Вибір формули

Чи враховується порядок

розміщення елементів ?

Так Ні

Чи усі елементи

входять до сполуки?

Так Ні

Перестановки

Розміщення

Комбінації (сполучення)

2.2. ІМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ

Формула класичної Імовірності

Теорія ймовірностей має ряд основних первинних понять, на яких базуються всі теоретичні побудови і висновки. До них належать: стохастичний експеримент, випадкова подія, ймовірність, випадкова величина.

Стохастичним експериментомназивається експеримент, який можна неодноразово повторювати за деяких незмінних умов і результат якого неможливо передбачити заздалегідь.Подія– це будь-який результат експерименту.Елементарні події– це єдино можливі результати експерименту, що є взаємно виключні. Події бувають випадкові, неможливі, достовірні.Достовірною називають подіюΩ, що обов’язково відбудеться, якщо буде здійснена сукупність відповідних умов.

Неможливоюназивається подіяØ, яка свідомо не відбудеться, якщо буде здійснена сукупність умов.

Подія називається випадковою, якщо реалізація сукупності відповідних умов може мати принаймні два наслідки.

Ймовірністьв загальному випадку є кількісна міра можливості появи події в експерименті. Позначимо ймовірність подіїбуквою(probability (англ.) – ймовірність).

Ймовірністюподіїназивають відношення кількості сприяючих подіїрезультатів експериментудо загальної кількості рівноможливих несумісних елементарних подій, тобто

,.

Відносна частота події обчислюється за формулою

,,

де – число експериментів, у яких відбулася подія,– загальна кількість проведених експериментів. Застатистичнимозначенням ймовірність події є відносна частота цієї події.

Геометрична ймовірність

Нехай простір елементарних подій інтерпретується як область на числовій осі (або на площині, або у просторі), яка має відповідно довжину, площу або об’єм. Тоді,

де – вимір (довжина або площа, або об’єм) області;– вимір області. Ця формула називається формулоюгеометричної ймовірності.

Безсумнівно для кожної випадкової події A

.

2.3. Теореми додавання і множення ймовірностей

Об’єднання (сума) подій(або) – це подія, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається хоча б одна з подійабо.

Перетин (добуток) подій(або) – це подія, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли одночасно відбуваються і подія, і подія.

Різниця подій– це подія, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається подіяВ, але не відбувається подіяА.

Дві події називаються несумісними, якщо, тобто вони одночасно не можуть відбутися.

Події утворюютьповну групуподій, якщо: а); б)(тобто усі події попарно несумісні).

Кожній події можна поставити у відповідністьпротилежну подію , яка відбувається тоді, колине відбувається. Очевидно,.

Приклад.Два шахісти грають одну партію. Сукупність всіх можливих результатів партії (– виграє I шахіст,– виграє II шахіст,– нічийний результат) утворюютьповну групу подій(в результаті експерименту (партії) з’явиться тільки одна з подій групи).

Приклад.Якщо стипендія нараховується тільки при отриманні на іспитах добрих та відмінних оцінок, то події “стипендія” та “незадовільна або задовільна оцінка” є протилежними подіями.

Події називаються рівноможливими, якщо є підстава вважати, що ніяка з них не є більш можливою, ніж інші.

Приклад.Поява “герба” або числа при підкиданні монети є рівноможливими подіями.

Приклад. Діаграми В’єнна. У квадрат навмання кидають точку. Якщо точка потрапила до “вертикального” прямокутника, то говоримо, що відбулася подія, а якщо до “горизонтального” – подія. Подіївідбуваються, коли точка потрапляє до відповідної області, заштрихованої на рисунку

B/A