TeorVer / 7. Двухмерные случайные вуличины

Функцией распределения системы двух случайных

величин

(X ,Y )

называется вероятность совместного выполнения двух нера-

венств:

X x, Y

y

F(x, y) P{X x,Y y} .

Для системы двух дискретных случайных величин (X ,Y )

функ-

ция распределения равна

F (x, y)

pij ,

xi

x y j y

а для системы непрерывных случайных величин:

x

y

F (x, y)

f (z, w)dzdw,

где

pij

– вероятность совместного выполнения равенств

X

xi и

Y

y j

; f (x, y)

– совместная плотность распределения системы не-

прерывных случайных величин (X ,Y ) .

Свойства совместной плотности распределения:

3. f (x, y)

2 F (x, y)

;

x y

X и Y . Момент

1,1

называется смешанным центральным моментом

ции, т. е.:

2

DX M [ X

] M [ XX ]

K XX , DY M [YY ] KYY .

Для независимых случайных величин ковариация всегда равна

нулю.

Ковариация характеризует

степень линейной зависимости слу-

rXY

K XY

.

X

Y

Если rXY

0 , то говорят,

что случайные величины X и Y свя-

заны положительной корреляцией; при rXY

0 – отрицательная кор-

реляция между

случайными

величинами.

Диап азон изменения

Таблица

для непрерывных X и Y

для дискретных X и Y

n

m

m

X

xf (x, y)dxdy

mX

xi pij

i

1

j

1

n

m

m

yf (x, y)dxdy

mY

y j pij

Y

i

1

j

1

для непрерывных X и Y

для дискретных X и Y

n

m

D

X

(x

m

X

)2 f (x, y)dxdy

DX

(xi

mX )2 pij

i

1

j

1

n

m

D

( y

m )2 f (x, y)dxdy

DY

( y j

mY )2 pij

Y

Y

i

1

j

1

n

m

K XY

(x

mX )

K XY

(xi

mX )

i

1 j 1

( y mY ) f (x, y)dxdy

( y j

mY ) pij

Плотность распределения

fZ (z)

суммы двух независимых слу-

чайных

величин

Z

X

Y

вычисляется по

формуле композиции

(свертки) плотностей

fX (x) и

fY ( y) в виде

fZ (z)

f X (x) fY (z x)dx

fY ( y) f X (z y)dy .

n

P{X Y n}

P{X k}P{Y n k}.

k

0

xi

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

pi

1/36

2/36

3/36

4/36

5/36

6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

сумма очков

2

3

4

5

6

вероятность

0,02

0,09

0,26

0,33

0,30

Y

0

1

X

0

0

q

1

p

0

x

0

0 x 1

x>1

y

0

0

0

0

0

y 1

0

0

p

y>1

0

q

1

роятности

f (x, y)

A

.

2 (3 x2 )(1 y2 )

ность попадания случайной точки

(X ,Y )

в квадрат,

ограниченный

прямыми x 0 , y 0 ,

x 1, y

1.

A

Ответ: а)

3 ;

б) F(x, y) =

1

arctg

x

1

1

arctgy

1

; в) 0,0417

2

2

3

7.6. Случайная точка

(X ,Y )

на плоскости распределена по сле-

дующему закону:

Y

–1

0

1

X

0

0,1

0,15

0,20

1

0,15

0,25

0,15

Найти числовые характеристики (X ,Y ) .

Ответ: M[X ]

0,55; M[Y]

0,1; D[X ] 0,2475; D[Y ]

0,59;

K XY

– 0,055; rXY

– 0,144

7.7. Пусть заданы случайная величина X с плотностью вероятно-

сти f (x) Ae x 2

и случайная величина Y

X 2 . Показать, что для

показательное распределение с плотностью

f X (x)

fY (x)

e

x ,

x 0. Найти плотность случайной величины Z

X

Y .

Ответ:

fZ (x)

2 xe

x

( m1, 1 )

и ( m2 ,

2 )

нормально

распределена

с

параметрами

m

m

m ,

2

2 .

1

2

1

2

7.10. Случайные величины распределены по закону Пуассона:

k

m

P{X k}

e

1 , P{Y m}

e 2 .

k!

m!

Найти закон распределения их суммы.

(

1

2 )n

(

1

2 )

Ответ: P{X

Y

n}

e

n!

7.11. Найти функцию распределения суммы независимых случай-

ных величин X и Y, первая из которых равномерно распределена на

интервале [ h; h] , а вторая имеет функцию распределения F(y) .

1

h

Ответ: F(z)

P{X

Y

z}

F (z

x)dx

2h

h

7.12. Случайные величины X и Y независимы и имеют равномер-

ное

распределение

на

отрезке

[0;

1]:

f (x)

1

при

0

x

1

и

f ( y) 1 при 0

y

1 . Найти функцию распределения и плотность

вероятности случайной

величины

Z

X

Y .

Построить

график

функции

f (z) .

0,

z

0;

Ответ: f (z)

z,

0

z

1;

2

z,

1

z

2;

0,

z

2

7.14. Случайная величина

(X ,Y )

подчинена закону распределе-

ния с плотностью

f (x,y)

Axy в области D и

f (x, y)

0 вне этой

области.

Область

D

–

треугольник,

ограниченный

прямыми

x y

1, x 0, y

0. Найти: а) величину A;

б) M[X ] и M[Y ] ;

в) D[ X ] и D[Y] ; г) KXY ; д) rXY .

Ответ: а) 24; б) 2/5, 2/5; в) 0,2475, 0,2475; г) –2/75; д) –2/3

7.15. Пусть случайные величины

X1 и

X 2

независимы и подчи-

няются распределению Пуассона с параметрами

1 и

2 . Найти ус-

ловное распределение

X1

при фиксированной сумме X1

X 2 N .

k

N k

Ответ: P{X

k X

X

N}

C k

1

2

,

1

1

2

N

1

2

1

2

k 0, 1, ..., N

7.16. В триоде катод излучает n электронов. С вероятностью p

электрон попадает на анод,

и с вероятностью 1

p электрон попадает

Ответ: M [na ] pn , M [nc ]

(1 p)n ,

D[n ] M[n ]

p2 (

2 n) , D[n ] (1 p)2 2

np(1 p) ,

a

a

c

делены с M[X ]

M[Y ] 0, D[X ] D[Y ]

1. Найти вероятность

того, что

случайная

точка (X ,Y )

попадет в кольцо

{(x, y) : 2

x2

y2

3}.

Ответ: 0,1242

Ответ: r n /100

7.19.

Найти

плотность вероятности модуля радиуса-вектора

R

X 2

Y 2 ,

если случайные величины X и Y независимы и рас-

пределены

по

нормальному

закону

с

M[X ]

M[Y ]

0 ,

D[ X ]

D[Y ]

2 .

Ответ: f (r)

r

e r 2 / 2 2 , r

0; 0, r

0

2

7.20. Независимые случайные величины X и Y распределены нор-

мально,

M[X ]

2 ,

M[Y]

3 ,

D[X ]

4 ,

D[Y]

9 . Написать

плотность вероятности и функцию распределения их суммы.

7.21. Пусть n – число инжектированных электронов из эммитора в

базу,

из

них

nb

–

рекомбинировало и

nk

–

попало

в коллектор

(n

nb

nk ) . Известны: p – вероятность пролета электрона через

D[n]

2 .

базу;

M[n]

n

и

Найти

M [n ] , M [n ] , D[n ] ,

b

k

b

D[nk ] , Knb ,nk

Ответ: M [nb ] (1

p)n , M [nk ]

pn ,

D[n ] (1 p)2 2

p2 2

np(1 p) , D[n ]

np(1 p) ,

b

k

Kn

( 2

,n

k

n) p(1 p)

b

величин Z1 aX

bY и Z2 aX bY . б). Доказать,

что

M[max( X ,Y )] m

/

Ответ: а) r

, z

a2

b2

z

2

1