Контрольна робота № 1

Тема 1. Комбінаторика

Література : [3], гл. 6, § 6.1; [7], гл. 10, § 30; [12], розділ 2, § 2.1; [13].

При розв’язанні задач теорії ймовірностей часто доводиться підраховувати кількість усіх ймовірних способів розташування деяких елементів або здійснення деякої події. У таких випадках використовують поняття комбінаторики, основними з яких є перестановки, розміщення і комбінації (сполучення), а також комбінаторне правило множення.

Розглянемо деякі типові задачі.

Приклад 1.Скількома способами можна поставити на полку 5 різних книг ?

Розв’язання. Першою можна поставити будь-яку з 5 книг. Другою – будь-яку з 4, що залишилися, і т. д. Таким чином, кількість способів, якими можна поставити на полку 5 різних книг, дорівнює числу перестановок з 5 елементів, тобто

.

Приклад 2.Студент повинен скласти три іспити протягом семи днів (не більше, ніж один іспит у день). Скількома способами це можна зробити?

Розв’язання.Кількість способів дорівнює числу упорядкованих підмножин з трьох елементів (дні складання конкретних іспитів), що можна взяти з множини з семи елементів (дні, які відведені для складання іспитів), тобто

.

У додаток відзначимо, що у випадку, коли, припустимо, відомо, що останній іспит повинен бути складеним на сьомий день, кількість способів буде дорівнювати

.

Приклад 3.Скільки чоловік брало участь у шаховому турнірі, якщо відомо, що кожні два шахісти зустрічалися один раз, а всього було зіграно 210 партій?

Розв’язання.Кількість партій, які були зіграні, дорівнює числу невпорядкованих 2-елементних підмножин, що можна взяти з множини ізnелементів, тобто

,

де n– кількість шахістів, які брали участь у турнірі. Тоді

,,.

Оскільки , то.

Приклад 4.Скількома способами можна призначити варту з 9 солдатів, 2 сержантів та 1 офіцера, якщо в підрозділі 14 солдатів, 3 сержанти і 4 офіцери.

Розв’язання.Дев’ять солдатів можна вибрати

способами,

два сержанти

способами,

одного офіцера

способами.

Таким чином, за правилом множення варту можна призначити

способами.

Тема 2. Безпосереднє обчислення ймовірностей подій

Література : [3], гл. 6, § 6.3;[4], гл. 1, § 1,2;[5], гл. 1; [6], гл. 5, § 1;[7], гл. 10, § 31, 32;[9], гл. 20, § 1, 2;[12], гл. 2, § 2.1; [13].

Наведемо приклади обчислення ймовірностей подій із застосуванням класичного означення ймовірностей та формул комбінаторики.

Приклад 1.Кидають два гральних кубика. Яка ймовірність того, що сума очок, що випали, буде парною?

Розв’язання.Позначимо черезАподію, ймовірність якої треба знайти. За означенням, ймовірність. Кількість усіх можливих комбінацій, що взагалі можуть бути у цьому випадку.

Події Абудуть сприяти=18 комбінацій, у яких сума очок буде парною, а саме:1-1, 1-3, 1-5, 2-2, 2-4, 2-6, 3-1, 3-3, 3-5, 4-2, 4-4, 4-6, 5-1, 5-3,5-5, 6-2, 6-4, 6-6.

Таким чином,

.

Приклад 2.В урні містяться 6 білих і 4 чорних кульки. З урни виймають навмання одразу 5 кульок. Знайти ймовірність події:А – усі кулькибілі;В – чотири кулькибілі та одна чорна.

Розв’язання.Число рівноможливих незалежних подій дорівнює

.

Події Асприяють, а подіїВ–=наслідків експерименту. Тому

,

.

Приклад 3.У коробці містяться шість однакових, занумерованих кульок. Навмання по одній виймають усі кульки. Знайти ймовірність того, що номери вийнятих кульок розташуються за зростанням.

Розв’язання.НехайА– подія, ймовірність якої треба знайти. Результатами експерименту є перестановки без повторень з 6 елементів. Число усіх результатів експерименту дорівнює. Для подіїАсприятливим є лише один результат (номери зростатимуть). Отже,

.

Приклад 4.Слово “інтеграл” складено з літер на картках розрізної азбуки. З них навмання виймають три картки і кладуть в ряд одну за однією в порядку появи. Яка ймовірність того, що при цьому складеться слово “гра”?

Розв’язання.При утворенні простору елементарних подійрозглядуються усі впорядковані 3-елементні підмножини 8-елементної множини (букви, що утворюють слово “інтеграл”). Тому, а сприятливими для шуканої подіїАє лише один випадок, коли підряд буде вийнято букви “г”, “р” і “а”. Отже,

.