2.Загальні правила комбінаторики.

Правило суми. Якщо елемент а з множини А можна вибрати m способами, а елемент b множини В можна вибрати n способами, причому ніякий вибір a не збігається з жодним з виборів b , то число способів, якими можна здійснити хоча б один з цих виборів, дорівнює сумі m+n.

Правило суми легко узагальнюється.

Узагальнене правило суми. Нехай елемент а₁ множини А₁ можна вибрати m₁ способами, елемент а₂ множини А₂ - m₂ способами,..., елемент a_k - множини А_k можна вибрати m_k способами. Тоді число способів, якими можна здійснити хоча б один з цих виборів, дорівнює сумі m₁ + m₂ + ...+ m_k .

Приклад 1. У спільному українсько-німецькому підприємстві працюють 100 робітників. З них 45 володіють англійською мовою, 65 – німецькою, 25 – англійською і німецькою мовами. Скільки працівників знають: а) хоча б одну мову?; б) тільки в одну мову; в) не знають жодної з них?

Розв'язання. U-множина працівників фірми

. а) Нехай А - множина працівників, що володіють англійською мовою, їх число N(А)=45; В - множина працівників, що володіють

Рис. 1

німецькою мовою, їх число N(В)=65.

Число працівників, що знають і англійську і німецьку є число елементів

перерізу множин А і В, тобто N (А∩В)=25. Тоді за правилом суми число

працівників які володіють хоч би однією мовою буде дорівнювати

N(A)+N(B)- N (А∩В),

тобто 45+65-25-85 (працівників). Отже, хоча б в однією мовою володіють 85 працівників.

б) Тільки англійською 45-25=20 (працівників), тільки німецькою 65-25=40 (працівників).

За правилом суми число студентів, що грають тільки в одну гру, дорівнює сумі 20+40=60 (студентів).

в) Не знають жодної з цих іноземних мов 100-85=15(працівників).

Відповідь. а) 85 працівників, б) 60 працівників, в) 15 працівників. Ілюстрація кругами Ейлера на рис.1.

Правило добутку. Якщо елемент а множини А можна вибрати m способами i при кожному а цих виборів елемент b множини В можна вибрати n способами, то упорядковану пару (а;b) можна вибрати mn способами.

У справедливості правила добутку можна переконатись з таких міркувань. Нехай А=(а₁,а₂,…,а_m) і В=(b₁,b₂,…,b_m).

Тоді пари виду (а,b) можна записати у вигляді такої таблиці:

(а₁;b₁), (а₁;b₂),…, (а₁;b_n),

(а₂;b₁), (а₂;b₂),…, (а₂;b_n),

…………………………

(а_m;b₁), (а_m;b₂),…, (а_m;b_n).

Ця таблиця складається з m рядків, у кожному з яких міститься n елементів. Отже, загальне число пар дорівнює добутку mn .

Множину впорядкованих пар, складених з елементів скінчених множин А і В, називають декартовим добутком цих множин і позна­чають АхВ.

Правило добутку легко узагальнюється на випадок кількох ви­борів.

Узагальнене правило добутку. Нехай елемент а₁ з множини А₁, можна вибрати m₁ способами, елемент а₂ з множини А₂ - m₂ спосо­бами,..., елемент а_k з множини A_k можна вибрати m_k способами.

Приклад 2. З Києва до Чернігова можна дістатися пароплавом, потягом, автобусом, літаком. З Чернігова до Новгород-Сіверського пароплавом і автобусом. Скількома способами можна здійснити подорож за маршрутом Київ-Чернігів-Новгород-Сіверський?

Розв'язання. Позначимо множину можливих способів подорожі від міста Києва до міста Чернігова через М, в ній чотири елементи, тому вибрати один елемент – спосіб подорожі, можна чотирма способами, тобто m=4. Множину можливих способів подорожі з міста Чернігова до міста Н.-Сіверський позначимо через Р, в ній 2 елементи, тому вибрати один елемент з цієї множини можна двома способами, тобто n=2.

Тоді за правилом добутку число способів вибору упорядкова­ної пари дорівнює добутку mn=42=8. Отже, з міста Києва до міста Н.-Сіверського через місто Чернігів можна вибрати 8 способів подорожі.