6
Необходимость. Интеграл ∫P(x; y)dx +Q(x; y)dy не зависит от пути
L
интегрирования. Это значит, что интеграл с тем же подынтегральным выражением, взятый по замкнутому контуру , равен нулю. Поэтому в формуле
Грина имеем ∫∫( |
дO |
− |
дP |
)dσ =0. Если предположить что условие |
дP |
= |
дO |
не |
дx |
|
дy |
дx |
|||||
D |
|
дy |
|
|
||||
выполнено, то получается , что и 
∫P(x; y)dx +Q(x; y)dy не равен нулю. Но это
L
противоречит условию независимости. Поэтому следует ддPy = ддOx .
Достаточность. Пусть ддPy = ддOx . Тогда из формулы Грина имеем
∫P(x; y)dx +Q(x; y)dy =0. А это значит, что ∫P(x; y)dx +Q(x; y)dy не зависит от пути
L L
интегрирования.
13.3. Формула Остроградского-Гаусса.
Теорема. Если функции P(x;y;z), Q(x;y;z) и R(x;y;z) непрерывны вместе со своими частными производными в односвязной области V с границей двусторонней замкнутой поверхностью S , то справедливо соотношение
→ |
→ |
|
дP |
|
дQ |
|
дR |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫∫F ds = ∫∫∫ |
|
+ |
|
+ |
|
dv . |
(17.2) |
||
|
дy |
|
|||||||
S |
V |
дx |
|
|
дz |
|
|||
Комментарий. Приведенное соотношение устанавливает обобщенную связь между поверхностным интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, заключенному внутри этой поверхности.
Выражение (подынтегральная функция) под знаком тройного интеграла
дP |
|
дQ |
|
дR |
→ |
|
+ |
+ |
=div F носит название дивергенция векторного поля. |
||||
дx |
дy |
дz |
Формула носит название формулы Остроградского-Гаусса и выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали с тройным интегралом от дивергенции этого поля. Ниже будет уточнено, что именно выражает такой тройной интеграл.
Доказательство проведем только для одного слагаемого в правой части. Пусть S однозначно проектируется на плоскость yOz. Пусть мы вычисляем
∫∫∫ |
дP |
dv = ∫∫dydzx2 |
(∫y;z ) дP dx . Это соответствует случаю, когда мы спроектировали |
|||
дx |
||||||
V |
D |
yz |
x |
( y; z) дx |
||
|
|
|
1 |
|
||
объем V на плоскость yOz и там проекцией стала область Dyz. Но при
вычислении ∫∫dydzx2 |
(∫y;z) |
дP |
dx мы получаем |
∫∫(P(x2 ( y; z), y, z) − P(x1 ( y; z), y, z)dydz , |
|||
|
|||||||
D |
yz |
x |
( y;z) дx |
D |
yz |
||
|
1 |
|
|
|
|
||
который фактически есть поверхностный интеграл ПОВ-2 по замкнутой поверхности S, взятый (от первого слагаемого) по разным частям ее (нижней x1(y,z) и верхней x2(y,z)) в направлении внешней нормали после проектирования ее на плоскость yOz. Если теперь провести аналогичные
6
7
рассуждения для остальных слагаемых правой части формулы ОстроградскогоГаусса и результаты просуммировать , то получим требуемое.
→
Выясним физический смысл div F . Для этого в правой части (17.2) запишем теорему о среднем для тройного интеграла. Получим в правой части
→
div F (С) V , где С – точка внутри V. Тогда из новой формулы (17.2. ) получаем
→ → |
→ |
|
→ |
→ → |
|
|
∫∫F ds = div |
F (С) |
V . Отсюда div F (С) =( ∫∫F ds )/V |
– что, естественно |
|||
S |
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
истолковать |
как |
плотность |
источников |
(стоков) |
поля |
F внутри |
объемаV(поверхности S). Если теперь поверхность стягивать в точку, то |
||||||
→ |
|
|
|
|
|
→ |
div F можно истолковать как плотность источников (стоков) поля F в данной |
||||||
точке. |
|
|
|
|
|
|
(x, y, z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
Отсюда |
делам |
вывод : |
div F - это |
характеристика |
наличия или |
|
отсутствия источников(стоков) векторного поля внутри некоторой поверхности. Если таковых там нет , то div =0 во всех точках внутри S; если там
|
→ |
→ |
есть источники , то div F >0; если там есть стоки, то div |
F <0. |
|
|
13.4. Формула Стокса. |
|
|
→ |
|
Определение. ∫F dl = ∫P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz принято называть |
||
L |
L |
|
циркуляцией векторного поля вдоль контура L.
Теорема. Если S двусторонняя ориентированная с границей L и
→ |
→ |
→ |
→ |
компоненты (координаты) поля F = |
P(x;y;z) i + Q(x;y;z) |
j +R(x;y;z) |
k - |
функции P(x;y;z), Q(x;y;z),R(x;y;z) непрерывны вместе со своими частными производными в области V, содержащей поверхность S с ее границей L, то
→ |
→ → |
|
справедливо соотношение ∫F dl = ∫∫Bds. |
(17.3) |
|
LS
В(17.3) слева – циркуляция векторного поля; справа поток векторного
→
поля В через поверхность S с границей L в направлении внешней нормали. Поэтому (17.3) можно рассматривать как обобщенную связь между КРИ-2 и
→
ПОВ-2. С другой стороны можно читать так : циркуляция поля F по контуру
→
L, равна потоку поля В через поверхность, натянутую на этот контур, в направлении внешней нормали к поверхности.
→
Вектор В вычисляют по символической формуле
7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
j |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
д |
|
|
|
д |
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
или |
фактической |
||
|
|
|
дx |
|
|
|
дy |
|
|
дz |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
P(x, y, z) Q(x, y, z) |
R(x, y, z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
дR |
|
|
дQ |
→ |
дR |
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
( |
− |
) i +( |
дP |
− |
) j +( |
дQ |
− |
дP |
) k |
, |
называют |
ротация(ротор) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
дy |
дz |
дz |
дx |
дx |
дy |
||||||||||||||||||
|
→ |
векторного поля F и обозначают |
|
Доказательство. |
Выпишем одно |
(17.3) ∫P(x, y, z)dx и |
вычислим его |
L
→
rot F .
слагаемое для интеграла в левой части в предположении, что S однозначно
проектируется на ХОУ. Пусть Lxy - проекция L на хОу. Тогда 
∫P(x, y, z)dx = 
∫P(x, y, z(x, y))dx . К последнему применим формулу Грина (17.1),
|
L |
|
|
|
|
|
|
Lxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫P(x, y, z)dx = ∫P(x, y, z(x, y))dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||
положив в ней Р=P(x,y,z(x,y)) |
|
и Q=0. |
Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
дP |
|
|
|
|
|
|
дP(x, y, z(x, y)) |
|
|
дP |
|
дP дz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lxy |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= − ∫∫ |
dxdy . Но |
= |
+ |
как от сложной функции. Вычислим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дz дy |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
S xy |
дy |
|
|
|
|
дy |
|
|
|
|
|
дy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
дz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дz |
|
→ |
|
дz |
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
используя понятие градиента. gradz= |
|
i + |
|
j |
- k , если записать z=z(x,y) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
дy |
дx |
дy |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дz |
|
|
|||||
как |
|
z(x,y)-z=0. Если gradz |
умножить |
на |
j |
получим |
j |
|
|
gradz= |
|
или |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
дy |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
дz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
gradz |
|
Cos β .Если |
же |
умножим |
на |
k , |
|
то получим |
–1= |
|
gradz |
|
Cos γ . |
Из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
дy |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
последних двух выражений получаем окончательно |
дz |
= |
− |
|
Cosβ |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дy |
|
|
|
Cos γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теперь |
получаем |
|
|
|
|
|
|
дP(x, y, z(x, y)) |
= |
дP |
+ |
|
дP |
( |
− |
Cosβ |
|
). |
|
|
|
|
После |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дy |
|
|
|
Cos γ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
чего∫P(x, y, z)dx = − ∫∫( |
дP |
− |
дP |
|
Cos β |
)dxdy = − |
∫∫( |
дP |
Cos γ − |
дP |
Cos β ) |
|
|
dxdy |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
S xy |
дy |
дz Cos γ |
|
|
|
|
|
S xy |
дy |
|
|
|
|
|
|
|
|
дz |
|
|
|
|
|
Cos γ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= − ∫∫ |
( |
дP |
Cos γ − |
дP |
Cos β )d σ . Но последнее есть представление в виде двойного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
S xy |
|
дy |
|
дz |
|
дP(x, y, z) |
|
|
|
|
|
|
дP(x, y, z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
интеграла |
вида − ∫∫( |
Cos γ − |
Cos β )ds , |
|
|
в |
котором |
z=z(x,y). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
дy |
|
|
|
|
|
|
|
дz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Аналогично для остальных слагаемых. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Физический смысл rot F можно внести, если записать (17.3) в правой его |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
части теорему о среднем. Получим ∫∫rot F ds = |
rot F (С)S. Откуда получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
rot F |
(С)= ( ∫F dl )/S – плотность (степень, уровень) завихрения(закрутки) поля |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L
8
|
9 |
→ |
→ |
F в площадке S. |
Если контур стянуть в точку, то rot F будет характеризовать |
плотность закрутки поля в точке.
13.4.1. Уравнение неразрывности сплошной среды.
Решим одну из задач с приложением полученных формул. Пусть имеется зафиксированная по форме и объему область V , ограниченная поверхностью S, двусторонней гладкой проницаемой. Тогда можно подсчитать массу среды в
данном объеме в любой момент времени t m= ∫∫∫ρ (x, y, z,t)dv .Если плотность
V
меняется со временем, то меняется и масса внутри поверхности при отсутствии внутри поверхности источников и стоков этой массы. Изменение этой массы
можно подсчитать как |
dm |
= ∫∫∫ |
дρ (x, y, z,t) |
dv , т.к. объем не меняется, то |
|
dt |
дt |
||||
|
V |
|
производная от интеграла равна интегралу от производной подынтегрального выражения. С другой стороны, отток или приток массы определяется потоком
|
|
|
|
→ |
→ |
массы через поверхность S , который равен dmdt = − ∫∫ρ vn ds - потоку массы, |
|||||
|
|
→ |
|
|
|
вытекающей |
со скоростью |
v из |
поверхности S в |
направлении внешней |
|
→ |
|
|
|
|
|
нормали n |
к поверхности. |
Знак |
минус указывает, |
что |
при потере массы |
количество ее уменьшается и скорость ее изменения отрицательна, а в случае притока массы скорость ее втекания направлена противоположно нормали к внешней поверхности.
|
∫∫∫ |
дρ (x, y, z,t) |
→ → |
|
|
|
Получаем |
dv = − ∫∫ρ vn ds |
интегральный |
закон |
|||
дt |
||||||
|
V |
|
|
|
неразрывности сплошной среды. Применим к правой части формулу (17.2) и
получим
→
= − div ρ vn
∫∫∫ |
дρ (x, y, z,t) |
→ |
дρ (x, y, z,t) |
|
|
dv = − ∫∫∫div ρ vn dV . Откуда получаем |
= |
||||
дt |
дt |
||||
V |
V |
|
- дифференциальный закон неразрывности сплошной среды. Если
плотность не меняется во времени (среда несжимаема), то получаем уравнение
→
в виде div ρ vn = 0 . Для одномерного распределения плотности получаем
→
ρ vn = 0 , известное в физике как закон Паскаля : чем больше скорость течения , тем ниже давление(плотность) в потоке и наоборот.
13.5. Оператор Гамильтона.
|
д |
→ |
→ |
д |
→ |
|
Символический оператор |
i + |
д |
j + |
k , который объединяет два |
||
дx |
дy |
дz |
||||
понятия вектор (как форма представления) и дифференцирования , называют оператором Гамильтона и обозначают символом (читается набла).
9