TeorVer / 8. Функции случайной величины

нально от случайной величины

X , т.е. Y (X ) . Пусть случайная

величина X дискретна и известен ее ряд распределения:

x

x

…

xi

…

xn

Х:

1

2

,

p

p

…

pi

…

pn

1

2

n

где pi P{X xi }, (i

1, n

); pi

1 .

i 1

После функционального преобразования возможного значения

(x1 )

(x2 )

…

(xi )

…

(xn )

p

p

pi

,

…

…

pn

1

2

xi

1

3

5

pi

0,4

0,1

0,5

Построить ряд распределения случайной величины Y 2 X .

Ответ:

yi

2

6

10

pi

0,4

0,1

0,5

8.2. Дискретная случайная величина X имеет ряд распределения

xi

/ 4

/ 2

3 / 4

pi

0,2

0,7

0,1

Построить ряд распределения случайной величины Y sin(X ) .

Ответ:

yi

2 / 2

1

pi

0,3

0,7

8.3. Дискретная случайная величина X имеет ряд распределения

xi

–2

–1

0

1

2

pi

0,1

0,2

0,3

0,3

0,1

72

Построить ряды

распределения случайных

величин

Y X 2

1;

Z

X

.

Ответ:

yi

1

2

5

zi

0

1

2

pi

0,3

0,5

0,2

pi

0,3

0,5

0,25

8.4. Непрерывная случайная величина X имеет плотность

f (x) .

Найти плотность вероятности случайной величины Y=2X.

Ответ:

f ( y) f ( y / 2)

2

8.5. Случайная величина X имеет показательное распределение с

плотностью вероятности

f (x) e x , x 0 . Найти функцию распре-

деления и плотность вероятности случайной величины Y e X .

Ответ:

0,

y 0

0,

y 0

F ( y)

f ( y)

1

y, 0 y 1 ;

1, 0 y

1,

y 1

0,

y 1

8.6. Случайная величина распределена по нормальному закону с

плотностью вероятности

f (x)

1

e x

2

/ 2

2

2

Найти закон распределения обратной ей величины Y 1/ X .

Ответ: f ( y)

1

e 1/(2

2

y

2

)

y2

2

8.7. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке

[ 1, 2]. Найти плотность вероятности случайной величины Y X 2 .

0, y 0

/(3

y ), 0 y 1

1

Ответ: f ( y)

1

/(6

y ), 1 y 4

0, y 4

73

y b

1

, a 0 ; б)

1

1

Ответ: а) f

f

, y 0

;

2

a | a |

y y

1

в) [ f (arccosy 2 k) f ( arccos y

2 k)]

, | y | 1 ;

1 y2

ЗАДАЧИ ДЛЯ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ

И САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

8.9. Случайные величины

X

и Y

независимы,

причем

P{X 0} P{X 1} 0,5 ,

P{Y x} x (0 x 1) .

Найти

ф ун к ц ию р асп р едел ени я: а )

Z1 Y X ; б )

Z2

Y X / 2 ;

в ) Z3 XY .

1, z 0

Ответ: а) F (z) P{Z1

z / 2, 0 z 1

z}

(z 1) /

;

1/ 2

2, 1 z 2

1, z 2

0, z 0

0 z 1

б) F (z) P{Z2 z}

z / 2,

(z 1/ 2),

;

1/ 2

1 z 3 / 2

1, z 3 / 2

1, z 0

z / 2, 0 z 1

в) F (z) P{Z3 z} 1/ 2

1, z 1

74

(x) pY

0,

x 0

pX

(x)

,

e x ,

x 0

0, z 1

1/ 2(z 1/ 2), 1 z 2

а) r(z) 1/ 2, 2 z 3

;

0, z 3

0, z 0

0 z 1

1/ 2,

б) r(z)

5 / 4, 1

z 2

z / 2

0, z 2

[.]

– целая часть)

имеет "равномерное дискретное" распределение

pk

P{Y k}

1

, k 0, 1, ..., n .

k

1

8.16. Показать,

что случайная величина Y [ln X / ln(1 p)]

(X и [.] обозначают тоже, что и в предыдущей задаче) имеет геометри-

ческое распределение

p P{Y k} p(1 p)k , k 0, 1, , n .

k

8.17. Показать, используя метод математической индукции, что

n

случайная величина

X n i , где i , i 0, 1, ..., n – независимые

(x)

( ln x)n

лена с плотностью вероятности f

n

, 0 x 1 .

n!

чайные величины Y1 и Y2 по формулам

Y1 m 2 ln X 2 cos2 X1, Y2 m

2 ln X 2 sin 2 X1 .

Fy

F 2

Ответ: f

Y

( y)

f

2

X

( y F )

y F

8.20. Пусть случайные величины X и Y независимы и одинаково

распределены,

причем P{X 1} p 0, P{X 0} 1 p 0 .

Введем новую случайную величину Z, равную нулю, если

X Y –

четное число,

и единице, если X Y – нечетное число. При каком

значении p случайные величины X и Z независимы?

Ответ: 0,5

8.21. Пусть X – целочисленная неотрицательная случайная вели-

чина, принимающая с вероятностью k

e

значения

k 0, 1, .

k!

другой бросается наудачу X точек. Обозначим

X i число точек, по-

павших на интервал

i 1

;

i

, i 1, 2, ..., n . Доказать, что

X неза-

i

n

n

висимы.

8.22.

Показать,

что

последовательность

двоичных

разрядов

,

2

,...,

n

, числа

X 2 1 ...

n

2 n ...

представляют собой

1

1

1

(ln x m)2

1

Ответ: f

X

(x)

exp

, x 0 ;

2

2

2

x

e 2

M[ X ] e 2 / 2 m , D[ X ] e2m e2 2