Тема 4. Формула повної ймовірності. Формули Байєса

Література: [3], глава 6, § 6.3;[4], глава 2, § 3,4;[5], глава 4, § 2,3;[6], глава 5, § 4;[7], глава 10, § 32;[9], глава 20, § 6;[12], глава 2, § 2.1.

Наслідками теорем додавання та множення ймовірностей є формули повної ймовірності та Байєса. Розглянемо приклад.

Приклад.У комп’ютерному магазині за рік продано 1000 моніторів, 300 принтерів і 100 сканерів. Протягом гарантійного терміну в сервісний центр надходять на ремонт у середньому 0,5% моніторів, 1% принтерів і 1,5% сканерів. 1) Визначити ймовірність того, що навмання вибрана з перерахованих за серійним номером одиниця товару надійде протягом гарантійного терміну на ремонт у сервісний центр. 2) Навмання вибрана з перерахованих за серійним номером одиниця товару надійшла протягом гарантійного терміну на ремонт у сервісний центр. Яка ймовірність того, що це монітор?

Розв’язання. 1) НехайА– подія, яка полягає в тому, що навмання вибрана з перерахованих за серійним номером одиниця товару надійде протягом гарантійного терміну на ремонт у сервісний центр. Введемо гіпотези:Н₁– подія, яка полягає в тому, що навмання вибрана з перерахованих за серійним номером одиниця товару – монітор;Н₂– подія, яка полягає в тому, що навмання вибрана одиниця товару – принтер;Н₃– подія, яка полягає в тому, що навмання вибрана одиниця товару – сканер. ПодіїН₁, Н₂, Н₃утворюють повну групу попарно несумісних подій. За умовою задачі

,,.

Перевірка: .

Крім того, маємо умовні ймовірності ,,.

За формулою повної ймовірності

.

2) Нехай тепер А– подія, яка полягає в тому, що навмання вибрана з перерахованих за серійним номером одиниця товару надійшла протягом гарантійного терміну на ремонт у сервісний центр. Введемо ті ж самі гіпотезиН₁, Н₂, Н₃,що й у першому пункті задачі. Тоді за формулою Байєса

.

Неважко бачити, що після того, як стало відомо, що подія Авідбулася, оцінка гіпотезиН₁суттєво змінилася: тоді як її апріорна оцінкаскладалаапостеріорна оцінкаскладає вжетобто оцінка гіпотезиН₁зменшилася майже на 21%.

Тема 5.Послідовні незалежні випробування. Граничні теореми

Література: [3] , гл. 6, § 6.6; [4], гл. 3, § 1-4; [5], гл.5, § 1-4; [6], гл. 5, § 3,9; [7], гл. 10, § 33; [13], § 3.

Формули для схеми незалежних випробувань

№	Схема розрахунку	Біноміальний розподіл – формула Бернуллі (n – невелике)	Формули Муавра-Лапласа ()	Формула Пуассона (n – велике, або)
1	Ймовірність того, що подія наступить рівноразів	, ,
2	Ймовірність того, що подія наступить не менш ніж і не більше разів		, ,

Зауваження.Локальна та інтегральна формули Муавра-Лапласа дають тим точніше наближення при даномуn, чим ближчеpдо0,5.

Найімовірнішим числом появи події A у n незалежних випробуванняхназивається число, якщо імовірність того, що подіяAпоявиться у цихnвипробуваннях рівнораз не менше імовірності появи цієї події будь-яке інше можливе число разде.

Якщо і, то числоможна визначити з подвійної нерівності

.

Різниця правого та лівого граничних значень у цій нерівності дорівнює одиниці (). Тому числаіабо одночасно дробові, або одночасно цілі. Якщо ці числа дробові, то найімовірніше числомає одне значення, якщо ж вони цілі, то найімовірніше числоприймає два значенняі. У випадку, якщо– ціле число, то.

Розглянемо приклади, при розв’язанні яких будемо користуватись формулами та відомостями, наведеними у довідниковому матеріалі посібника.

Приклад 1.Два шахісти умовились зіграти десять результативних партій. Ймовірність виграшу кожної окремої партії першим гравцем дорівнює, другим –(нічиї не враховуються). Чому дорівнює ймовірність: 1) виграшу всієї гри (потрібно виграти понад п’ять партій) а) першим гравцем, б) другим гравцем; 2) загального нічийного результату?

Розв’язання.Визначимо події:А– виграє перший гравець,В– виграє другий гравець,С– нічийний результат. Для того щоб гру виграв перший гравець, йому необхідно виграти 6, 7, 8, 9 або 10 партій. Тому, за формулою Бернуллі і теоремою додавання ймовірностей

.

ПодіїА, В, Сскладають повну групу, тому

.

Зауваження.Для наближеного обчисленняпри великих значенняхn корисною є формула Стірлінга

.

Приклад 2.За даними технічного контролю в середньому 2% виготовлених на заводі годинників потребують додаткового регулювання. Знайти ймовірність того, що зі 100 годинників, виготовлених на заводі, додатково відрегулювати потрібно буде не більш ніж три годинника.

Розв’язання.Оскількиn = 100велике число,а p = 0,02мале, то шукану ймовірність можна знайти за формулою Пуассона:

;

.

Приклад 3.Ймовірність схожості насіння дорівнює 0,75. Визначити ймовірність того, що з 500 висіяних насінин не зійде 130.

Розв’язання.Оскількиn = 500велике число, аp = 1– 0,75 = 0,25 не є близьким до нуля, то для обчислення застосуємо локальну теорему Лапласа. Для цього обчислимо

;.

Знаходимо за таблицею функції Гаусса ([4], [5], [6]).

Тоді за формулою

дістанемо

.

Приклад 4.При дослідженні впливу легування на схильність сталі до перегріву виявлено, що ймовірність зниження ударної в’язкості термічно обробленого металопрокату становить. Знайти ймовірність того, що серед 225 зразків від 30 до 50 виробів матимуть знижену ударну в’язкість.

Розв’язання.Маємо. Обчислимо

.

.

Користуючись таблицею ,знаходимо:;.

Таким чином, .