TeorVer / 4. Формула полной вероятности

4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА

Рассматривается некоторое событие А, которое может наступить при появлении одного из несовместных событий (гипотез)

P(H1 ), P(H2 ), , P(Hn ) . Вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности

n

P( A) P(Hi )P( A / Hi ) .

i 1

Вероятности гипотез P(H1 ), P(H2 ), , P(Hn ) до проведения опыта называются априорными. Если же опыт произведен и в резуль-

тате появилось событие А, то вероятности гипотез меняются. Переоценить вероятности гипотез позволяет формула Байеса

ЗАДАЧИ ДЛЯ АУДИТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ

4.1. Имеются два ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный шар, во втором 1 белый и 4 черных шара. Наугад выбирают один ящик и вынимают один шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым?

Ответ: 13/30

4.2.Имеются три одинаковые на вид урны: в первой урне 2 белых

и1 черный шар; во второй три белых и один черный; в третьей два бе-

лых и два черных. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Ответ: 23/36

26

4.3. При помещении в урну тщательно перемешанных n шаров (m белых и n m черных) один шар неизвестного цвета затерялся. Из оставшихся в урне n 1 шаров наугад вынимают один шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым?

Ответ: m/ n

4.4. По самолету производится три одиночных выстрела из зенитного орудия. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5, при третьем – 0,7. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий. При одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,2, а при двух попаданиях – с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.

Ответ: 0,458

4.5. На рис. 4.1 изображена схема дорог. Туристы вышли из пункта O, выбирая наугад на разветвлении дорог один из возможных путей. Какова вероятность того, что они попадут в пункт A?

А

Рис. 4.1

Ответ: 67/120

4.6. Прибор собирается из деталей высшего и 1-го сорта. При этом 40 % приборов собирается из деталей высшего сорта. Если прибор собран из деталей высшего сорта, то его надежность (вероятность безот-

казной работы за время t) равна 0,95; а если из деталей 1-го сорта – его надежность 0,7. Прибор испытывался время t и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из деталей высшего сорта.

Ответ: 0,475

27

4.7. Имеются две урны: в первой 3 белых шара и 2 черных; во второй 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, два шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Ответ: 0,52

4.8. На вход радиоприемного устройства с вероятность 0,9 поступает смесь полезного сигнала и шума (помехи), а с вероятностью 0,1 только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то приемник с вероятностью 0,8 регистрирует наличие сигнала, если поступает только помеха, то регистрируется наличие сигнала с вероятностью 0,3. Известно, что приемник показал наличие сигнала, какова вероятность того, что сигнал действительно пришел?

Ответ: 0,96

4.9. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него наименьшей: когда он тащит билет первым или последним?

Ответ: Безразлично

4.10. Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Нормальный режим работы составляет 80 % времени полета, перегрузка – 20 %. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, а в условиях перегрузки – 0,4. Вычислить надежность прибора за время полета.

Ответ: 0,84

4.11. На шахматную доску ставят наудачу двух слонов – черного и белого. Какова вероятность того, что слоны "побьют" друг друга?

Ответ: 5/36

4.12. Прибор состоит из двух последовательно включенных узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени T) первого узла равна 0,9, второго 0,8. В период испытаний за время T зарегистрирован отказ прибора. Найти вероятность того, что оказал только первый узел.

Ответ: 0,85

4.13. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.

Ответ: 6/7

28

4.14.При переливании крови учитывается группа крови больного

идонора. Человеку с четвертой группой крови можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой можно переливать кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой

группой крови можно переливать кровь только первой группы. Среди населения 33,7 % имеют первую, 37,5 % – вторую, 20,9 % – третью и 7,9 % – четвертую группу крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно переливать кровь случайно взятого донора.

Ответ: 0,547

ЗАДАЧИ ДЛЯ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

4.15. На фабрике, изготовляющей шурупы, первая машина производит 25 %, вторая – 35 %, третья – 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5 %, 4 % и 2 %. а) Какова вероятность того, что случайно выбранный шуруп дефектный? б) Случайно выбранный из продукции шуруп оказался дефектный. Какова вероятность того, что он был произведен на первой, второй, третьей машине?

Ответ: а) 0,0345; б) 125/345, 140/345, 80/345

4.16. Имеются две урны. Впервой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй 3 белых и 5 черных. Из первой и второй урн, не глядя, берут по одному шару и кладут их в третью урну. Шары в третьей урне перемешиваются и из нее наугад берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белый.

Ответ: 31/80

4.17. Шесть шаров, среди которых 3 белых и 3 черных, распределены по двум урнам. Наудачу выбирается урна, а из нее один шар. Как нужно распределить шары по урнам, чтобы вероятность вынуть белый шар была максимальной?

Ответ: В одной урне один белый шар, а в другой все остальные

4.18. Счетчик регистрирует частицы трех типов: A, B, C. Вероятность появления этих частиц P(A) 0,2 , P(B) 0,5 , P(C) 0,3 . Частицы каждого из этих типов счетчик улавливает с вероятностями p1 0,8 , p2 0,2 , p3 0,4 . Счетчик отметил частицу. Определить

вероятность того, что эта частица типа B.

Ответ: 5/19

29