4сем / Функциональный анализ и интегральные уравнения (4-5 семестр)Курс лекций (ВИ Белько) / Лекция4_5

Из точечной сходимости или сходимости почти всюду не следует равномерная. Тем не менее для измеримых функций точечная сходимость близка к равномерной в следующем смысле:

Теорема 5 (Егоров). Пусть X –

множество конечной меры и последовательность измеримых функций fn(x) почти всюду на X

сходится к функции f(x). Тогда

( X \ X )

ипоследовательность функций fn(x) сходится к функции f(x) равномерно на множестве Xδ.

Упражнение 6. Рассмотрим

последовательность функций fn(x)=xn, заданную на отрезке [0,1].

Для любого δ>0 укажите множество

Xδ и функцию f(x), о которых идет

речь в теореме.

5. Интеграл Лебега

Пусть (X, Σ, μ) – множество, σ-алгебра измеримых подмножеств, конечная σ-аддитивная мера. Если A – измеримое множество и

его характеристическая функция, то интеграл Лебега определяется следующим образом

A (x)d ( A)

X

Далее поэтапно распространим

определение интеграла на более

широкий класс функций так, чтобы

сохранялись основные свойства

интеграла: линейность и непрерывность.

Непрерывность: при равномерной сходимости функциональной последовательности интеграл предела равен пределу интегралов элементов последовательности.

Рассмотрим простые функции, принимающие конечное множество значений. В этом случае

Определим интеграл от функции f так, чтобы сохранялась линейность:

Лемма 1. Пусть последовательность fn(x) простых функций, принимающих конечное множество значений, равномерно сходится к функции f(x). Тогда

lim fn (x)d

n X

и предел не зависит от выбора

последовательности, равномерно

сходящейся к функции f(x).

Доказательство. Проверим, что

числовая последовательность

In fn d

X

является последовательностью

Коши. Действительно:

In Im ( fn fm )d

X

sup fn (x) fm (x) ( X ) 0, m, n

x X

Значит, последовательность In сходится. Если gn – другая

последовательность функций,

равномерно сходящаяся к f, то

( fn gn )d

X

sup fn (x) gn (x) ( X ) 0, n

x X

и предел не зависит от выбора последовательности. ■

Рассмотрим теперь ограниченные

измеримые функции. Если f – такая функция, то по теореме 3 параграфа 4 существует равномерно сходящаяся к f последовательность простых,

принимающих конечное множество

значений, функций fn .

Определение 1. Интегралом Лебега

ограниченной измеримой функции f: X → R, где X – множество

конечной меры μ, называется число

По лемме предел существует и не

зависит от выбора

последовательности fn, поэтому

определение корректно.

Таким образом, доказано (лемма 1)

существование интеграла Лебега

от любой ограниченной измеримой

функции.

Так как предел в определении интеграла не зависит от выбора последовательности fn,

зафиксируем последовательность,

о которой идет речь в теореме 3:

fn(x)=m/n, где m/n<=f(x)< (m+1)/n, m=0, +-1, +-2, …

и назовем интегральной суммой Лебега интеграл от ограниченной

простой функции fn(x)

m m

Sn n {x m / n f (x) (m 1) / n}

m

Определение 2. Интегралом Лебега

ограниченной измеримой функции f называется предел интегральных сумм Лебега.

Упражнение. Сравните

интегральные суммы Лебега и Римана и установите основное отличие.

Интеграл Лебега от произвольной измеримой функции определяется аналогично, но неограниченная функция может оказаться неинтегрируемой.

Определение 3. Простая функция

Требование абсолютной сходимости связано с тем, что интеграл не должен зависеть от порядка нумерации множеств Ak.