Решение типовых примеров
П р и м е р ы. Найти частные производные 1-го порядка заданных функций..
1.
.
.
.
2.
.
;
.
Задачи 141–160. Исследовать на экстремум заданные функции.
141.
.
142.
.
143.
.
144.
.
145.
.
146.
.
147.
.
148.
.
149.
.
150.
.
151.
.
152.
.
153.
.
154.
.
155.
.
156.
.
157.
.
158.
.
159.
.
160.
.
Решение типового примера
Найти
экстремум функции
,
если
.
Р е ш е н и е.
1.
Областью определения функции являются
все точки координатной плоскости
.
2. Находим частные производные первого порядка:
;
.
Приравняем частные производные к нулю, решив полученную систему, получим критическую точку
Точка
–
стационарная, подозрительная на
экстремум.
3. Находим частные производные второго порядка:
;
;
;
.
Таким образом получаем
;
;
.
Составим
выражение
.
Так
как
следовательно точка
не является точкой экстремума.
Тема 6. Неопределенный интеграл
Для решения задач по этой теме нужно обратить внимание на определения первообразной и неопределенного интеграла, свойства неопределенного интеграла, усвоить таблицу основных интегралов и основные методы интегрирования. Успех в решении задач достигается правильным выбором метода интегрирования и накопленным опытом вычисления интегралов. Особое внимание уделить методам подстановки и интегрирования по частям. При вычислении интегралов от рациональных дробей нужно усвоить методику разложения рациональных дробей на простейшие дроби и их интегрирование.
Вопросы для изучения и самопроверки
1. Понятие первообразной.
2. Неопределенный интеграл и его свойства.
3. Таблица интегралов.
4. Основные методы интегрирования.
5. Рациональные дроби, разложение на простейшие дроби.
6. Интегрирование простейших дробей.
7. Интегрирование рациональных дробей.
Задачи 161–180. Найти неопределенные интегралы и результаты проверить дифференцированием.
161.
а)
б)
;
в)
.
162.
а)
;
б)
;
в)
.
163.
а)
б)
в)
164.
а)
б)
в)
165.
а)
б)
в)
166.
а)
б)
в)
167.
а)
б)
в)
168.
а)
б)
в)
169.
а)
б)
в)
170.
а)
б)
в)
171.
а)
б)
в)
172.
а)
б)
в)
173.
а)
б)
в)
174.
а)
б)
в)
175.
а)
б)
в)
176.
а)
б)
в)
.
177.
а)
б)
в)
178.
а)
б)
в)
179.
а)
б)
в)
180.
а)
б)
в)
Решение типовых примеров
При решении примеров рекомендуется использовать свойства неопределенного интеграла, таблицу интегралов, применять методы замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Основная таблица интегралов
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
П р и м е р ы. Найти неопределенные интегралы и результаты проверить дифференцированием.
=
=
=
При
решении примера использовались свойства
степени:
2.
=
При решении примера применялся метод замены переменной.
.
3.
=
При решении примера применялся метод интегрирования по частям.
Тема 7. Определенный интеграл и его применение для вычисления площадей плоских фигур
Изучение темы следует начинать с задач, приводящих к понятию определенного интеграла. Усвоить определение и свойства определенного интеграла, формулу Ньютона–Лейбница и ее применение. Изучить методы вычисления определенного интеграла и их специфику по сравнению с аналогичными методами в неопределенном интеграле, обратить внимание на применение определенного интеграла в геометрии и при решении конкретных практических задач.