Решение типового примера

Пусть координаты точек : А(-3;4;-3); В(-2;2;1); С(8;6;7); D(5;8;5).

1.Произвольный вектор может быть разложен по базисуследующим образом:_, где– проекции векторана координатные оси ОХ,ОУ,ОZ, a –единичные векторы, направления которых совпадают с направлением осей ОХ,ОУ,ОZ.

Проекции вектора на оси находим следующим образом: из координат конца вектора вычитаем координаты начала вектора. Следовательно, координаты вектора (–2+3; 2–4; –1+3);(1;–2;2), 2(2;–4;4). Координаты вектора(–3–8; 4–6; –3–7);

(–11;–2;–10); 3(–33;–6;–30); 2+3(2–33;–4–6;4–30);

2+3(–31;–10;–26); 2+3=–31–10–26.

2. Модуль вектора вычисляется по формуле: .

(1;–2;2); (11;2;10);(8:4;8). Тогда=3;=15;=12.

3. Проекция вектора (2–) на векторравна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора.(10;4;8); 2(20;8;16); 2–(19;10;14);

=.

4. Для того, чтобы найти косинус угла между векторами, нужно скалярное произведение этих векторов поделить на произведение их модулей.

Угол А – это угол между векторами и.

.

5. Условие коллинеарности векторов: соответствующие координаты должны быть пропорциональны.

2+3(–31;–10;–26); 2(19;10;14);

.

Значит данные векторы не коллинеарны.

Условие перпендикулярности двух векторов: их скалярное произведение должно быть равно нулю.

=31∙ 19-10∙ 10-26 ∙14≠0, следовательно, данные векторы не перпендикулярны.

Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве

Задача 21–40. Даны координаты вершин треугольника АВС.

Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) угол В (в радианах с точностью до двух знаков);

4) уравнение высоты СD и ее длину;

5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой СD;

6) уравнение прямой, проходящей через точку К, параллельно стороне АВ.

21. А(-7;4); В(5;-5); С(3;9).	22. А(0;3); В(12;-6); С(10;8).
23.А(-5;9); В(7;0); С(5;14).	24.А(4;1); В(16;-8); С(14;6).
25.А(-3;10); В(9;1); С(7;15).	26.А(-4;12); В(8;3); С(6;17).
27.А(-6;8); В(6;-1); С(4;13).	28.А(3;6); В(15;-3); С(13;11).
29.А(-10;5); В(2;-4); С(0;10).	30.А(-2;7); В(10;-2); С(8;12).
31.А(-1;4); В(11;-5); С(15;17).	32.А(2;5); В(14;-4); С(18;18).
33.А(-4;10); В(8;1); С(12;23).	34.А(1;0); В(13;-9); С(17;13).
35.А(-9;6); В(3;-3); С(7;19).	36.А(0;2); В(12;-7); С(16;15).
37.А(- 8;-3); В (4;-12);С(8;10).	38.А(-5; 7);В (7; -2); С(11; 20).
39.А(-12;-1);В(0;-10); С(4;12).	40.А (-10; 9); В (2; 0);С (6; 22).

Решение типового примера

А(0; 1), В(6; 4), С(3; 5) – координаты вершин треугольника АВС.

1. Длину стороны АВ найдем как расстояние между точками ;

.

2. Уравнение прямой, проходящей через точки и, найдем по формуле;

АВ: ;;;;–уравнение АВ..

ВС:; ; ; ; – уравнение ВС . .

3.Тангенс угла α между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны K₁ и K₂, вычисляется по формуле .

Искомый угол В образован прямыми АВ и АС:;;

,

, или рад.

4. Высота , следовательно ее угловой коэффициент найдем из условия перпендикулярности двух прямых:

.

Тогда уравнение СD будет иметь следующий вид:

; .

Длину высоты СD найдем как расстояние от точки С до прямой АВ, используя формулу расстояния от точки до прямой;. Уравнение АВ:; С(3;5); тогда.

5. Точка Е является серединой отрезка ВС:

; .E(4,5;4,5).

AE: ;

–уравнение АЕ.

Для того, чтобы найти точку K пересечения медианы АЕ и высоты СД решим систему уравнений:

x=3,6 y=3,8. Точка K(3,6;3,8).

6.Прямая, параллельная АВ, будет иметь угловой коэффициент, равный угловому коэффициенту АВ: . Тогда уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно АВ, будет иметь такой вид:

или .

Задачи 41–60. Даны координаты точек А, В и С.

Требу­ется:

1) составить канонические уравнения прямой АВ;

2) соста­вить уравнение плоскости Р, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ;

3) найти точку пересечения этой плоскости с пря­мой АВ;

4) найти расстояние от точки В до плоскости Р.

61. А(3;-1; 5);	В(7; 1; 1);	С(4;-2; 1).
62. А(-1; 2; 3);	В(3; 4; -1);	С(0; 1; -1).
63. А (2; -3; 7);	В(6; -1; 3);	С(3; -4; 3).
64. А(0; -2; 6);	В(4; 0; 2);	С(1;-3; 2).
65. А(-3; 1; 2);	В(1; 3; -2);	С(-2; 0; -2).
66. А(-2; 3; 1);	В(2; 5; -3);	С(-1; 2; -3).
67. А(-4; 0; 8);	В(0; 2; 4);	С(-3; -1; 4).
68. А(1- 4; 0);	В(5; 6; -4);	С(2; 3; -4)
69. А(4; -4; 9);	В(8;-2; 5);	С(5; -5; 5).
70. А(5; 5; 4);	В(9; 7; 0);	С(6; 4; 0).
71. А(-3; -2; -4);	В(-4; 2; -7);	С(5; 0; 3).
72. А(2; -2; 1);	В (-3; 0; -5);	С(0; -2; -1).
73. А (5; 4; 1);	В(-1; -2; -2);	С(3; -2; 2).
74. А(3; 6; -2);	В(0; 2; -3);	С(1; -2; 0).
75. А(1; -4; 1);	В(4; 4; 0);	С(-1; 2; -4).
76. А (4; 6; -1);	В(7; 2; 4);	С(-2; 0; -4).
77. А(0; 6; -5);	В(8; 2; 5);	С(2; 6; —3).
78. А(-2; 4; -6);	В(0; -6; 1);	С (4; 2; 1).
79. А(-4;-2;-5);	В(1; 8;-5);	С (0; 4;- 4).
80. А(3; 4;-1);	В(2;-4; 2);	С(5; 6; 0).