1eˆ1 2eˆ1eˆ2 3eˆ1eˆ3 4eˆ2eˆ1 5eˆ2eˆ2 6eˆ2eˆ3 7eˆ3eˆ1 8eˆ3eˆ2 9eˆ3eˆ3.

Решение.

Согласно (1.3) заменим каждую диаду в сумме D скалярным произведением соответствующих векторов и применим правило скалярного произведения векторов:

DS e1 e1 2e1 e2 3e1 e3 4e2 e1 5e2 e2 6e2 e3 7e3 e1 8e3 e2 9e3 e3 1 5 9 15

Чтобы вычислить вектор данного диадика DV заменим каждую диаду векторным

произведением соответствующих векторов и применим правило векторного произведения двух векторов:

DS e1 e1 2e1 e2 3e1 e3 4e2 e1 5e2 e2 6e2 e3 7e3 e1 8e3 e2 9e3 e3 2e3 3e2 4e3 6e1 7e2 8e1 2e1 4e2 2e3.

3eˆ2eˆ1 eˆ2eˆ3 3eˆ3eˆ1 eˆ3eˆ2 QC .

Сложив тензоры P и Q получим:

P Q (3eˆ1eˆ1 3eˆ1eˆ2 7eˆ1eˆ3 3eˆ2eˆ1 7eˆ2eˆ2 eˆ2eˆ3 7eˆ3eˆ1 eˆ3eˆ2 ) ( 3eˆ1eˆ2 3eˆ1eˆ3 3eˆ2eˆ1 eˆ2eˆ33eˆ3eˆ1 eˆ3eˆ2 ) 3eˆ1eˆ1 4eˆ1eˆ3 6eˆ2eˆ1 7eˆ2eˆ2 10eˆ3eˆ1 2eˆ2eˆ2 T,

исходный тензор.

Разложение тензора на симметричную и антисимметричную части проще выпол-

D3eˆ1eˆ1 2eˆ2eˆ2 eˆ2eˆ3 5eˆ3eˆ3

иF 4eˆ1eˆ3 6eˆ2eˆ2 3eˆ3eˆ2 eˆ3eˆ3 .

13

Решение.

Воспользуемся правилом (1.17) умножения диад ab cd (b c)ad . Тогда:

G (3eˆ1eˆ1 2eˆ2eˆ2 eˆ2eˆ3 5eˆ3eˆ3 ) (4eˆ1eˆ3 6eˆ2eˆ2 3eˆ3eˆ2 eˆ3eˆ3 ) 12eˆ1eˆ3 12eˆ2eˆ2 3eˆ2 eˆ2eˆ2eˆ3 15eˆ3eˆ2 5eˆ3eˆ3 12eˆ1eˆ3 15eˆ2eˆ2 eˆ2eˆ3 15eˆ3eˆ2 5eˆ2eˆ3.

Подробным же способом вычисляем H:

H (4eˆ1eˆ3 6eˆ2eˆ2 3eˆ3eˆ2 eˆ3eˆ3 ) (3eˆ1eˆ1 2eˆ2eˆ2 eˆ2eˆ3 5eˆ3eˆ3 )20eˆ1eˆ3 12eˆ2eˆ2 6eˆ2ˆe3 6eˆ3ˆe2 8eˆ3eˆ3 .

Решение.

Вычислим непосредственно по формулам (1.15) и (1.16) с использованием правила векторного произведения двух векторов

V D (eˆ1 2eˆ2 3eˆ3 ) (3eˆ1eˆ1 4eˆ1eˆ2 2ˆe2eˆ1 ) 3(eˆ1 eˆ1 )eˆ1 4(eˆ1 eˆ1 )eˆ2 2(eˆ1 eˆ2 )ˆe1 6(eˆ2 eˆ1 )eˆ18(eˆ2 ˆe1 )eˆ2 4(eˆ2 eˆ2 ) 9(eˆ3 eˆ1 )eˆ1 12(eˆ3 eˆ1 )eˆ2 6(eˆ3 eˆ2 )eˆ1 2eˆ3eˆ1 6eˆ3eˆ1 8eˆ3eˆ2 9eˆ2ˆe112eˆ2eˆ2 6eˆ1eˆ1 6eˆ1eˆ1 9ˆe2eˆ1 12eˆ2eˆ2 4eˆ3eˆ1 8eˆ3eˆ2 P

D V (3eˆ1eˆ1 4eˆ1eˆ2 2eˆ2eˆ1 ) (eˆ1 2eˆ2 3eˆ3 ) 3eˆ1(eˆ1 eˆ1 ) 6eˆ1(eˆ1 eˆ2 ) 9eˆ1(eˆ1 eˆ3 ) 4eˆ1(eˆ2 eˆ1 )8eˆ1(eˆ2 eˆ2 ) 12eˆ1(eˆ2 eˆ3 ) 2eˆ2(eˆ1 eˆ1 ) 4eˆ2(eˆ1 eˆ2 ) 6eˆ2 (eˆ1 eˆ3 ) 6eˆ1eˆ3 9eˆ1eˆ2 4eˆ1eˆ3 12eˆ1eˆ14eˆ2eˆ3 6eˆ2eˆ2 12eˆ1eˆ1 9eˆ1eˆ2 10eˆ1eˆ3 6eˆ2eˆ2 4eˆ2eˆ3 Q.

Как видим по результату эти произведения некоммутативны, т.е. P Q .

14

Лекция 2

Законы преобразования тензоров 1. Закон преобразования декартовых тензоров.

Дельта Кронекера. Условия ортогональности

осей относительно одной из координатных плоскостей, или, может быть, комбинациями того и другого.

Если символом aij обозначить косинус угла между i – й осью системы со штрихом и j – й осью системы без штрихов, т.е. aij cos(xi ,xj ), то ориентацию какой-либо оси каждой системы удобно записать таблицей:

Из такого определения аij следует, что единичный вектор eˆ1 оси x1 в соответствии с формулой (1.25) и соглашением о суммировании представляется выражением:

15

Произвольный вектор V , изображённый на рис. 2.1, можно выразить через его компоненты в системе без штрихов:

Сравнивая формулы (2.5) и (2.3), обнаруживаем, что компоненты вектора в ис-

Это равенство даёт закон преобразования декартовых тензоров первого ранга. Как видно, оно является частным случаем общих законов преобразования тензоров первого ранга. Меняя ролями в предыдущих рассуждениях базисные векторы со штрихами и без штрихов, получаем соотношение, обратное (2.6):

Так как вектор V является произвольным, то это уравнение должно сводиться к то-

ждеству vj vk . Поэтому коэффициент aijaik , значение которого зависит от индек-

сов j и k, должен равняться либо 1, либо 0 в зависимости от того, одинаковые или различные значения принимают j и k. Для представления величин такого типа как

aij aik , можно пользоваться дельтой Кронекера, которая определяется следующим об-

разом:

С помощью дельты Кронекера условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнения (2.8), можно записать следующим образом:

В развёрнутом виде соотношение (2.10) состоит из девяти равенств, которые называются условиями ортогональности, или ортонормированности. Но соотношения (2.6)

и (2.7) можно скомбинировать иначе и получить равенство vi aijakjvk, что даёт дру-

гую формулу ортогональности

16

Линейные преобразования типа (2.6) или (2.7), коэффициенты которых удовлетворяют условиям ортогональности (2.10) или (2.11) называются ортогональными преобразованиями.

Дельту Кронекера иногда называют оператором замены, потому что она даёт, например, следующие преобразования:

Используя условия ортогональности, легко найдём соотношение обратное (2.15) и дающее правило перехода от компонент в системе со штрихами к компонентам в системе без штрихов. Оно выражается формулой:

Закон преобразования декартовых тензоров первого и второго ранга обобщается для декартовых тензоров ранга N:

2. Действия с тензорами. Линейные векторные функции. Тензор Леви-Чивиты

Декартовы тензоры одинакового ранга можно складывать (вычитать) покомпонентно согласно следующего правила:

Сумма тензоров есть тензор того же ранга, что и слагаемые. Заметим, что одинаковые индексы расположены в одной и той же последовательности в каждом члене.

Умножение всех компонент тензора на скаляр даёт тензор того же ранга. При умножении на скаляр λ типичные примеры записи произведения в индексной и в символичной форме имеют вид:

Внешним произведением двух тензоров произвольного ранга называется новый тензор, у которого компоненты образованны умножением каждой компоненты одного тензора на каждую компоненту другого. Ранг полученного тензора равен сумме рангов сомножителей. Типичными примерами внешних произведений являются следующие выражения:

17

Как видно из этих примеров, внешние произведения получаются простым написанием перемножаемых тензоров друг за другом (заметим, что именно эта операция образует из двух векторов диаду).

Свёртыванием тензора по двум свободным индексам называется такая операция, когда два индекса обозначаются одной и той же буквой, вследствие чего они становятся индексами суммирования. В результате свёртывания получается снова тензор (свёртка), ранг которого на два ранга меньше, чем у исходного. Приведём некоторые типичные примеры свёрток:

свёртка тензора Тij и диады uivj

Внутренним произведением двух тензоров называется результат операции свёртывания, примененный к внешнему произведению данных тензоров, причём совпадающие индексы должны фигурировать по одному в каждом из сомножителей. Приведем некоторые часто используемые в механике сплошной среды произведения тензоров, записанные в индексах и в символических обозначениях.

Вектор a является функцией другого вектора b , если a определен, как толь-

ко задан b . Это функциональное состояние выражается формулой:

18

а в случае линейности f это можно переписать так:

служит линейным векторным оператором, который, действуя на векторный аргумент b , переводит его в вектор-функцию a .

Это же смешанное произведение можно записать в виде определителя, поэтому тензор Леви-Чивиты часто используют и для выражения величины определителя третьего порядка.

Заслуживает внимания то обстоятельство, что ijk подчиняется правилу преобра-

зования декартовых тензоров третьего ранга только в случаях таких преобразований, у

которых detaij 1 (например, при повороте осей). Если же преобразование таково, что

detaij 1 (например, преобразование отражения относительно одной из коодинатных плоскостей, в результате чего правая система координат превращается в левую), то

19