35

Теория фильтрации под гидротехническими сооружениями., Том 1,Киев, Изд.АН УССР,1959г.

14.8. Интегрирование ФКП.

Пусть в D задана непрерывная однозначная w=f(z)=u(x;y)+y(x;y). Пусть АВ - произвольная гладка кривая (имеет в каждой точке касательную, непрерывно меняющую свое направление). Выберем на АВ направление от А к

AB

Теорема существования. Если кривая АВ кусочно-гладкая и f(z) кусочно-непрерывная, то ∫f (z)dz существует.

n

+i Lim ∑ (u y +v x). Последние пределы обеспечивают существование

k=1

криволинейного интеграла 2-го рода от соответствующих выражений. А так как справа пределы существуют, то существует и равен ему предел слева.

Комментарий. Доказательство теоремы конструктивно - оно указывает алгоритм вычисления любого интеграла от ФКП.

Следствия.

При смене направления движения по АВ интеграл от ФКП меняет знак. Интеграл от ФКП по суммарному участку кривой равен сумме

интегралов от этой же ФКП по отдельным участкам.

Справедливы свойства линейности, оценка по модулю и теорема о среднем для интеграла от ФКП.

Пример 14.7. Вычислить ∫z * dz , если АВ: y=x от А(0;0) до В(1;1).

35

36

Рассмотрим теперь интеграл от аналитической ФКП. Теорема(интегральная теорема Коши). Если D односвязная на

расширенной комплексной плоскости , l - замкнутая кривая (контур), целиком расположенная в D без самопересечений и f(z) аналитична в D, то ∫f (z)dz = 0.

l

Доказательство. Записав формулу для вычисления интеграла от ФКП по замкнутому контуру, мы видим, что выполняются условия КРЭДА, которые в данной ситуации обеспечивают по формуле Грина равенство нулю КРИ-2 по замкнутому контуру. ЧТД.

Следствия.

С1. Если f(z) аналитична в D с lвумя спрямляемыми (имеющими конечную длину) кривыми, имеющими общее начало и конец, то интегралы от ФКП по этим линиям равны.

Доказательство. Выберем контур, который содержит обе эти линии и проходит через указанные точки. Тогда интеграл по замкнутому контуру равен нулю, что эквивалентно равенству двух интегралов от той же ФКП по разным путям, т.к. эти пути есть составные части контура, пройденными в противоположных направлениях.

С2. В односвязной D c аналитической f(z) первообразной для f(z)

z

будет ∫f (z)dz.

zo

Доказательство. Если f(z) аналитична, то ∫f (z)dz = 0. Выберем путь ,

l

который проходит через указанные точки. Тогда по С1 имеет требуемое. С3. Если f(z) аналитична, то справедлива формула Ньютона-Лейбница.

С4. Если f(z) аналитична в многосвязной D, имеется n контуров lk и L, который включает в себя эти контуры без пересечений и взаимопересечений, то

n

∫f (z)dz = ∑∫f (z)dz.

L k=1 lk

Доказательство.

Рис 14.1. Область с контурами.

36

37

Пусть в области D c границей Г имеется два выреза с границами l1 и l2 . Внутри вырезов f(z) не задана и потому неаналитична. Пусть эти вырезы окружает контур L, не пересекающий границ вырезов и сам себя, гладкий. Проведем два разреза, соединяющие контур L c границами вырезов : АВ и СД. Построим сложный контур с таким расчетом, чтобы внутри его f(z) была аналитична. Это будет линия АВ(верхний берег разреза)-BpC-СД(верхний берег)-ДrqД-ДС(нижний берег)-СnВ-ВА(нижний берег)-AmsA=К. Обход выбран так, чтобы при движении точки области, располагаемые внутри контура К, были от “путешественника” все время слева(так называемое согласованное движение в положительном направлении). Если вычислить интеграл от f(z) по контуру К, то он будет равен нулю, т.к. f(z) аналитична внутри его. Но интегралы по разным берегам разрезов в сумме равны нулю, т.к. пройдены в разных направлениях. Интегралы по малым контурам тоже пройдены в направлении, противоположном движению по L и отрицательном. Получаем

∫f (z)dz - ∫f (z)dz - ∫f (z)dz =0. Откуда и следует ЧТД.

С5. Если D многосвязная и f(z) аналитична в ней за исключением zo , то интегралы по контурам. окружающим zo равны.

Доказательство. Повторим предыдущий рисунок, но вместо вырезов выколем точку zo. Тогда получаем ЧТД.

Комментарий. Интегралы равны между собой, но чему равны пока неизвестно.

Теорема. Интегральная формула Коши. Если D многосвязная и f(z)

Доказательство. Преобразуем интеграл , заменив L окружностью ω(r, zo ) с центром в zo и радиусом r. Попутно преобразуем подынтегральное выражение

нулю, то первое слагаемое даст 0, т.к. f(z) аналитична. Второе слагаемое и даст ответ.

Комментарий. Так как интегрирование идет по контуру, а точка zo - произвольная, в учебниках используют несколько иные переменные в выведенной формуле: контурную переменную обозначают σ , а произвольную точку в области - z . Тогда выведенная формула принимает стандартный вид

37

38

Последняя запись - это новое, интегральное представление аналитической функции через контурный интеграл по контуру, который окружает интересующую нас точку.

Следствие. Всякая аналитическая в D функция f(z) обладает в этой области производной, которая может быть представлена по формуле

которой только знаменатель зависит от z.

С другой стороны получены формулы , существенно упрощающие вычисление интегралов. В данный момент мы имеем две формулы

разработать алгоритм вычисления интегралов:

1-й шаг - для подынтегральной функции выпишите все особые точки; 2-й шаг - постройте контур интегрирования L;

3-й шаг - установите, какие из особых точек расположены внутри контура L при согласованном обходе его;

4-й шаг - если особых точек внутри L несколько, то используйте следствия из интегральной теоремы Коши и запишите сумму интегралов по отдельным контурам, окружающим каждую особую точку;

5-й шаг - в каждом отдельном интеграле по контуру окружаемую выбранную особую точку представьте подынтегральное выражение в виде дроби, числитель которой - аналитическая в этой точке функция; остальное запишите в знаменатель;

6-й шаг - примените к преобразованному интегралу одну из формул Коши; начинайте с установления показателя n+1 в знаменателе подинтегральной функции и вычислите интеграл;

7-й шаг - повторите п.п. 5 и 6 для каждого интеграла по контуру, окружающему одну особую точку; после этого просуммируйте результаты.

38

39

Рис 14.2. К решению Примера 14.8.(особые точки - о)

Решение. Изобразим контур L (окружность с центром (2;0) и радиусом 3) и найдем особые точки подынтегральной функции: z1=0 и z2=3. Обе точки располагаются внутри контура (по умолчанию предполагается, что контур обходят в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, и тогда все расположенное слева при движении считается расположенным внутри контура). Придется использовать следствие и окружать особые точки каждую

Это значит, что следует применить формулу (14.3) при n=1 (т.е. найти первую

производную от выражения ez/(z-3) ).

39