TeorVer / 5. Формула Бернулли

5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ И ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. ТЕОРЕМЫ МУАВРА – ЛАПЛАСА.

ФОРМУЛА ПУАССОНА

Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью p , то вероятность того, что событие А появится ровно m раз (формула Бернулли):

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность наступления некоторого события А в n независимых испытаниях постоянна и

Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность собы-

которая позволяет найти вероятность того, что частота наступления со-

m положительных исходов при n испытаниях равна

m

Pm,n m! e,

где np .

ЗАДАЧИ ДЛЯ АУДИТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ

5.1. Игральная кость брошена 10 раз. Найти вероятность выпадения единицы 7 раз.

Ответ: 0,0002481

5.2. Имеется 5 станций, с которыми поддерживается связь. Время от времени связь прерывается из-за атмосферных помех. Вследствие удаленности станций друг от друга перерыв связи с каждой из них про-

исходит независимо от остальных с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что в данный момент времени будет иметься связь не более чем с двумя станциями.

Ответ: 0,05792

5.3. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен): три партии из четырех или пять партий из восьми?

Ответ: вероятнее выиграть три из четырех

5.4. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?

Ответ: 0,2787

5.5. Прибор состоит из 8 однородных элементов, но может работать при наличии в исправном состоянии не менее 7 из них. Каждый из элементов за время работы прибора t выходит из строя независимо от других с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что прибор откажет за время t.

Ответ: 0,497

5.6. Система радиолокационных станций ведет наблюдение за группой из 10 объектов. Каждый объект может быть (независимо от других) потерян с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что хотя бы один объект будет потерян.

Ответ: 0,65

5.7. Изделия некоторого производства содержат 5 % брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий: а) нет ни одного испорченного; б) будут два испорченных.

Ответ: а) 0,77; б) 0,02

5.8. По каналу связи передаются n 6 сообщений, каждое из которых независимо от других с вероятностью p 0,2 оказывается ис-

каженным. Найти вероятность следующих событий: A={ровно два сообщения из 6 искажены}; B={не менее двух сообщений из 6 искажены}; C={все сообщения переданы без искажений}; D={все сообщения искажены}.

Ответ: P(A) 0,24576 ; P(B) 0,345 ; P(C) 0,262 ; P(D) 0,000064

5.9.Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки – 0,485.

Внекоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не больше двух девочек.

Ответ: 0,3723

5.10. Пару игральных костей бросают 8 раз. Найти: а) вероятность выпадения 7 очков ровно 4 раза; б) вероятность выпадения 11 очков в двух испытаниях; в) вероятность того, что сумма 12 очков выпадет более одного раза.

Ответ: а) 0,026; б) 0,0613; в) 0,0193

5.11. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если общее их количество равно 7.

Ответ: 5

5.12. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

Ответ: 24 или 25

5.13. В первые классы принято 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0,515.

Ответ: 0,051

5.14. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,25. Какова вероятность, что при 300 испытаниях успех наст у- пит: а) ровно 75 раз? б) ровно 85 раз?

Ответ: а) 0,0532; б) 0,0219

5.15. Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных "гербом" вверх, будет от

45 до 55?

Ответ: 0,6826

5.16. (Парадокс "гербов" и "решек".) При игре в "гербы" и "решки" бросили монету 100 раз. Подсчитать вероятности следующих событий: а) A={выпало ровно 50 "гербов"}; б) B={выпало, по крайней мере, 60 "гербов"}; в) C={выпало, по крайней мере, 55 "гербов"}.

Ответ: P(A) 0,08 ; P(B) 0,023 ; P(C) 0,16

5.17. Вероятность появления успеха в каждом из 625 независимых опытов равна 0,8. Найти вероятность того, что частота появления успеха отклонится по абсолютной величине от его вероятности не более чем на 0,04.

Ответ: 0,9876

5.18. Сколько нужно произвести опытов с бросанием монеты, чтобы с вероятностью 0,92 можно было ожидать отклонение частоты выпадения "герба" от теоретической вероятности 0,5 на абсолютную величину, меньшую, чем 0,01?

Ответ: n 7656

5.19. В лотерее из 40000 билетов ценные выигрыши падают на 3 билета. а) Определить вероятность получения хотя бы одного выигрыша на 1000 билетов. б) Сколько нужно приобрести билетов, чтобы вероятность получения ценного выигрыша была не менее 0,5?

стью 0,9876 абсолютная величина отклонения частоты появления успеха от его вероятности 0,8 не превысит .

Ответ: 0,05

5.21. Известно, что вероятность рождения мальчика приблизительно равна 0,515. Какова вероятность того, что среди 10 тысяч новорожденных мальчиков будет не больше чем девочек?

Ответ: 0,0013

5.22. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5000.

Ответ: 0,9596

5.23. Изготовитель радиоэлектронного оборудования закупает 1000 интегральных микросхем, каждая из которых с вероятностью 0,01 может оказаться неисправной. Какова вероятность того, что: а) неис-

правны будут ровно 10 микросхем; б) все микросхемы окажутся неисправными; в) из всех микросхем неисправна будет лишь одна.

Ответ: а) 0,1251 ; б) 4,32 10 5 ; в) 0,0005

5.24. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

Ответ: 0,1563

5.25. Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время T с вероятностью 5 104. Найти вероятность следующих событий: A={за время T откажет ровно 3 элемента}; B={откажет хотя бы один элемент}.

Ответ: 0,013; 0,394

5.26. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонит 5 абонентов?

Ответ: 0,0916

5.27. Имеется общество из 500 человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в любой день равна 1/365.

Ответ: 0,2385

5.28. Вероятность того, что микросхема не выдержит испытания, равна 0,0004. Найти вероятность того, что из 7000 микросхем не менее двух не выдержат испытаний.

Ответ: 0,908

ЗАДАЧИ ДЛЯ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

5.29. Устройство состоит из 8 независимо работающих элементов. Вероятности отказов каждого из элементов за время T одинаковы и равны p 0,2 . Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали 3 элемента из восьми.

Ответ: 0,203

5.30. Пусть вероятность попадания в цель при одном выстреле равна p, а вероятность поражения цели при k 1 вы стр ел ах по ней 1 qk . Какова вероятность того, что цель поражена, если произведено n выстрелов?

Ответ: 1 (1 p pq)n

5.31. Кодирование сообщений в цифровой системе связи выполняется путем преобразования в последовательность двоичных чисел 0 и 1. Воздействие шума приводит к ошибочному приему. Вероятность передачи нуля составляет 0,4, а единицы 0,6. Кроме этого вероятность приема 1 при передаче 0 равна 0,08, а вероятность приема 0 при передаче 1 равна 0,05. Определить вероятность того, что при приеме шести символов: а) не будет допущено ни одной ошибки; б) будет допущена ровно одна ошибка; в) будет допущено более одной ошибки; г) возникнет одна или большее число ошибок.

Ответ: а) 0,6811; б) 0,2701; в) 0,04877; г) 0,3189

5.32. Проводятся испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании p 0 . Какова вероятность того, что для

5.33. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Найти вероятность, что сообщение из 10 знаков: а) не будет искажено; б) содержит 3 искажения; в) содержит не более трех искажений.

Ответ: а) 0,3487; б) 0,0534; в) 0,9872

5.34. (Задача Банаха.) Некий курящий математик носит с собой две коробки спичек. Каждый раз, когда он хочет достать спичку, он наугад выбирает одну из коробок. Найти вероятность того, что когда математик вынет в первый раз пустую коробку, в другой коробке ока-

жутся r спичек ( r 0, 1, 2, ...n; n – число спичек, бывших первоначально в каждой из коробок).

Ответ: C2nn r 22n r

5.35. Два равносильных шахматиста договорились сыграть матч из 2n результативных партий (ничьи не учитываются). Выигравшим матч считается тот, кто победит в большем числе партий. В каком матче больше шансов выиграть — в матче из 8 результативных партий или из 12?

Ответ: из 12 партий

5.36. Стрельба ведется до первого попадания. Выстрелы независимы и вероятность попадания при каждом выстреле равна p. Какова вероятность того, что потребуется 6 выстрелов, если известно, что было сделано четное число выстрелов?

Ответ: (1 p)4 (1 (1 p)2

5.37. Ведется стрельба до первого попадания. Выстрелы независимы с вероятностью попадания, равной p. Какова вероятность того, что первые два выстрела неудачны?

Ответ: (1 p)2

5.38. Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0,006. Застрахована группа в 10000 человек 20-летнего возраста, причем каждый застрахованный внес по 1,2 рубля страховых взносов за год. В случае смерти застрахованного страховое общество выплачивает наследникам 100 рублей. Какова вероятность того, что: а) к концу года страховое учреждение окажется в убытке; б) его доход превысит 6000 рублей; в) доход превысит 4000 рублей?

Ответ: а) 0,0000; б) 0,5; в) 0,995

5.39. На лекции присутствует 200 человек. Найти вероятность того, что k человек из присутствующих родились 1 января, а m родились 1 мая. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день рав-

5.40. Из одной ЭВМ на другую необходимо передать файл объемом 8000 символов. Вероятность ошибки при передаче символа составляет 0,001. Определить: а) вероятность безошибочной передачи файла; б) вероятность того, что будет ровно 10 ошибок; в) какова должна быть вероятность ошибки при передаче символа, чтобы вероятность передачи всего файла без ошибок составила 0,99?

Ответ: а) 0,000334; б) 0,0993 ; в) 1,256 10 6

5.41. Предположим, что при наборе существует вероятность p 0,0001 того, что любая буква будет набрана неправильно. После

набора гранки прочитывает корректор, который обнаруживает каждую опечатку с вероятностью q 0,9 . После корректора – автор, обнару-

живающий каждую из оставшихся опечаток с вероятностью r 0,5 . Найти вероятность того, что в книге, имеющей 100000 печатных знаков, останется после этого не более 10 незамеченных опечаток.

Ответ: 1

5.42. Для того, чтобы узнать, сколько рыб в озере, отлавливают 1000 рыб, метят и выпускают обратно в озеро. При каком числе рыб в озере вероятность встретить среди пойманных 150 рыб 10 меченых будет наибольшей?

Ответ: 15000

5.43. (Парадокс дня рождения.) Если собираются вместе ровно 365 человек, то возможно, что все они имеют разные дни рождения. (Не рассматриваем високосный год.) Однако среди 366 человек наверняка (100 %) найдутся, по крайней мере, два таких, у которых дни рождения приходятся на один и тот же день. Определить, сколько должно быть людей, чтобы с вероятностью: а) 99 %; б) 99,9 %, по крайней мере, два человека имели одинаковый день рождения.

Ответ: а) 58; б) 71

5.44. Книга в 500 страниц содержит 50 опечаток. Оценить вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее 3 опечаток.

Ответ: 0,000155