2 Задача

Применяя метод наименьших квадратов на основе экспериментальных данных найти эмпирическую формулу, выражающую зависимость y от x. Построить теоретическую зависимость и экспериментальные точки на одном графике.

x	-2	-1	0	1	2	3	4
y	5,2	2,7	-0,2	-0,8	-2,7	-5,3	-7,4

1) Для оценки вида функциональной зависимости представим данные таблицы на координатной плоскости.

Основываясь на график, можно предполагать, что данная функция зависимости является линейной

2) Предусматриваем нахождения параметров ( этих зависимостей из условий минимума алгебраической суммы квадратического отклонения

3)Где коэффициенты найдем из решения системы для квадратической зависимости:

n-количество пар в таблице

4)Для решения системы следует составить вспомогательную таблицу

1	-2	5,2	4	-10,4
2	-1	2.7	1	-2,7
3	0	-0,2	0	0
4	1	-0,8	1	-0,8
5	2	-2,7	4	-5,4
6	3	-5,3	9	-15,9
7	4	-7,4	16	-29,6
	7	-8,5	35	-64,8

0,0225;

4 Задача

При исследовании коэффициента трении полимерного волокна для двух образцов были получены следующие силы трения. Можно ли считать, что в среднем образцы одинаковы.

1 обр	5,01	4,89	4,89	4,88	4,88	4,92
2 обр	4,88	5,00	5,02	4,90	4,90	4,95

Ход решения: 1) Вычислить

Задача 3

Известны результаты наблюдений за свойствами горных пород, Р₀ – предел текучести по штампу, Р_ш – твердость по штампу.

1. Исследовать, принадлежат ли минимальные и максимальные члены выборок к основной генеральной совокупности по правилу трех сигм и критерию Стьюдента.

2. Найти несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии Р₀ и Р_ш.

3. Найти коэффициенты корреляции между Р₀ и Р_ш.

4. Получить уравнение линейной регрессии Р_ш на Р₀.

5. Проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции при условии значимости α = 0,05

Известны результаты наблюдений за свойствами горных пород, которые приведены в таблице.

Р0	99	113	148	186	109	133	172	125	233
Рш	58	66	62	59	52	95	83	75	85
Р0	114	151	108	120	130	150	175	185
Рш	69	61	63	65	52	83	58	95

где Р₀ - предел текучести по штампу, Р_ш - твердость по штампу

1. Составим вспомогательную расчетную таблицу

Примем Р₀ за x_i и Р_ш за y_i.

№	xi	yi	xi2	yi2	xi yi
1	99	58	9801	3364	5742
2	113	66	12769	4356	7458
3	148	62	21904	3844	9176
4	186	59	34596	3481	10974
5	109	52	11881	2704	5668
6	133	95	17689	9025	12635
7	172	83	29584	6889	14276
8	125	75	15625	5625	9375
9	233	85	54289	7225	19805
10	114	69	12996	4761	7866
11	151	61	22801	3721	9211
12	108	63	11664	3969	6804
13	120	65	14400	4225	7800
14	130	52	16900	2704	6760
15	150	83	22500	6889	12450
16	175	58	30625	3364	10150
17	185	95	34225	9025	17575
	2451	1181	374249	85171	173725

Из таблицы получили:

= 2451

=1181

=374249

=85171

=173725

Рассчитаем математическое ожидание:

= = 2451/17 = 144,18

= = 1181/17 =69,47

Рассчитаем дисперсию:

σ_x² = ² = 22014,65 – 20770,57 = 1244,08

σ_y² = ² = 5010,06 – 4826,08 = 183,98

Отсюда : σ_x = 35,27

σ_y = 13,56

1. Найдем коэффициент корреляции между Р₀ и Р_ш

Для этого сначала рассчитаем коэффициент ковариации С_xy

С_xy= = 10219,12 – 10012,02 = 207,1

Коэффициент корреляции будет равен

r_xy = С_xy/σ_xσ_y = 207,1/478,26 = 0,43

Вычислим значение произведения │r_xy│ = 0,43 = 1,72 3

Вывод: связь недостаточно вероятна, т.е. не обоснована.

2. Составим уравнения линейной регрессии Р₀ и Р_ш

= 69,47+0,43*35,27/ 13,56 (х-144,17)= 69,47 + 1,12x – 161,41 =

= 18,94x – 91,94

= 144,17+0,43*13,56/ 35,27 (y-69,47)= 144,17 + 0,17y – 11,81

= 2,79y + 132,36

Построим точки, определенные таблицей и полученные линии регрессии.

Для построения воспользуемся вспомогательной таблицей вида:

x	150	170
	180,84	559,64
Y	50	100
	89,8	229,3

Видим, что линии регрессии на графике пересекаются достаточно близко к области скопления экспериментальных точек, но проходят не идеально точно, т.к. связь между случайными величинами х и y недостаточно вероятна (меньше 3).

Из решения системы найдем точные координаты пересечения линий регрессии:

x= - 46,58

y= 2,40

Следовательно, точка пересечения имеет координаты (- 46,58; 2,40), что мы и можем наблюдать на графике.

3. Проверим гипотезу о значимости коэффициента корреляции при уровне значимости α=0,05

Проверим нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции: Н₀: =0

Н₁: 0

1. Вычислим наблюдаемое значение критерия по формуле:

Т_набл = = (0,43 )/( )= 1,82

2. По таблице критических точек распределения Стьюдента найдем t_дв.кр.(α;к), где α=0,05 к=n-2

t_дв.кр.(0,05;17-2)=(0,05;15)= 2,13

Вывод:│Т_набл│< t_дв.кр – следовательно, мы можем принять гипотезу Н₀ о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции, т.е. не значимо отличается от нуля. Таким образом, это доказывает, что случайные величины x и y не коррелированны (нет тесной связи).

4. Найдем несмещенные оценки математического ожидания и

дисперсии Р₀ и Р_ш

1. Рассчитаем несмещенные оценки математического ожидания, которые равняются выборочным средним:

= = 2451/17 =144,17

= = 1181/17 =69,47

2. Рассчитаем несмещенные оценки дисперсии (см. Задание№1):

S²_несм=(n/n-1)*D_в , где D_в – исправленная оценка, которая вычисляется по формуле D_в= ² , где

=

²= ²

Таким образом, D_в= – ²

D_в=374249/17 – (144,17)² = 22014,65-20784,99=1229,66

Следовательно, S²_несм(x)=17/16*1229,66=1303,44

По аналогии S²_несм(y)=17/16*(85171/17-(69,47)²)=195,48

Отсюда : S_несм(x) = 36,10

S_несм(y) = 13,98

5. Исследуем, принадлежат ли минимальные и максимальные члены выборок к основной генеральной совокупности по правилу 3σ и критерию Стьюдента

1. Из данной выборки найдем минимальные х_min и максимальные элементы х_max

Р_0max = x_max и Р_{ш max} = y_max

Р_0mix = x_min Р_{ш mix} = y_min

Имеем:

x_max = 233 y_max =95

x_min = 99 y_min =52

2. По правилу 3σ определим интервалы для x и y:

Правило 3σ: нормально распределенная случайная величина с D(x)= σ² практически не отклоняется от своего среднего значения больше чем на 3σ.

В нашем случае мы используем несмещенную оценку дисперсии D(x)= S²_несм

[ - 3S_несм ; + 3S_несм]

[- 46,58- 3*36,10; - 46,58+ 3*36,10]

[-154,88;61,72]

[ - 3S_несм ; + 3S_несм]

[2,40- 3*13,98; 2,40+ 3*13,98]

[-39,54;44,34]

3. Проверим принадлежность элементов к найденному интервалу:

x_max [35,04; 253,2] y_max [27,53;111,41]

x_min [35,04; 253,2] y_min [27,53;111,41]