10

Уже известные нам дифференциальные характеристики полей grad U,

При работе с оператором следует учитывать его двойную природу.

→ → → →

Пример применения оператора . Найдем (фF )= F ф + ф F = = F grad ф

→

+ ф div F .

Рассматривают и операции второго порядка с оператором Гамильтона.

13.6. Специальные поля.

Поле U(x;y;z) называют гармоническим , если оно удовлетворяет

д2U д2U д2U

уравнению Лапласа U=0 ( U=0; дx2 + дy2 + дz 2 =0).

Такими полями будут поля, образованные действительной и мнимой частями аналитической функции (см. раздел 14).

→

Поле F называют потенциальным, если оно является градиентом

→

некоторого скалярного поля. Т.е. F =gradU. U называют потенциалом поля

-zo). U=mgz - известная потенциальная энергия – потенциал силы тяжести. Из определения следует, что :

такое поле задано одной характеристикой – потенциалом – скалярной функцией

U(x,y,z);

оно с точностью до постоянного слагаемого определяет потенциал U.

→

Теорема. Для того, чтобы F было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым.

10

11

можно было стянуть в точку, не переходя границу Г). Пусть в D имеется замкнутый контур L и опирающаяся на него (натянутая на контур) поверхность S двусторонняя. В таком случае справедлива теорема Стокса (17.3)

начальной и конечной точек. С другой стороны, F dl =Pdx+Qdy+Rdz внешне

похож на полный дифференциал некоторой U(x,y,z). Оказывается , не просто

плоского поля. Путь интегрирования при этом – ломаная со звеньями, параллельными осям координат.(см. КРИ-2 не зависящий от пути интегрирования .Раздел 12)

11

12

Определение. Вихревой шнур – отдельная граничная линия поля , которая не оканчивается в этом поле.

Если такой шнур расположен в потенциальном поле, то поле становится

→

неодносвязным, т.е. rot F не равен нулю. Проведем около шнура два

→

замкнутых контура и соединим их “разрезом” AB. Тогда циркуляция ∫F dl по

L

этому общему контуру равна нулю. А поскольку контуры обходят в разных направлениях, то циркуляция по ним одна и та же, т.к. по разрезу циркуляция

→

равна нулю. Получаем ,что ∫F dl является характеристикой шнура –

L

интенсивностью (мощностью) вихревого шнура. Примером может служить провод в магнитном поле.

Рис 13.2. К понятию вихревого шнура.

→

Определение. Векторное поле F называют соленоидальным, если

→

div F =0. Термин соленоидальный означает трубчатый.

Пусть задана векторная трубка – поверхность, ограниченная векторными

→

линиями поля F и двумя сечениями S1 и S2 . Внутри трубки некоторая область

всю поверхность равен нулю.

12

13

Остаются равные по величине и разные по знаку потоки через торцевые сечения трубки. Поток через сечение называют интенсивностью векторной трубки.

как определитель с двумя равными рядами.

14.Теория функций комплексного переменного.

14.1. Комплексное число и его интерпретация.

Определение. Комплексным числом называют выражение(агрегат, комбинацию, комплекс) z=x+iy , где i2=-1 - мнимая единица, х,у R, х=Rez называют действительная часть , y=Imz - мнимая (воображаемая) часть комплексного числа.

Комментарии. Сразу видно , что z - некоторая “фикция” - несуществующая величина с точки зрения реальности. Однако введение этой величины позволяет находить выходы в реальных ситуациях и решать вопросы, нерешаемые без использования этого понятия.

Следует быть аккуратным при “переводе” с русского на русский понятия мнимой единицы i. Не следует говорить (а использовать можно) , что

“i = −1 ”.

При всей своей мнимости комплексному числу можно придать различные реальные (действительные) истолкования. Так как z задано двумя действительными числами x и y , то в соответствие комплексному числу можно поставить действительную точку на плоскости с введенной декартовой

13