Міністерство освіти і науки України
Чернігівський державний інститут економіки і управління
Затверджено радою
обліково-економічного факультету
Протокол №1 від 28.08.2002 р.
КОМБІНАТОРИКА
Основи теорії та методичні вказівки
до виконання практичних завдань
ЕЛЕКТРОННИЙ ВАРІАНТ
Обговорено на засіданні кафедри ВМ та ЕММ
Протокол № 1 від 27.08. 2002 р.
Чернігів 2002
Вступ
Комбінаторика – важливий розділ математики, знання якого необхідні представникам різних спеціальностей. З комбінаторними задачами мають справу не лише математики, а й економісти, менеджери, соціологи. Комбінаторні методи лежать в основі розв’язання багатьох задач теорії ймовірностей.
Окремі комбінаторні задачі з’явилися дуже давно. У відомих тепер працях стародавніх індійських вчених знайдені формули числа перестановок і сполучень. В Європі елементи комбінаторики зустрічаються в працях Н. Тортальї (XVI ст.), але повної теорії перестановок, розміщень, сполучень він не дав. Перші теоретичні дослідження в цій галузі, у зв’язку з розвитком алгебри многочленів і виникненню теорії ймовірностей здійснили в XVII ст. французький математик Б. Паскаль (1623-1662) і П. Ферма (1601-1665). Ряд комбінаторних задач розв’язав Л. Ейлер (1707-1783). Проте в справжню математичну науку комбінаторика перетворилася лише в ХХ столітті, коли виникла потреба її застосування в обчислювальній техніці, кібернетиці, економіці й інших науках.
Сучасна комбінаторна математика сягає далеко за межі елементарної комбінаторики, знаходить широке застосування в багатьох дисциплінах.
В останні десятиріччя інтерес до комбінаторних задач значно посилився, оскільки виявилось, що багато важливих проблем, пов’язаних з розробкою оптимальних планів виробництва, транспортування, розміщення підприємств зводиться до задач комбінаторного характеру. Хоч ці задачі, як правило, досить складні вимагають надзвичайно великої кількості варіантів, сучасні комбінаторні методи пов’язані з застосуванням швидко діючих електронних обчислювальних машин, комп’ютерної техніки, дають можливість ефективно розв’язувати такі задачі.
Поняття комбінаторної задачі.
У практичному житті, серед різних математичних задач часто зустрічаються такі, в яких треба вибирати з деякої множини об'єктів підмножини елементів, які мають ті чи інші властивості, розміщувати їх у певному порядку за певними правилами знаходити число способів, за якими таке розташування можна здійснити. Наприклад, керівнику підприємства треба надіслати у відрядження певну групу спеціалістів, агроному розмістити сільськогосподарські культури на декількох полях і т.д.
Оскільки в таких задачах йдеться про ті чи інші варіанти, комбінації об'єктів, то їх називають комбінаторними задачами.
Розділ математики, в якому обґрунтовується теорія розв'язування комбінаторних задач, називається комбінаторикою.
Будь-яку комбінаторну задачу можна звести до задачі про скінченні множини, тому комбінаторику можна розглядати як складову частину теорії скінчених множин. Ми будемо вважати, що читач обізнаний з елементами теорії множин.
Спільним для всіх комбінаторних задач є те, що у кожній з них іде мова про деяку скінчену множину елементів і про кількість її підмножин, які задовольняють певні перелічені в умові вимоги умови.
Поряд з цим у різних комбінаторних задачах по різному підходять до поняття "рівні підмножини": в одних задачах підмножини, які відрізняються тільки порядком розташування в них елементів, треба вважати різними, а в інших порядок слідування елементів не істотний, і підмножини, які відрізняються тільки розташуванням елементів, не вважаються різними.
Якщо підмножини, які відрізняються тільки порядком слідування елементів, вважаються різними, то такі підмножини називаються упорядкованими.
Комбінаторні задачі поділяються на розміщення, перестановки і комбінації як без повторення, так 1 з повтореннями. У комбінаториці розроблені загальні методи і виведені готові формули для розв'язування комбінаторних задай, які ми далі розглянемо.
Оскільки в комбінаторних задачах мова йде про скінченні множини і їхні підмножини, то число способів комбінування елементів множин завжди виражається натуральним числом.