Тогда вместо (18.2) получим его конечно-разностный аналог для каждого

16.6. Метод характеристик.

Пусть нас интересует поведение точек бесконечной струны при свободном ее колебании(движении). Тогда нам предстоит решить задачу

Договоримся считать переменную х по порядку первым переменным, а t – вторым. Для нашего случая имеем а11= а2, a12=0, a22=-1. Характеристическое уравнение принимает вид а2 dt2- dx2=0. Откуда получаем два уравнения аdt-dx=0 и аdt+dx=0. После интегрирования получаем два семейства решений x=at+C1 и x=-at+C2 или x-at=C1 и x+at=C2. Получены уравнения линий,

называемых характеристиками. Если теперь сделать замену переменных в (16.5) по формулам x-at=s , x+at=p, то тип уравнения не изменится, но оно

Даламбера для колебания струны. Подразумевается, что Q(x-at), G(x+at) – дважды дифференцируемы.

Если теперь использовать начальное условие, то получаем

f(x)= Q(x)+G(x) (для первого условия) и для второго ф(х)=-а Q’(x)+aG’(x)=

=-а(Q’(x)-G’(x)). Или в другом виде∫х ф(х)dx =-а(Q(x)-Q(0)-G(x)+G(0)), в котором

0

G(0)-Q(0)=C. Или -аQ(x)+аG(x)= ∫х ф(х)dx +аС, Q(x)+G(x)= f(x).

0

61

62

Умножим на второе равенство на а и сложим с первым, а затем умножим на –а

и снова сложим. Получим 2аG(x)=а f(x)+ ∫х ф(х)dx +аС и похожее

образом мы нашли Q(x),G(x). Но нaм нужны Q(x-at),G(x+at).

Проведем такие рассуждения. (По Арсенину). Q(x-at),G(x+at) – есть решения нашей задачи. Рассмотрим сначала Q(x-at). Пусть в момент t=0 из точки хо вышел наблюдатель и пошел вдоль оси Ох вправо. Тогда к моменту времени t он окажется в точке х1 = хо+at. При этом, если в момент t=0 отклонение точки струны от положения равновесия было Q(хо), то в момент t отклонение будет уже Q(х1-at) или , что то же самое Q(хо), т.е равно первоначальному отклонению. Иначе говоря, если в начальный момент времени профиль струны имел определенную форму, то наблюдатель видит эту

форму неизменной на протяжении всего пути. Говорят так : вдоль бесконечной струны бежит волна возмущения.

По аналогии G(x+at) дает обратную волну возмущения, которая бежит навстречу наблюдателю со скоростью –а. Общее решение есть суперпозиция (наложение) этих волн. Внимание! Это не обязательно стоячая волна.

Исхлдя их таких рассуждений получаем

16.6. Метод разделения переменных.

Реализацию метода рассмотрим в применении к решению задачи о распространении тепла в одномерном однородном ограниченном стержне, теплоизолированном по боковой поверхности. Математическая модель такой задачи имеет вид

62

63

стержня; (16.10) говорит о том, что стержень теплоизолирован и на его концах поддерживается постоянная нулевая температура .

Найдем сначала нетривиальные частные решения u1(x,t), u2(x,t), u3(x,t),…, un(x,t) для уравнения (16.8). Причем выбирать будем только такие, которые могут быть представлены произведением функций, каждая от которых зависит только от одного переменного ui(x,t)=X(x)T(t). (16.11)

Потребуем. Чтобы каждое из таких решений удовлетворяло начальному условию (18.9).

Ввиду того, что ДУ – линейное, его решения подчиняются принципу

∞

суперпозиции. Это означает, что ∑Сi ui (x,t) также будет решением (16.8).

i=1

Потребуем, чтобы записанный функциональный ряд сходился к некоторой u(x,t). Коэффициенты ряда подбираем так, чтобы функция u(x,t) удовлетворяла начальным и краевым условиям.

Выбранном нами решении получаем ut=XTt , uх=XхT , uхх=XххT. Уравнение (16.8) принимает вид XTt=а2XххT. Из этого соотношения получаем

TTt = а2 XXxx . Т.к. обе функции Х и Т зависят только от одного переменного, но

отношения равны при любых фиксированных значениях аргументов, то отсюда следует, что каждое отношение есть постоянная величина. Поучаем

TTt = а2 XXxx = λ . Откуда получаем Tt -а2 λ Т=0 и Xхх- λ Х=0.

Т.к. u(0,t)=0, то получаем Х(0)=0, т.к. u(l,t)=0, то получаем X(l)=0. Это означает, что для уравнения Xхх- λ Х=0 нужно решить краевую задачу

получаем С1=С2=0, что насне устраивает. Причина в том, что если в начальный момент была задана ненулевая температура в точках стержня, то и в дальнейшем какой-то процесс в стержне идет, а значит он не нуль. Значит u ≠0.

принимает вид Х=С1Сos μ x+ С2Sin μ x. Используя краевые условия находим константы С1 и С

63

случае имеем ненулевое решение Х(х). Возьмем в качестве решения линейной системы С1=0 и С2=1. Получаем одно из частных решений краевой задачи

Хn(x)=Sin nlπ x. Т.о. каждая из функций Хn(x)=Sin nlπ x при n=1,2,3… является частным решением краевой задачи (16.12), (16.13). Теперь при заданной λ =-

плоскости) а гармоники по модулю не превышают 1 и ряд мажорируется и потому равномерно сходится при произвольных коэффициентах Cn, а потому его можно почленно интегрировать и дифференцировать.

Подберем Cn так, чтобы решение u(x,t) , записанное в виде (16.14) , удовлетворяло начальным условиям при t=0.

по вышеприведенным формулам.

Комментарий. Иное название этого метода – метод Фурье.

64