Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
методичка по эммим для РИо(Туманова).doc
Скачиваний:
16
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
942.08 Кб
Скачать

Указания к подготовке и решению задачи .

Модель задачи.

1. В качестве неизвестных задачи принимаются переменные xij , означающие объем перевозок нефти от i-го НГДУ к j-тому НПЗ.

2. В качестве коэффициентов целевой функции выступают издержки на перевозку 1000 т. нефти. Целевая функция минимизируется.

3. Модель задачи записывается в общем виде, при этом необходимо учесть, что по исходным данным задача является открытой.

Решение задачи.

1. Данную транспортную задачу необходимо решить методом потенциалов.

2. Поскольку по исходным данным имеем открытую задачу, то до начала ее решения следует получить закрытую модель.

3. Первоначальный опорный план поставок следует построить на основе метода северо-западного угла.Необходимо дать экономическую интерпретацию оптимального плана, указать альтернативные решения в случае их наличия.

Теоретические сведения по данной теме содержатся в литературе [8] и [10]

Задание 5

Оптимальное планирование капитальных вложений методом динамического программирования.

Между четырьмя предприятиями нужно распределить капиталовложения в сумме 200 тыс. руб. Эффективность капиталовложений на каждом предприятиии подсчитана и задается следующей таблицей:

Вариант 1 Вариант 2

Хi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

G4(xi)

xi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

g4(xi)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

50

10

20

30

61

50

18

25

31

17

100

12

22

33

67

100

25

63

39

19

150

14

27

38

90

150

38

88

45

41

200

16

30

50

90

200

41

91

61

85

Вариант 3 Вариант 4

хi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

G4(xi)

xi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

g4(xi)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

50

19

21

22

31

50

12

13

45

46

100

25

42

53

48

100

18

19

52

57

150

28

45

82

53

150

22

28

63

68

200

32

47

99

94

200

43

32

78

79

Вариант 5 Вариант 6

хi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

G4(xi)

xi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

g4(xi)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

50

13

38

25

23

50

13

17

25

47

100

28

43

38

48

100

18

31

31

58

150

45

74

42

56

150

28

42

34

60

200

61

86

67

101

200

45

48

45

70

Вариант 7 Вариант 8

хi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

G4(xi)

xi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

g4(xi)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

50

13

41

17

21

50

44

35

45

31

100

18

68

16

28

100

34

47

47

42

150

27

73

18

36

150

63

67

59

58

200

35

82

19

43

200

83

97

60

79

Вариант 9 Вариант 10

хi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

G4(xi)

xi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

g4(xi)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

50

29

25

18

56

50

28

73

85

75

100

31

39

29

88

100

32

92

96

86

150

42

42

47

89

150

45

108

108

98

200

52

49

58

162

200

66

125

203

101

Вариант 11 Вариант 12

хi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

G4(xi)

xi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

g4(xi)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

50

18

13

18

48

50

13

12

35

48

100

45

16

19

89

100

18

25

45

54

150

67

78

35

105

150

25

36

48

65

200

98

95

45

125

200

43

47

64

78

Вариант 13 Вариант 14

хi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

G4(xi)

xi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

g4(xi)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

50

28

38

18

24

50

67

37

8

12

100

36

49

45

29

100

98

44

9

13

150

44

53

67

43

150

130

80

10

14

200

51

94

96

56

200

137

98

11

15

Вариант 15 Вариант 16

хi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

G4(xi)

xi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

g4(xi)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

50

47

55

35

6

50

7

21

49

82

100

58

67

39

10

100

12

27

54

94

150

63

78

43

12

150

17

32

63

105

200

78

96

50

18

200

20

48

78

125

Вариант 17 Вариант 18

хi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

G4(xi)

xi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

g4(xi)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

50

13

63

101

17

50

18

13

17

48

100

23

78

125

19

100

25

15

19

65

150

43

89

128

21

150

38

28

21

73

200

58

96

132

24

200

42

35

23

86

Вариант 19 Вариант 20

хi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

G4(xi)

xi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

g4(xi)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

50

18

49

37

88

50

17

49

1

8

100

25

56

45

89

100

28

53

2

9

150

37

67

54

95

150

35

58

3

10

200

47

83

67

105

200

46

62

8

11

Вариант 21 Вариант 22

хi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

G4(xi)

xi

тыс. руб.

G1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

g4(xi)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

50

19

50

38

89

50

18

47

11

10

100

26

58

47

90

100

29

51

21

19

150

38

68

56

96

150

37

58

32

19

200

49

85

69

109

200

48

65

81

21

Вариант 23 Вариант 24

хi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

G4(xi)

xi

тыс. руб.

G1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

G4(xi)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

50

11

42

36

81

50

12

42

12

81

100

20

51

42

87

100

27

53

23

92

150

31

63

55

93

150

31

57

31

101

200

45

81

61

100

200

44

61

83

110

Вариант 25 Вариант 26

хi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

G4(xi)

xi

тыс. руб.

G1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

g4(xi)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

50

11

44

31

83

50

13

50

14

82

100

26

52

46

88

100

27

53

26

93

150

38

67

54

91

150

38

58

37

101

200

47

83

67

106

200

49

66

81

114

Вариант 27 Вариант 28

хi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

G4(xi)

xi

тыс. руб.

G1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

g4(xi)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

50

8

42

38

87

50

16

47

19

18

100

24

53

44

89

100

28

56

24

19

150

33

68

54

99

150

38

59

31

17

200

47

89

68

103

200

49

65

85

21

Вариант 29 Вариант 30

хi

тыс. руб.

G1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

G4(xi)

xi

тыс. руб.

g1(xi)

g2(xi)

g3(xi)

g4(xi)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

50

23

42

34

81

50

19

41

14

18

100

28

56

45

89

100

29

52

25

29

150

37

69

59

97

150

38

59

36

40

200

49

83

67

108

200

47

64

45

41

Указания к решению.

Задача оптимального планирования капитальных вложений

Постановка: Пусть требуется распределить капитальные вложения в n разных производств наиболее эффективным способом. Прирост выпуска продукции на i-м производстве в стоимостоном выражении равен g(xi), где g- заданная функция, хi - капитальные вложения в рублях, направленные в i-ое производ-ство. Таким образом, общий прирост выпуска продукции во всех производст-вах выразится суммой:

Z= g1(x1)+g2(x2)+...+gn-1(xn-1)+gn(xn) --> max (1)

которую следует максимизировать.

Функции gi (xi), как правило, монотонно возрастающие (чем больше капита-ловложения - тем больше прирост продукции). Они не обязательно линейные и вообще могут быть самым разнообразным путем, например, в форме таб-лиц. Общая сумма капитальных вложений, подлежащая распределению, сос-тавляет С; откуда

x1+x2+...+хn = C (2)

Итак задача сводится к максимизации функции (1) при единственном огра-ничении (2). Для ее рещения можно использовать общие методы нелинейного программирования, но можно использовать и менее общий метод динамичес-кого программирования, который сдесь требуют намного меньше вычисле-ний.

Введем функцию Беллмана

Fi(x)= max{g1(x1)+...+gi(xi)} (3)

{x1, x2...xi}

Экономически функция Беллмана Fi (x) представляет собой максимальный прирост продукции на первых i предприятиях, если между ними распределит-ся сумма капитальных вложений х<= С. Перепишем выражение для функции Беллмана в другом виде, замечая, что функция gi (xi) не зависит от перемен-ных x1, x2,... xi-1, а зависит только от xi , следовательно, gi (xi) можно вынести за знак минимизаций по х1,х2,... хi-1, как выносят постоянную.

Fi (x)= max{gi (xi)+max[gi (xi)+...+gi-1(xi-1)]} (4)

{xi}

Проанализируем теперь выражение под вторым знаком максимума, сравним его с (3). Как видно, оба эти выражения схожи. Разница сосотоит в том, что максимизация ведется уже не по i переменной, а по (i-1), а количество распре-деляемых капиталовложений изменилось с Х на (Х-Хi) (т.к. Хi - капиталовло-жений досталось i- му предприятию ). Таким образом, можно переписать (4) вводя вместо второго члена в фигурных скобках более простое выражение

Fi(x)=max{gi (xi)+Fi-1(x-xi)} (5)

{xi}

Это уравнение Беллмана для рассматриваемой задачи. Из него следует, что для оптимального распределения суммы С капиталовложений нужно предва-рительно найти оптимальное распроеделение меньших сумм Х<= С, изменя-ющихся с некоторым шагом, между меньшим числом производств.

Смысл этого процесса поможит уяснить следующий пример.

ПРИМЕР

Между четырмя предприятиями нужно распределить капиталовложения в сумме 200 тыс. руб. Эффективность капиталовложений на каждом предпри-ятии подсчитана и задается следующей таблицей.

xi, тыс. руб.

g1(x1)

g2(x2)

g3(x3)

gi(xi)

0

0

0

0

0

50

15

12

18

20

100

25

30

35

32

150

45

50

50

55

200

65

60

70

68

Примечание: Эффективность - прирост выпуска продукции.

На первом шаге метода запишем уровнение (5) для случая i=1, т.е. для случая, когда капитовложения выделены только для одного предприятия.

Получаем:

F1(xi)= max{g1(x1)+F(x-x1)}= max{g1(x1)+0} (6)

{x1}

Иначе говоря, если имеется лишь одно предприятие, то все выделенные капиталовложения должны поступить в его распоряжение, никакого выбора на первом шаге поиска еще нет. Приступим теперь к заполнению таблицы.

x

F1

F2

x2

F3

x3

F4

x4

0

0

0

0

0

0

50

15

15

0

18

50

100

25

30

100

35

100

150

45

50

150

50

100,150

200

65

65

0, 150

70

200

73

150

После первого шага мы сможем заполнить только первый столбец в этой таблице, не считая крайнего левого столбца, на котором помещаются распре-деляемые суммы капиталовложений Х.

На втором шаге произведем распределение капиталовложений между двумя производствами. Для этого запишем уравнение (5) для случая i=2.

F2(x)= max{g2(x2)+F1(x-x2)} (7)

{x2}

напомним, что здесь х2 принимает все возможные значения от 0 до х. Рассмот-рим последовательно различные значения Х.

1) Х=0; F2(0)=0, это естественно, т. к. нулевые капитальные вложения не дадут никакого прироста продукции.

2) Х=50; подставляя в (7) 50 вместо Х, получаем:

F2(50)= max{g2(x2)+F1(50-x2)}

{x2}

Подставим значение х2=0 и х2=50, получим:

F2(50)= max{g2(0)+F1(50), g2(50)+F1(0)}

введем g2(0), g2(50) и F1(50);

F1(0) из таблиц 1 и 2, получим

F2(50)= max{0+15, 12+0}=15

Итак, максимальный прирост продукции при распределении 50 тыс. руб. ка-питальных вложений между первыми двумя производствами составит 15 тыс. руб. и будет достигнут при х2=0.

Проставим соответствующие значения табл. 2

3) x=100; F2(100)=max{g2(x2)+F1(100-x2)}=max{g2(0)+F1(100-0),g2(50)+

{x2}

+F1(100-50),g2(100)+F1(100-100)}=max{g2(0)+F1(100),g2(50)+F1(50),

g2(100)+F1(0)}=max{0+25,12+15,30+0}=30

4) x=150; F2(150)=max{g2(x2)+F1(150-x2)}=max{g2(0)+F1(150),g2(50)+

{x2}

+F1(100),g2(100)+F1(50),g2(150)+F1(0)}=max{0+45,12+25,30+15,50+0}=50

5) x=200; F2(200)=max{g2(x2)+F1(200-x2)}=max{0+65,12+45,30+25,50+15,

60+0}=65

Таким образом,заполнены следующие два столбца в таблице.На третьем шаге метода уравнение (5) имеет вид при i=3

F3(x)=max{g3(x3)+F2(x-x3)}

{x3}

Отсюда:

1) x=0; F3(0)=0

2) x=50; F3(50)=max{g3(x3)+F2(50-x3)}=max{g3(0)+F2(50-0),g3(50)+F2(0)}=

{x3}

=max{0+15,18+0}=18

3) x=100; F3(100)=max{g3(x3)+F2(100-x3)}=max{x3(0)+F2(100),g3(50)+F2(50),

{x3}

g3(100)+F2(0)}=max{0+30,18+15,35+0}=35

4) x=150; F3(150)=max{g3(x3)+F2(150-x3)}=max{0+50,18+30,35+15,50}=50

{x3}

5) x=200; F3(200)=max{g3(x3)+F2(200-x3)}=max{0+65,18+50,35+30,50+15,

70+0}=70

Эти вычисления позволяют заполнить следующие два столбца табл.2. На-конец,на 4-м шаге метода уравнение (5) при i=4 принимает вид:

F4(x)=max{gi(x4)+F3(x-x4)}

{x4}

Здесь нет нужды рассматривать значения X=0; 50; 100; 150, т.к. мы опреде-ленно знаем , что между четырьмя производствами нужно будет распределить

все 200 тыс.руб.

Следовательно, достаточно подсчитать

F4(200)=max{gi(x4)+F3(200-x4)}=max{0+70,20+50,32+35,55+18,58+0}=73

{x4}

Оптимальное значение достигается при x4=150. Рассматривая слагаемые,

составляющие сумму 73 тыс. руб., видим , что F3=18 тыс. руб. из табл. 2 сле-дует x3=50 тыс. руб., F1(0)=F2(0) соответствуют капиталовложения x1=x2=0.

Таким образом, в оптимальном распределении капиталовложений требует-ся вложить 150 тыс. руб. в 4-е производство, 50 тыс. руб. в третье производст-

во, а первое и второе не расширять как малорентабельные.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.