Указания к подготовке и решению задачи .

Модель задачи.

1. В качестве неизвестных задачи принимаются переменные x_ij , означающие объем перевозок нефти от i-го НГДУ к j-тому НПЗ.

2. В качестве коэффициентов целевой функции выступают издержки на перевозку 1000 т. нефти. Целевая функция минимизируется.

3. Модель задачи записывается в общем виде, при этом необходимо учесть, что по исходным данным задача является открытой.

Решение задачи.

1. Данную транспортную задачу необходимо решить методом потенциалов.

2. Поскольку по исходным данным имеем открытую задачу, то до начала ее решения следует получить закрытую модель.

3. Первоначальный опорный план поставок следует построить на основе метода северо-западного угла.Необходимо дать экономическую интерпретацию оптимального плана, указать альтернативные решения в случае их наличия.

Теоретические сведения по данной теме содержатся в литературе [8] и [10]

Задание 5

Оптимальное планирование капитальных вложений методом динамического программирования.

Между четырьмя предприятиями нужно распределить капиталовложения в сумме 200 тыс. руб. Эффективность капиталовложений на каждом предприятиии подсчитана и задается следующей таблицей:

Вариант 1 Вариант 2

Хi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	G4(xi)	xi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	g4(xi)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
50	10	20	30	61	50	18	25	31	17
100	12	22	33	67	100	25	63	39	19
150	14	27	38	90	150	38	88	45	41
200	16	30	50	90	200	41	91	61	85

Вариант 3 Вариант 4

хi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	G4(xi)	xi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	g4(xi)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
50	19	21	22	31	50	12	13	45	46
100	25	42	53	48	100	18	19	52	57
150	28	45	82	53	150	22	28	63	68
200	32	47	99	94	200	43	32	78	79

Вариант 5 Вариант 6

хi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	G4(xi)	xi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	g4(xi)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
50	13	38	25	23	50	13	17	25	47
100	28	43	38	48	100	18	31	31	58
150	45	74	42	56	150	28	42	34	60
200	61	86	67	101	200	45	48	45	70

Вариант 7 Вариант 8

хi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	G4(xi)	xi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	g4(xi)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
50	13	41	17	21	50	44	35	45	31
100	18	68	16	28	100	34	47	47	42
150	27	73	18	36	150	63	67	59	58
200	35	82	19	43	200	83	97	60	79

Вариант 9 Вариант 10

хi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	G4(xi)	xi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	g4(xi)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
50	29	25	18	56	50	28	73	85	75
100	31	39	29	88	100	32	92	96	86
150	42	42	47	89	150	45	108	108	98
200	52	49	58	162	200	66	125	203	101

Вариант 11 Вариант 12

хi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	G4(xi)	xi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	g4(xi)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
50	18	13	18	48	50	13	12	35	48
100	45	16	19	89	100	18	25	45	54
150	67	78	35	105	150	25	36	48	65
200	98	95	45	125	200	43	47	64	78

Вариант 13 Вариант 14

хi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	G4(xi)	xi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	g4(xi)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
50	28	38	18	24	50	67	37	8	12
100	36	49	45	29	100	98	44	9	13
150	44	53	67	43	150	130	80	10	14
200	51	94	96	56	200	137	98	11	15

Вариант 15 Вариант 16

хi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	G4(xi)	xi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	g4(xi)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
50	47	55	35	6	50	7	21	49	82
100	58	67	39	10	100	12	27	54	94
150	63	78	43	12	150	17	32	63	105
200	78	96	50	18	200	20	48	78	125

Вариант 17 Вариант 18

хi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	G4(xi)	xi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	g4(xi)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
50	13	63	101	17	50	18	13	17	48
100	23	78	125	19	100	25	15	19	65
150	43	89	128	21	150	38	28	21	73
200	58	96	132	24	200	42	35	23	86

Вариант 19 Вариант 20

хi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	G4(xi)	xi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	g4(xi)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
50	18	49	37	88	50	17	49	1	8
100	25	56	45	89	100	28	53	2	9
150	37	67	54	95	150	35	58	3	10
200	47	83	67	105	200	46	62	8	11

Вариант 21 Вариант 22

хi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	G4(xi)	xi тыс. руб.	G1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	g4(xi)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
50	19	50	38	89	50	18	47	11	10
100	26	58	47	90	100	29	51	21	19
150	38	68	56	96	150	37	58	32	19
200	49	85	69	109	200	48	65	81	21

Вариант 23 Вариант 24

хi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	G4(xi)	xi тыс. руб.	G1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	G4(xi)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
50	11	42	36	81	50	12	42	12	81
100	20	51	42	87	100	27	53	23	92
150	31	63	55	93	150	31	57	31	101
200	45	81	61	100	200	44	61	83	110

Вариант 25 Вариант 26

хi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	G4(xi)	xi тыс. руб.	G1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	g4(xi)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
50	11	44	31	83	50	13	50	14	82
100	26	52	46	88	100	27	53	26	93
150	38	67	54	91	150	38	58	37	101
200	47	83	67	106	200	49	66	81	114

Вариант 27 Вариант 28

хi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	G4(xi)	xi тыс. руб.	G1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	g4(xi)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
50	8	42	38	87	50	16	47	19	18
100	24	53	44	89	100	28	56	24	19
150	33	68	54	99	150	38	59	31	17
200	47	89	68	103	200	49	65	85	21

Вариант 29 Вариант 30

хi тыс. руб.	G1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	G4(xi)	xi тыс. руб.	g1(xi)	g2(xi)	g3(xi)	g4(xi)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
50	23	42	34	81	50	19	41	14	18
100	28	56	45	89	100	29	52	25	29
150	37	69	59	97	150	38	59	36	40
200	49	83	67	108	200	47	64	45	41

Указания к решению.

Задача оптимального планирования капитальных вложений

Постановка: Пусть требуется распределить капитальные вложения в n разных производств наиболее эффективным способом. Прирост выпуска продукции на i-м производстве в стоимостоном выражении равен g(xi), где g- заданная функция, хi - капитальные вложения в рублях, направленные в i-ое производ-ство. Таким образом, общий прирост выпуска продукции во всех производст-вах выразится суммой:

Z= g1(x1)+g2(x2)+...+gn-1(xn-1)+gn(xn) --> max (1)

которую следует максимизировать.

Функции gi (xi), как правило, монотонно возрастающие (чем больше капита-ловложения - тем больше прирост продукции). Они не обязательно линейные и вообще могут быть самым разнообразным путем, например, в форме таб-лиц. Общая сумма капитальных вложений, подлежащая распределению, сос-тавляет С; откуда

x1+x2+...+хn = C (2)

Итак задача сводится к максимизации функции (1) при единственном огра-ничении (2). Для ее рещения можно использовать общие методы нелинейного программирования, но можно использовать и менее общий метод динамичес-кого программирования, который сдесь требуют намного меньше вычисле-ний.

Введем функцию Беллмана

Fi(x)= max{g1(x1)+...+gi(xi)} (3)

{x1, x2...xi}

Экономически функция Беллмана Fi (x) представляет собой максимальный прирост продукции на первых i предприятиях, если между ними распределит-ся сумма капитальных вложений х<= С. Перепишем выражение для функции Беллмана в другом виде, замечая, что функция gi (xi) не зависит от перемен-ных x1, x2,... xi-1, а зависит только от xi , следовательно, gi (xi) можно вынести за знак минимизаций по х1,х2,... хi-1, как выносят постоянную.

Fi (x)= max{gi (xi)+max[gi (xi)+...+gi-1(xi-1)]} (4)

{xi}

Проанализируем теперь выражение под вторым знаком максимума, сравним его с (3). Как видно, оба эти выражения схожи. Разница сосотоит в том, что максимизация ведется уже не по i переменной, а по (i-1), а количество распре-деляемых капиталовложений изменилось с Х на (Х-Хi) (т.к. Хi - капиталовло-жений досталось i- му предприятию ). Таким образом, можно переписать (4) вводя вместо второго члена в фигурных скобках более простое выражение

Fi(x)=max{gi (xi)+Fi-1(x-xi)} (5)

{xi}

Это уравнение Беллмана для рассматриваемой задачи. Из него следует, что для оптимального распределения суммы С капиталовложений нужно предва-рительно найти оптимальное распроеделение меньших сумм Х<= С, изменя-ющихся с некоторым шагом, между меньшим числом производств.

Смысл этого процесса поможит уяснить следующий пример.

ПРИМЕР

Между четырмя предприятиями нужно распределить капиталовложения в сумме 200 тыс. руб. Эффективность капиталовложений на каждом предпри-ятии подсчитана и задается следующей таблицей.

xi, тыс. руб.	g1(x1)	g2(x2)	g3(x3)	gi(xi)
0	0	0	0	0
50	15	12	18	20
100	25	30	35	32
150	45	50	50	55
200	65	60	70	68

Примечание: Эффективность - прирост выпуска продукции.

На первом шаге метода запишем уровнение (5) для случая i=1, т.е. для случая, когда капитовложения выделены только для одного предприятия.

Получаем:

F1(xi)= max{g1(x1)+F(x-x1)}= max{g1(x1)+0} (6)

{x1}

Иначе говоря, если имеется лишь одно предприятие, то все выделенные капиталовложения должны поступить в его распоряжение, никакого выбора на первом шаге поиска еще нет. Приступим теперь к заполнению таблицы.

x	F1	F2	x2	F3	x3	F4	x4
0	0	0	0	0	0
50	15	15	0	18	50
100	25	30	100	35	100
150	45	50	150	50	100,150
200	65	65	0, 150	70	200	73	150

После первого шага мы сможем заполнить только первый столбец в этой таблице, не считая крайнего левого столбца, на котором помещаются распре-деляемые суммы капиталовложений Х.

На втором шаге произведем распределение капиталовложений между двумя производствами. Для этого запишем уравнение (5) для случая i=2.

F2(x)= max{g2(x2)+F1(x-x2)} (7)

{x2}

напомним, что здесь х2 принимает все возможные значения от 0 до х. Рассмот-рим последовательно различные значения Х.

1) Х=0; F2(0)=0, это естественно, т. к. нулевые капитальные вложения не дадут никакого прироста продукции.

2) Х=50; подставляя в (7) 50 вместо Х, получаем:

F2(50)= max{g2(x2)+F1(50-x2)}

{x2}

Подставим значение х2=0 и х2=50, получим:

F2(50)= max{g2(0)+F1(50), g2(50)+F1(0)}

введем g2(0), g2(50) и F1(50);

F1(0) из таблиц 1 и 2, получим

F2(50)= max{0+15, 12+0}=15

Итак, максимальный прирост продукции при распределении 50 тыс. руб. ка-питальных вложений между первыми двумя производствами составит 15 тыс. руб. и будет достигнут при х2=0.

Проставим соответствующие значения табл. 2

3) x=100; F2(100)=max{g2(x2)+F1(100-x2)}=max{g2(0)+F1(100-0),g2(50)+

{x2}

+F1(100-50),g2(100)+F1(100-100)}=max{g2(0)+F1(100),g2(50)+F1(50),

g2(100)+F1(0)}=max{0+25,12+15,30+0}=30

4) x=150; F2(150)=max{g2(x2)+F1(150-x2)}=max{g2(0)+F1(150),g2(50)+

{x2}

+F1(100),g2(100)+F1(50),g2(150)+F1(0)}=max{0+45,12+25,30+15,50+0}=50

5) x=200; F2(200)=max{g2(x2)+F1(200-x2)}=max{0+65,12+45,30+25,50+15,

60+0}=65

Таким образом,заполнены следующие два столбца в таблице.На третьем шаге метода уравнение (5) имеет вид при i=3

F3(x)=max{g3(x3)+F2(x-x3)}

{x3}

Отсюда:

1) x=0; F3(0)=0

2) x=50; F3(50)=max{g3(x3)+F2(50-x3)}=max{g3(0)+F2(50-0),g3(50)+F2(0)}=

{x3}

=max{0+15,18+0}=18

3) x=100; F3(100)=max{g3(x3)+F2(100-x3)}=max{x3(0)+F2(100),g3(50)+F2(50),

{x3}

g3(100)+F2(0)}=max{0+30,18+15,35+0}=35

4) x=150; F3(150)=max{g3(x3)+F2(150-x3)}=max{0+50,18+30,35+15,50}=50

{x3}

5) x=200; F3(200)=max{g3(x3)+F2(200-x3)}=max{0+65,18+50,35+30,50+15,

70+0}=70

Эти вычисления позволяют заполнить следующие два столбца табл.2. На-конец,на 4-м шаге метода уравнение (5) при i=4 принимает вид:

F4(x)=max{gi(x4)+F3(x-x4)}

{x4}

Здесь нет нужды рассматривать значения X=0; 50; 100; 150, т.к. мы опреде-ленно знаем , что между четырьмя производствами нужно будет распределить

все 200 тыс.руб.

Следовательно, достаточно подсчитать

F4(200)=max{gi(x4)+F3(200-x4)}=max{0+70,20+50,32+35,55+18,58+0}=73

{x4}

Оптимальное значение достигается при x4=150. Рассматривая слагаемые,

составляющие сумму 73 тыс. руб., видим , что F3=18 тыс. руб. из табл. 2 сле-дует x3=50 тыс. руб., F1(0)=F2(0) соответствуют капиталовложения x1=x2=0.

Таким образом, в оптимальном распределении капиталовложений требует-ся вложить 150 тыс. руб. в 4-е производство, 50 тыс. руб. в третье производст-

во, а первое и второе не расширять как малорентабельные.