Ухтинский Государственный Технический Университет
Кафедра Высшей математики
Домашний типовой расчет
по теме:
«Элементы математической статистики»
Выполнила ст. гр. ГНГ-10 Ларукова А.
Проверила Прудникова О. М.
Ухта 2012
Элементы математической статистики.
1 задача
Выполнение задания
Известны х1 ,х2 ,…,хn – результаты независимых наблюдений над случайной величиной х.
Х – проходка на долото
13 Вариант
31 |
8 |
38 |
133 |
17 |
27 |
33 |
30 |
146 |
163 |
307 |
10 |
28 |
13 |
131 |
63 |
34 |
2 |
11 |
17 |
178 |
11 |
168 |
3 |
12 |
119 |
19 |
12 |
126 |
32 |
179 |
56 |
26 |
82 |
7 |
14 |
73 |
172 |
11 |
166 |
37 |
29 |
39 |
20 |
154 |
10 |
4 |
80 |
59 |
30 |
25 |
37 |
76 |
46 |
25 |
18 |
64 |
26 |
45 |
26 |
15 |
19 |
99 |
5 |
70 |
12 |
8 |
28 |
57 |
136.6 |
56 |
31 |
101 |
12 |
16 |
294 |
|
|
|
|
Сгруппируем эти данные в интегральную таблицу
а) Определить объем выборки
n = 76
б) Определить Хmax и Xmin элементы выборки
Хmax = 307 Xmin = 2
Тогда размах выборки - R = Хmax - Xmin =305
в) По формуле Серджеса определяем количество интервалов
k = 1+3,322∙lg(n) = 7,25 ≈ 7
г) Рассмотрим шаг разбиения
h = R÷k = 305÷7 = 43,57
д) Вычислим начальное значение интервальной таблицы
Xнач = Xmin -0,5∙h = -19,79
е) Составим интервальную таблицу
где Х – проходка на долото
Xi - … |
(-19,79;29,78) |
(29,78;67,35) |
(67,35;110,92) |
(110,92;154,49) |
(154,49;198,06) |
(198,06;241,63) |
(241,63;285,2) |
(285,2;328,77) |
ni |
35 |
19 |
7 |
7 |
6 |
0 |
0 |
2 |
Xi ср |
4,995 |
48,565 |
89,135 |
132,705 |
241,63 |
Построить полигон частот, гистограмму и эмпирическую функцию распределения.
а) Построение полигона частот
Полигоном частот – называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (х1 ,n1), (х2 ,n2), (хk ,nk). Для построения полигона на оси абсцисс откладывают варианты хi , а на оси ординат – соответствующе им частоты ni . Точки (хi , ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.
б) Построим гистограмму частот
Гистограммой частот – называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длинною h , а высоты равны отношению ni /n (плотность частоты).
в) Построить моду и медиану
Модой – называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.
Медиана – называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.
Хi |
(-19,79;29,78) |
(29,78;67,35) |
(67,35;110,92) |
(110,92;154,49) |
(154,49;328,77) |
ni |
35 |
19 |
7 |
7 |
8 |
ni /h |
0,8 |
0,44 |
0,16 |
0,16 |
0,18 |
г) Найдем и построим эмпирическую функцию распределения
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) – называют функцию F*(x) определяющую частоту события Х<х. F*(x) = nx /n
д) Построим кумуляту
Кумулята – это график составленный из накопительных частот то есть это сглаженное изображение эмпирической функции распределения.
Хi |
(-19,79;29,78) |
(29,78;67,35) |
(67,35;110,92) |
(110,92;154,49) |
(154,49;328,77) |
ni |
35 |
19 |
7 |
7 |
8 |
ni /n |
35/76 |
19/76 |
7/76 |
7/76 |
8/76 |
Xi ср |
4,995 |
48,565 |
89,135 |
132,705 |
241,63 |
Найдем несмещенную оценку математического ожидания и дисперсии случайной величины х
Х – проходка на долото
а) Несмещенная оценка
Xнесм =
б) исправленная дисперсия
=
(Xвыб)2 =363,609
в) «Исправленное» среднее квадратическое отклонение.
11691,37 = 11847,26
Найти интервальные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины х с надёжностью = 0,9 и = 0,95
X – проходка на долото; n = 76; Xвыб = 60,3; S = 108,85; = 11691,37; =
а) Найдем интервальные оценки математического ожидания
1) Ф(t) = =
2)
б) Найдем интервальные оценки дисперсии
1) = 0,99; q( ;n) = (0,99;76)
82,18 133,45
6753,55 17808,9
(6753,55;17808,9)
2) = 0,95; q( ;n) = (0,95;76)
89,91 126,37
8083,81 15969,38
(8083,81;15969,38)
Выдвинуть гипотезу об истинном значении параметра нормального распределения и проверить ее при уровне значимости
Выдвинем гипотезу об истинном значении параметра нормального распределения и проверим ее при уровне значимости
примем
Проверим гипотенузу
При конкурирующей гипотенузе
Решение:
а) вычислим наблюдаемое значение критерия
б) при найдем
нет основания отвергнуть гипотезу ,т.е. выборочная средняя незначимо отличается от гипотетической (предполагаемой)генеральной средой
Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины x проверить ее по критерию (Пирсона) при уровне значимости
Выведем гипотенузу о нормальном законе распределения случайной величины х и проверим ее по критерию при уровне значимости имеем
нормальный закон распределения наблюдается
нормальный закон распределения не наблюдается
а) Составим вспомогательную таблицу вида
№ |
Частичный интервал
|
Нормированный правый конец
|
Нормированный левый конец
|
|
|
Теоретическая вероятность
|
Теоретическая частота
|
Эмпирическая частота
|
1 |
(-19,79; 29,78) |
-0,28 |
-0,74 |
-0,1103 |
-0,2703 |
0,16 |
12,16 |
35 |
2 |
(29,78; 67,35) |
0,06 |
-0,28 |
0,0239 |
-0,1103 |
0,1342 |
10,2 |
19 |
3 |
(67,35; 110,92) |
0,47 |
0,06 |
0,1808 |
0,0239 |
0,1569 |
11,92 |
7 |
4 |
(110,92; 154,49) |
0,87 |
0,47 |
0,3078 |
0,1808 |
0,127 |
9,65 |
7 |
5 |
(154,49; 328,77) |
2,47 |
0,87 |
0,4932 |
0,3078 |
0,1854 |
14,09 |
8 |
б) Сравним эмпирическую и теоретическую частоты.
эмпирическая частота |
35 |
19 |
7 |
7 |
8 |
теоретическая частота |
12,16 |
10,2 |
11,92 |
9,65 |
14,09 |
Вывод: расхождение случайно
|
|
|
|
|
|
1 |
35 |
12,16 |
22,84 |
521,67 |
42,9 |
2 |
19 |
10,2 |
8,8 |
77,44 |
7,59 |
3 |
7 |
11,92 |
-4,92 |
24,21 |
2,03 |
4 |
7 |
9,65 |
-2,65 |
7,02 |
0,73 |
5 |
8 |
14,09 |
-6,09 |
37,09 |
2,63 |