TeorVer / 3. Теорема сложения и правило умножения

3. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ

Аксиома (теорема) сложения вероятностей. Если А и В – несовместные события, т.е. AB , то

P(A B) P(A) P(B) .

Эта аксиома легко обобщается на любое число событий. Если

Следствия теоремы сложения.

1) Сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна

n

P( Ai ) 1.

i1

2)Сумма вероятностей противоположных событий равна единице

P( A) P( A) 1 .

Следствие широко используется, когда проще вычислить вероятность противоположного события.

3) Если события А и В совместны, т.е. AB , то

P(A B) P(A) P(B) P(AB) .

Условной вероятностью события В при наличии А называется величина

17

в предположении, что P(A) 0 . Можно трактовать условную вероятность P(B / A) как вероятность события В, вычисленную при усло-

вии, что событие А произошло.

Теорема (правило) умножения вероятностей. Вероятность произведения (пересечения, совмещения) двух событий равна вероятности одного из них, умноженную на условную вероятность второго, при наличии первого

P(AB) P(A)P(B / A) , или P(AB) P(B)P(A/ B) .

Событие А называется независимым от события В, если вероятность P(A) не зависит от того, произошло В или нет, т.е.

P(A/ B) P(A) .

Правило умножения вероятностей для независимых событий имеет вид

P(AB) P(A)P(B) .

ЗАДАЧИ ДЛЯ АУДИТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ

3.1. Вероятность того, что стрелок, произведя выстрел, выбьет 10 очков, равна 0,4, 9 очков – 0,3 и, наконец, 8 или меньше – также 0,3. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет не меньше 9 очков.

Ответ: 0,7

3.2. В ящике находятся катушки четырех цветов: белых катушек 50 %, красных – 20 %, зеленых – 20 %, синих – 10 %. Какова вероятность того, что взятая наугад катушка окажется зеленой или синей?

Ответ: 0,3

3.3.Круговая мишень состоит из трех зон. Вероятность попадания

впервую зону при одном выстреле 0,15, во вторую – 0,23 и в третью – 0,17. Найти вероятность промаха.

Ответ: 0,45.

3.4. Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка станка, равна 0,05. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за три смены?

Ответ: 0,857375.

3.5. В одной коробке 5 белых и 10 красных шаров, в другой коробке 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя

18

бы из одной коробки будет, вынут один белый шар, если из каждой коробки вынуто по одному шару.

Ответ: 7/9

3.6. Бросают 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков.

Ответ: 1/216

3.7.Вероятность безотказной работы за время Т блока, входящего

вприбор, равна 0,85. Для повышения надежности устанавливается такой же резервный блок. Определить вероятность безотказной работы

прибора за время Т с учетом резервного блока.

Ответ: 0,9775

3.8. Вероятность для одной торпеды попасть в корабль равна 1/2. Какова вероятность того, что 4 торпеды потопят корабль, если для потопления корабля достаточно одного попадания торпеды в цель?

Ответ: 15/16

3.9. В ящике 10 красных и 6 белых пуговиц. Вынимается наудачу 2 пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?

Ответ: 0,5

3.10. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет выпадает выигрыш 500 руб., на 10 билетов – выигрыш по 100 руб., на 50 билетов – выигрыш по 20 руб., на 100 билетов – выигрыш по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Участник лотереи покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.

Ответ: 0,061

3.11. Найти вероятность того, что наугад взятое двухзначное число окажется кратным 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Ответ: 0,6

3.12. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос?

Ответ: 28/29

3.13. Дворцовый чеканщик кладет в каждый ящик, вместимостью m n фальшивых. Король подозревает чеканщика и подвергает проверке монеты, взятые наудачу по одной в каждом из k ящиков.

19

Какова вероятность того, что чеканщик не будет разоблачен? Рассмотреть случай m 1, n k 100 .

Ответ: (1 m / n)k ; (1 0,01)100 0,366

3.14. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью, не меньшей: а) 0,5; б) 0,9, хотя бы один раз выпало шесть очков?

Ответ: а) 4; б) 13

3.15. Доказать, что если события A и B независимы, то события

A и B, A и B также независимы.

3.16. Бросили монету и игральную кость. Определить, зависимы или независимы события: A={выпал "герб"}; B={выпало четное число очков}.

Ответ: независимы

3.17. События Ai (i 1, 2, , n) – независимы, P( Ai ) pi . Найти вероятности: а) появления хотя бы одного из этих соб ы- тий; б) появление всех этих событий; в) появление только одного из них.

3.18.Доказать, что если A и B – независимые события с положительными вероятностями, то они совместны.

3.19.В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наудачу вынимаются два шара. Какова вероятность, что вынутые ша-

ры разного цвета, если известно, что не вынут синий шар?

Ответ: 48/95

3.20. Сообщение передается одновременно по n каналам связи,

причем для надежности по каждому каналу оно повторяется k раз. При одной передаче сообщение (независимо от других) искажается с веро-

ятностью p. Каждый канал связи (независимо от других) "забивается"

помехами с вероятностью q. Забитый канал не может передавать сообщений. Найти вероятность того, что адресат получит сообщение без искажений.

Ответ: 1 [1 (1 q)(1 pk )]n

20

3.21. Происходит дуэль (на пистолетах, самолетах, ракетах...) между двумя участниками A и B. У A в запасе два выстрела, у B – один. Начинает поединок A, делая по B выстрел, и поражает его с вероятностью 0,2. Если B не поражен, он отвечает выстрелом и поражает его с вероятностью 0,3. Если A не поражен, то он делает по B свой последний выстрел с вероятностью поразить противника 0,4. Найти вероят-

ность того, что в бою будет поражен: а) участник A; б) участник B.

Ответ: а) 0,24; б) 0,424

3.22. Самолет обнаруживается тремя радиолокаторами с вероятностями p1 0,8 , p2 0,7 , p3 0,5 для каждого локатора. Какова

вероятность обнаружения самолета двумя радиолокаторами?

Ответ: 0,47

3.23. В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный момент камера включена, соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включены: а) две камеры; б) не более одной камеры; в) три камеры.

Ответ: а) 0,398; б) 0,098; в) 0,504

3.24. Три стрелка стреляют по одной мишени. Вероятности попадания каждого из стрелков соответственно равны p1 0,4 , p2 0,5 , p3 0,7 . Найти вероятность того, что в результате одновременного

выстрела в мишени будет: а) ровно одна пробоина; б) хотя бы одна пробоина.

Ответ: а) 0,36; б) 0,91

3.25. Разыскивая специальную книгу, студент решил обойти три библиотеки. Для каждой библиотеки одинаково вероятно: есть в ее фондах книга или нет. И если книга есть, то одинаково вероятно занята она другим читателем или нет. Что более вероятно — достанет студент книгу или нет, если известно, что библиотеки комплектуются независимо друг от друга?

Ответ: p 1 (3 / 4)3

3.26. Десять лампочек соединены последовательно. Вероятность перегореть для любой лампочки равна 0,1. Какова вероятность разрыва цепи?

Ответ: 0,6513

21

3.27. Бросают три игральные кости. Какова вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет одно очко, если на всех костях выпали разные грани?

Ответ: 1/2

ЗАДАЧИ ДЛЯ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

3.28. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложены два вынутых наудачу шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Найти вероятность вынуть из второй урны белый шар.

Ответ: 0,52

3.29. Два охотника стреляют в волка, причем каждый делает по одному выстрелу. Для первого охотника вероятность попадания в цель равна 0,7, для второго – 0,8. Какова вероятность попадания в волка (хотя бы одним выстрелом)?

Ответ: 0,94

3.30. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна p1 , а

вторым стрелком – p2 . Стрелки выстрелили одновременно. Какова вероятность того, что один из них попадет в цель, а другой не попадет?

Ответ: p1 p2 2 p1 p2

3.31. Производится стрельба из орудия по удаляющейся цели. При первом выстреле вероятность попадания равна 0,8, при каждом следующем вероятность попадания уменьшается в два раза. Какова вероятность поразить цель пятью выстрелами?

Ответ: 0,918

3.32. Вероятность того, что прибор не откажет к моменту времени t1 , равна 0,8, а вероятность того, что он не откажет к моменту времени t2 (t2 t1) , равна 0,6. Найти вероятность того, что прибор, не отка-

завший к моменту времени t1 , не откажет и к моменту времени t2 .

Ответ: 0,75

3.33. Из множества чисел {1, 2, , N} по схеме случайного вы-

бора без возвращения выбирают три числа. Найти условную вероятность того, что третье число попадет в интервал, образованный первыми двумя, если известно, что первое число меньше второго.

Ответ: 0,5

22

3.34. На шахматную доску наудачу ставятся два слона – черный и белый. Какова вероятность того, что слоны не побьют друг друга, при условии, что белый слон попадет на одно из крайних полей доски?

Ответ: 8/9

3.35. На шахматную доску наудачу ставят две ладьи разного цвета. Вычислить P(B / A) , если A={ладьи попали на клетки разного

цвета}, B={ладьи побьют друг друга}.

Ответ: 0,25

3.36. (Задача кавалера де Мере) Что вероятнее: при бросании четырех игральных костей хотя бы на одной получить 1 или при 24 бросаниях двух костей хотя бы раз получить две единицы?

Ответ: при бросании четырех костей

3.37. Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судья принимают правильное решение независимо друг от друга с вероятностью p, а третий судья для принятия решения бросает монету. Окончательное решение жюри принимает по большинству голосов. Другое жюри, состоящее из одного человека, выносит справедливое решение с вероятностью p. Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью?

Ответ: оба решения равновероятны 3.38. Продолжение 3.37. Все три члена жюри принимают независимо друг от друга правильное решение с вероятностью p. Каким должно быть p, чтобы данное жюри принимало правильное решение с

большей вероятностью, чем жюри из предыдущей задачи?

Ответ: p 1/ 2

3.39. Продолжение 3.37. Первые двое судей принимают решения так же, как в 3.37, а третий судья поступает следующим образом: если двое первых судей принимают одинаковые решения, то он к ним присоединяется, если же решения первых двух судей разные, то третий судья бросает монету. Какова вероятность правильного решения такого жюри?

Ответ: p

3.40. Имеется n экзаменационных билетов, каждый из которых содержит по два вопроса. Студент знает ответы только на k 2n вопросов программы. Определить вероятность, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса своего билета или

23

на один вопрос из своего билета и на один вопрос дополнительного билета.

Ответ:

k(k 1) 2k(2n k) k 1

2n(2n 1) 2n(2n 1) 2n 2

3.41. В изображенных на рис. 3.1 пяти схемах, образующих цепи элементов с одним входом и одним выходом, отказы элементов являются независимыми. Отказ любого элемента приводит к прерыванию сигнала в той части ветви, где находится данный элемент. Извест-

на вероятность неотказа – надежности pk k-го элемента ( qk 1 pk – вероятность отказа). Вычислить надежность каждой из схем.

24