Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TeorVer / Лекция 11. Закон распределения и числовые характенистики функций случайных величин

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

308.35 Кб

Скачать

☆

ЧАСТЬ 6

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 11

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих при этом задач; вывести закон распределения функции одного случайного аргумента и закон распределения суммы двух случайных величин; пояснить понятие композиции законов распределения.

Понятие о функции случайной величины

Среди практических приложений теории вероятностей особое место занимают задачи, требующие нахождения законов распределения и/или числовых характеристик функций случайных величин. В простейшем случае задача ставится следующим образом: на вход технического устройства поступает случайное воздействие X ; устройство подвергает воздействие X некоторому функциональному преобразованию и на выходе дает

случайную величину Y ( X ) (см. рис. 6.1). Нам известен закон распре-

деления случайной величины X , и требуется найти закон распределения и/или числовые характеристики случайной величины Y .

Рис. 6.1. Функции случайных величин

Можно выделить три основные возникающие задачи:

1. Зная закон распределения случайной величины X (или

вектора X ( X1, X 2	, , X n ) ), найти	закон распределения
		( X1, X 2 , , X n ) ).
случайной величины Y ( X ) (или Y		( X1, X 2 , , X n ) ).

случайного

выходной

2. Зная закон распределения случайной величины X , найти только числовые характеристики выходной случайной величины.

3. В некоторых случаях (при особых видах преобразования ) для нахождения числовых характеристик выхода не требуется знать закон распреде-

ления входной случайной величины X , а достаточно знать только его числовые характеристики.

Рассматриваем случайную величину Y , зависящую функционально от случайной величины X , т. е. Y ( X ) . Пусть случайная величина

X дискретна и известен ее ряд распределения:

Х:

, x1

… xi

…

где pi P{X

xi }, (i

1,2);

1 .

i 1

При подаче на вход значения случайной величины X xi на выходе

получим Y

(xi ) с вероятностью

pi . И так для всех возможных

значений случайной величины X . Таким образом, получаем табл. 6.1.

Таблица 6.1

(x1)

(x2 )

… (xi )

… (xn )

…

Полученная табл. 6.1 в общем случае может не быть рядом распределения случайной величины Y , так как значения в верхней строке таблицы

могут быть расположены в невозрастающем порядке,	а некоторые (xi )
могут даже совпадать.
Для преобразования табл. 6.1 в ряд распределения случайной величи-
ны Y необходимо упорядочить возможные значения yi	(xi ) по возрас-

танию, а вероятности совпадающих значений (xi ) нужно сложить.

Для нахождения числовых характеристик случайной величины Y преобразовывать (6.1) в ряд распределения нет необходимости, так как их можно вычислить по таблице (6.1). Действительно, находя сумму произ-

ведений возможных значений случайной величины Y на их вероятности, получаем

	n
my M [Y ] M [ ( X )]	(xi ) pi .	(6.1)
	i 1

Таким образом, зная только закон распределения аргумента X , можно найти математическое ожидание функции случайной величины.

Аналогично находим дисперсию случайной величины Y :

2			n
2	2	]	( (x ) m )	2	p .
D M [Y	] M [(Y m )	]	( (x ) m )		p .
Y	Y		i Y i

i 1

Аналогично определяем начальные и центральные моменты любых порядков случайной величины Y ( X ) :

	n								n
s	(Y )	[ (x )]s p ;			s	(Y )			[ (x ) m ]s p .
s			i	i	s				i	Y	i
	i 1							i	1
Для непрерывной случайной величины									X , имеющей плотность рас-
пределения f (x) , получаем
mY M [Y ]			M [ ( X )]				(x) f (x)dx ;
	2	]	( (x) m )				2	f (x)dx ;
D M [Y		]	( (x) m )					f (x)dx ;
Y					Y

s	(Y )	[ (x)]s f (x)dx;	s	(Y )	[ (x) m ]s f (x)dx .
s			s		Y

Видим, что для нахождения числовых характеристик функции ( X )

вовсе не нужно знать ее закон распределения – достаточно знания закона распределения аргумента X .

Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин

В некоторых задачах числовые характеристики системы случайных

величин Y ( X1, X 2 , , X n ) можно определить как функции числовых

характеристик системы случайных величин X ( X1, X 2 , , X n ) . В этом случае не требуется даже знание закона распределения аргумента, например совместную плотность распределения f (x1, x2 , , xn ) , а достаточно

иметь только числовые характеристики этой системы случайных величин. Для решения таких задач сформулированы следующие теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин:

1.	M [C] C ,	3.	M[CX ] CM [ X ] ,
2.	D[C] 0 ,	4.	D[CX ] C 2 D[ X ],
где C – неслучайная величина.
5.	M[X1 X2 ]	M[X1] M[X2 ] для любого числа слагаемых, как неза-
висимых, так и зависимых, коррелированных и некоррелированных.
6.	Математическое ожидание от линейной комбинации случайных вели-

чин X1, X2 , , Xn	равно той же линейной функции от математических
ожиданий рассматриваемых случайных величин:
n		n
M[a0	ai X i ] a0	ai M[ X i ] .
i 1		i 1

7. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме всех элементов кор-

реляционной матрицы		Kij	этих случайных величин
n	n	n
D[	Xi ]		Kij .
i 1	i 1	j 1

Так как корреляционная матрица Kij симметрична относительно глав-

ной диагонали, на которой находятся дисперсии, то последнюю формулу перепишем в виде

n	n
D[ Xi ]		D[ Xi ] 2 Kij .
i 1	i 1	i j

Если случайные величины X1, X2 , , Xn не коррелированы, то справедлива теорема о сложении дисперсий:

n		n
D[	X i ]	D[ X i ] .
i	1	i 1

8. Дисперсия линейной функции случайных величин определяется по формуле

n		n
D[a	a X	]	a2 D[ X		] 2	a a	K	ij	.
0	i i		i	i		i j		ij
i 1		i 1			i	j

100

9. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению математических ожиданий плюс ковариация

M[X1 X2 ] M[X1]M[X2 ] K12 .

Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий

M[X1 X2 ] M[X1]M[X2 ] .

10. Дисперсия произведения независимых случайных величин X1, X2 ,, Xn выражается формулой

n			n		n	n	n
D X		i	(D m2 )		m2	2i	m2
		i	i	i	i	2i	i
i 1			i 1		i 1	i 1	i 1
Если случайные величины				X1, X2 , , Xn		независимые и центрирован-
ные, получаем
n	Xi		n
D	Xi		D[ Xi ] .

i 1			i 1

Закон распределения функции случайного аргумента

Есть непрерывная случайная величина X с плотностью распределения f (x) , связанная со случайной величиной Y функциональной зависимостью Y ( X ) . Требуется найти закон распределения случайной величиной Y .

Рассмотрим случай, когда ( X ) строго монотонна, непрерывна и дифференцируема на интервале (a,b) всех возможных значений случайной величиной X .

Функция распределения G( y) случайной величины Y по определению есть G( y) P{Y y}. Если функция (x) монотонно возрастает на

участке всех возможных значений случайной величиной		X , то событие
{Y y} эквивалентно событию {X	1( y)} , где 1 ( y)	есть функция,

101


обратная функции			(x) . Когда			y
случайная величина X принимает
значения на участке (a,b) , то
случайная точка ( X ,Y ) переме-
щается по кривой			y	(x) (ор-	Y	y
дината	полностью		определяется					x	1 ( y)
абсциссой) (см. рис. 6.2). Из стро-						a		b	x
гой монотонности			(x)	следует
гой монотонности			(x)	следует		x	1 ( y)
монотонность		1 ( y) , и поэтому			Рис. 6.2. Функция случайного аргумента
функцию распределения случайной величиной Y можно записать следую-
щим образом:

			1 ( y )
G( y) P{Y y} P{X	1( y)} P{a X	1( y)}	f (x)dx .
			a

Дифференцируя это выражение по y , входящему в верхний предел интеграла, получаем плотность распределения случайной величиной Y в виде

g( y)		dG( y)		f (	1 ( y))	d	1 ( y)	f ( 1 ( y))( 1 ( y)) .
g( y)			dy	f (	1 ( y))		dy	f ( 1 ( y))( 1 ( y)) .
			dy				dy
								(6.2)
Если функция			(x) на участке (a,b)				возможных значений случай-
ной величиной	X монотонно убывает, то, проведя аналогичные выклад-
ки, получаем
g( y)	f (		1( y))(		1( y)) .			(6.3)

Диапазон возможных значений случайной величиной X может быть в выражениях (6.2) и (6.3) от до .

Так как плотность распределения не может быть отрицательной, то формулы (6.2) и (6.3)можно объединить в одну

g( y) f ( 1 ( y))	( 1 ( y))	.	(6.4)

102

Пример. Пусть функция случайной величины				( X ) является линей-
ной, т.	е. Y aX	b , где a 0 .	Непрерывная случайная величина X
имеет	плотность	распределения	f (x) , и тогда,	используя выражение

(6.4), найдем закон распределения g( y) , учитывая, что обратная функция

есть 1( y)

y b

, а модуль ее производной равен

( 1 ( y))

y b

g( y)

(6.5)

Если случайная величина X имеет нормальное распределение

f (x)

exp

mX )

то согласно (6.5) получаем

g( y)

exp

( y

(am

b))2

exp

X2 a2

Это по-прежнему нормальный закон распределения с математическим

ожиданием m	am	b , дисперсией		D	a2 2	и средним квадратич-
Y	X			Y	X
ным отклонением	Y	a	X .
ным отклонением	Y	a	X .

В результате линейного преобразования нормально распределенной случайной величины X получаем случайную величину Y , также распределенную по нормальному закону.

103

Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения

Имеем систему двух непрерывных случайных величин (X1, X2 ) и их

сумму – случайную величину Y X1	X2 . Необходимо найти закон рас-
пределения случайной величины Y ,	если известна совместная плотность
распределения системы f (x1, x2 ) .
Функция распределения G( y)	P{Y y} P{X1 X2 y} – это

площадь области D( y) на плоскости x10x2 , где выполняется неравенство

X1 X2 y (см. рис. 6.3), т. е.

	y	x1
G( y)	f (x1, x2 )dx1dx2	f (x1, x2 )dx2dx1 .
	D( y)
Продифференцировав это выражение по		y , получаем плотность распре-

D(y)

Рис. 6.3. Закон распределения суммы

случайных величин

деления вероятности случайной величины Y X1 X2

g( y) f (x1, y x1)dx1 .

Учитывая симметрию слагаемых, можно записать аналогичное соотношение

g( y) f ( y x2 , x2 )dx2 .

Если случайные величины X1 и

X 2 независимы, т. е. выполняется равенство f (x1, x2 )		f1(x1) f2 (x2 ) , то
две последние формулы примут вид:
g( y)	f1 (x1 ) f2 ( y x1 )dx1 ;	(6.6)
g( y)	f1 ( y x2 ) f2 (x2 )dx2 .	(6.7)

104

В том случае, когда складываются независимые случайные величины X1 и X 2 , то говорят о композиции законов распределения. Для обозначения композиции законов распределения иногда применяется символьная

запись: g f1 f2 .

Закон распределения называется устойчивым к композиции, если при композиции законов распределения этого типа получается снова тот же закон, но с другими значениями параметров. Например, если сложить две независимые нормальные случайные величины, то результирующая случайная величина будет иметь нормальный закон распределения, т. е. нормальный закон устойчив к композиции. Кроме нормального закона, устойчивыми к композиции являются законы распределения Эрланга, биноминальный, Пуассона.

Соседние файлы в папке TeorVer

#
01.03.2016328.26 Кб497. Двухмерные случайные вуличины.pdf
#
01.03.2016243.29 Кб688. Функции случайной величины.pdf
#
01.03.2016404.84 Кб559. Характеристические функции.pdf
#
01.03.2016189.04 Кб78Лекция 1. Основные понятия теории вероятностей.pdf
#
01.03.2016350.02 Кб52Лекция 10. Числовые характеристики системы двух случайных величин. n-мерный случайный вектор.pdf
#
01.03.2016308.35 Кб53Лекция 11. Закон распределения и числовые характенистики функций случайных величин.pdf
#
01.03.2016243.12 Кб48Лекция 12. Характеристичкская функция.pdf
#
01.03.2016408.13 Кб86Лекция 13. Закон больших чисел и центральная предельная теорема.pdf
#
01.03.2016348.42 Кб203Лекция 14. Основные понятия и задачи математической статистики.pdf
#
01.03.2016265.45 Кб80Лекция 15. Статистическое оценивание параметров распределения.pdf
#
01.03.2016327.45 Кб77Лекция 16. Интервальные оценки параметров распределения.pdf