Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Konspekt_lektsy_zm_1_2_3977714072-716176886

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
1.39 Mб
Скачать

Таким чином, скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного з них на проекцію другого на напрямок першого.

Властивості скалярного добутку:

1) комутативність (a,b)= (b,a):

(a,b)= a b cos(a,b), а (b,a)= b a cos(b,a).

Так як a b = b a як добуток чисел і cos(a,b)= cos(b,a). 2) асоціативність відносно множника на число (λa) b = λ(a,b) :

(λa) b = b Прbλa = λ b Прb a = λ(a,b) .

3) операції додавання і скалярного множення векторів зв’язані дистрибутивним законом множення відносно додавання (розподільча властивість):

a(b + c) = ab + ac .

a(b + c) = a Прa (b + c) = a (Прa b + Прa c) = a Прa b + a Прa c =

= ab + ac .

4) скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини:

a

2 = a a =

 

a

 

 

 

a

 

cos0 =

 

a

 

 

 

a

 

=

 

a

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

звідси i 2 = j2 = k2 = 1.

5) a b = 0, якщо a = 0, або b = 0, або a b .

Звідси i j = jk = k i = 0.

Ураховуючи властивості 4) і 5), якщо a = ax i + ay j + az k та b = bx i + by j + bz k , то ab = axbx + ayby + azbz .

81

Косинус кута між векторами a і b обчислюється за формулою:

cosϕ =

a,b

=

 

axbx + ayby + azbz

.

 

 

 

 

a b

 

ax2

+ ay2 + az2 bx2 + by2

+ bz2

Звідси умова перпендикулярності векторів a і b:

ab axbx + ayby + azbz = 0.

Зфізичної точки зору скалярний добуток постійної сили F та путі S є

робота A = F S cos(F S).

Приклад. Обчислити (5a + 3b) (a b) , якщо a = 2 , b = 2 , a b.

Розв’язання. (5a + 3b) (a b) = 5a2 5a b + 3b a 3b2 =

= 5a2 3b2 = 20 12 = 8.

Приклад. Знайти одиничний вектор, того ж напряму, що й вектор

a = i 2 j + 2k .

Розв’язання. Знайдемо модуль вектора a :

 

 

 

=

 

= 3. Тоді a0 =

 

 

a

 

 

 

1

i

2

 

2

k .

 

=

12 + (2)2 + 22

 

 

=

j +

a

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

3

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перевіримо a0 = 19 + 94 + 94 = 99 =1.

Векторний добуток векторів. Векторним добутком двох векторів a і b, який позначають [a,b] або a × b, є вектор c (рис. 24), що визначається такими трьома умовами:

82

c

b

ϕ

a

Рис. 24

1)вектор c перпендикулярний як до a так і до b, тобто c a і c b;

2)довжина вектора c чисельно дорівнює площі паралелограма,

побудованого на векторах a і b:c = a b sin(a,b) ;

3) вектори a , b і c , що не належать одній площині (не колінеарні), утворюють праву тройку; тобто, якщо дивитись з кінця вектора c

найкоротший поворот від вектора a до вектора b здійснюється проти руху годинникової стрілки і ліву – якщо за рухом годинникової стрілки.

Властивості векторного добутку:

1)зміна місця множників дає протилежний вектор a × b = −b × a;

2)вектори a × b і b × a колінеарні, мають одинакові модулі (площа паралелограма таж сама), але протилежно спрямовані (трійки векторів a , b,

a ×b і a , b, b× a протилежно орієнтовані). Отже a × b = −b× a ;

3) асоціативність відносно скалярного множника: λ(a × b) = (λa) × b = a × (λb) .

Нехай λ > 0 , вектор λ( a× b ) перпендикулярний до векторів a і b, вектор ( λa )×b також перпендикулярний до векторів a і b (вектори a і λa

належать одній площині). Отже вектори λ( a × b ) і ( λa )×b колінеарні і напрямки їх співпадають. Вони мають однакову довжину:

83

λ(a × b) = λ a × b = λ a b sin(a,b) і

(λa) × b = λa × b sin(λa,b) = λ a b sin(a,b).

Звідси λ(a × b) = λa × b. Доведення при λ < 0 аналогічне;

3) два ненульових вектори a і b

колінеарні тоді й тільки тоді, коли їх

векторний добуток дорівнює нулю a ||b a × b = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дорівнює 0° або 180° . Але

 

Якщо a||b ,

то

кут між

ними

тоді

 

a × b

 

=

 

a

 

 

 

b

 

sin(a,b) = 0. Отже a × b = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ = a,b = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо ж

a × b = 0 , то

a

×

b

sin( a,b ) = 0 . Але

тоді

або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ = 180°, тобто a||b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зокрема i × i + j × j + k × k = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

3) векторний

добуток

 

 

 

 

 

має

 

розподільчу

властивість:

 

 

 

 

( a + b )× c = a × c + b× c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Векторний добуток векторів

a = ax i + ay j + az k

і b = bx i + by j + bz k

обчислюється за формулою:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a × b =

ax

ay

az

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bx

by

bz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ця формула перевіряється безпосереднім перемноженням двох векторів.

Звідси встановлення колінеарності векторів a і b:

ax = ay = az a||b . bx by bz

84

Площа паралелограма, побудованого на векторах a і b, дорівнює

Sпар = a × b = a b sin(a,b), а площа трикутника

 

 

 

 

 

 

 

S =

1

 

a × b

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад. Обчислити площу трикутника, побудованого на векторах

a = 6i + 3 j 2k і b = 3i 2 j + 6k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. Знайдемо векторний добуток:

 

 

 

i

j

k

 

3

2

 

6

 

2

 

 

 

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a × b =

6

3 2

= i

j

 

+ k

=14 i 42 j 21k .

 

3

2

6

 

2

6

 

3

6

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді S = 12 a × b = 12 142 + 422 + 212 = 492 (кв. од.).

Приклад. Обчислити площу паралелограма, що побудований на

векторах a + 3b і 3a + b, якщо a = b =1, (a,b) = 30°.

Розв’язання. Маємо (a + 3b)× (3a + b) = 3a × a + a × b + 9b × a + 3b × b =

= −8a × b .

 

 

 

 

 

 

1

 

Тоді S = 8

a × b

= 8

a

 

b

sin30° = 8 1 1

= 4 (кв. од.).

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мішаний добуток трьох векторів. Мішаним добутком трьох векторів

a, b і c називається скалярний добуток вектора a ×b

на вектор c

тобто

( a × b ) c .

 

 

Позначається a b c .

 

 

Модуль мішаного добутку векторів a b c

дорівнює

об’єму

паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, які відкладені від однієї точки:

V = a b c

.

 

85

Властивості мішаного добутку:

1)мішаний добуток трьох векторів дорівнює нулю, якщо: а) хоча б один з цих векторів дорівнює нулю; б) два з векторів паралельні (колінеарні);

в) усі три вектори паралельні одній площині (компланарні);

2)мішаний добуток не зміниться, якщо у ньому змінити місцями знаки векторного і скалярного множення, тобто

(a × b) c = a (b × c) = abc

;

 

3) мішаний добуток не зміниться при круговій перестановці векторів a b c =b c a =c a b ;

4) при перестановці будь-яких двох векторів мішаний добуток змінить тільки

знак: b a c = −a b c ;

c b a = −a b c ;

a c b = −a b c .

Мішаний добуток

векторів: a = ax i + ay j + az k , b = bx i + by j + bz k ,

c = cx i + cy j + cz k обчислюється за формулою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

ay

az

 

 

 

 

 

 

 

a b c =

bx

by

bz

 

.

 

 

cx

cy

cz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З властивостей мішаного добутку трьох ненульових векторів випливає необхідна і достатня умова компланарності: a b c = 0 .

Припустимо, що це так. Тоді можливо було б побудувати паралелепіпед з об’ємом V ≠ 0 . Але a b c = ±V , тоді a b c 0 а це суперечить умові a b c = 0 .

Навпаки, нехай a, b, c – компланарні.

Тоді

вектор d = a × b

перпендикулярний до площини, якій належать

(або

паралельні) вектори

a, b, c і d c .

 

 

86

Звідси (d c)= 0 , тобто a b c = 0 .

Об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c дорівнює

 

 

Vпар =

 

a b c

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Об’єм трикутної піраміди, що побудована на векторах a, b, c дорівнює:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V =

1

 

a b c

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пір

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мішаний добуток дає можливість визначити взаємну орієнтацію

векторів a, b, c у просторі. Якщо

a b c > 0, то вектори a ,b ,c утворюють

праву тройку векторів, а якщо a b c < 0, – ліву.

Приклад. Обчислити об’єм піраміди, яка має вершину у точках: A(1;2;3); B(0;1;1) ; C(2;5;2) ; D(3;0;2) . Знайти площу грані ABC і косинус кута BAD .

Розв’язання. Складемо вектори:

a = AB = (0 1) i + (12) j + (13)k = − i 3 j 2k = (1;3;2); b = AC = (1;3;1); c = AD = (2;2;5).

Знайдемо a, b, c :

 

1

3

2

 

 

 

 

a b c =

1

3 1

 

=15 + 6 + 4 +12 + 2 15 = 24.

 

2

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

Звідси Vпір = 16 24 = 4 (куб. од.).

Площа грані ABC дорівнює:

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

i

j

k

 

1

 

 

3 2

 

1 2

 

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

ABC

=

 

a × b

 

=

 

1 3 2

=

 

i

j

+ k

=

 

 

 

 

2

2

2

3 1

1 1

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

87

 

1

 

 

 

= 1

 

 

 

 

 

 

90

= 3

 

(кв. од.).

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

9 i 3 j + 0k

 

92

+ 32 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Косинус кута BAD – це косинус кута між векторами AB = a і AD = c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + 6 +10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Звідси cos(a,c) =

 

a

c

=

 

 

 

 

 

=

14

 

=

 

14

0,651.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

c

12 + 32 + 22 22 + 22

+ 52

14 33

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Пряма лінія і площина у просторі. Поверхні другого порядку

Площина. Нормальне рівняння площини у векторній формі має вигляд:

 

 

 

r n = ρ

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де rr = xi + yj + zk радіус-вектор довільної

точки

M (x, y, z)

площини;

r

cosα + j cosβ + k cosγ

– одиничний

вектор,

що

має

напрямок

n = i

перпендикуляра до площини, проведений з початку координат;

α,β,γ

кути,

що утворюються цим

перпендикуляром з осями

координат; ρ

довжина цього перпендикуляра. Переходячи до координат у скалярному добутку, отримаємо нормальне рівняння площини у координатній формі:

xcosα + ycos β + zcosγ ρ = 0 ,

Будь-яке рівняння першого степеня Ax + By + Cz + D = 0, при умові

A2 + B2 + C2 ≠ 0, задає площину у просторі і має назву загального рівняння площини. Коефіцієнти A,B,C – можна розглядати, як компоненти вектора

нормалі N = Ai + Bj + Ck до площини.

Для отримання нормального рівняння, треба загальне рівняння

площини помножити на нормуючий множник

µ = ±

1

= ±

 

1

 

,

 

 

 

 

 

A2 + B2 + C2

 

 

 

 

N

 

 

знак якого обирається з умови D < 0, тобто знаки і D протилежні.

 

 

Розглянемо

часткові

випадки

розташування

площини

Ax + By + Cz + D = 0, у просторі:

 

 

 

 

 

 

 

 

88

A = 0; площина паралельна осі Ox ;

B = 0; площина паралельна осі Oy ;

C = 0; площина паралельна осі Oz ;

D = 0; площина проходить через початок координат;

A = B = 0; площина перпендикулярна осі Oz (паралельна площині xOy );

A = C = 0; площина перпендикулярна осі Oy (паралельна площині xOz );

B = C = 0; площина перпендикулярна осі Ox (паралельна площині yOz );

A = D = 0; площина проходить через ось Ox ;

B = D = 0; площина проходить через ось Oy ;

C = D = 0; площина проходить через ось Oz ;

A = B = D = 0; співпадає за площиною xOy ( z = 0);

A = C = D = 0; співпадає за площиною xOz ( y = 0);

B = C = D = 0; співпадає за площиною yOz ( x = 0);

Якщо у загальному рівнянні площини D ≠ 0 (тобто площина не проходить через початок координат), то поділивши усі частини рівняння на D, отримаємо рівняння площини у відрізках

 

x

+

y

+

z

=1

,

 

 

 

 

 

a

 

b

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де a = − D ; b = − D ; c = − D – точки перетину площини з осями Ox , Oy , Oz .

A B C

Кут ϕ між площинами A1x + B1y + C1z + D1 = 0,

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 визначається як кут між нормалями до цих площин за формулою:

cosϕ =

 

 

A1 A2 + B1B2 + C1C2

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

+ B2

+ C2

A2

+ B2

+ C

2

 

 

 

 

 

1

1

1

2

2

 

2

 

 

 

Звідси умова паралельності двох площин:

89

 

 

 

A1

 

=

B1

=

C1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

 

B2

 

C2

 

 

 

Умова перпендикулярності:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1 A2 + B1B2 + C1C2

= 0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Відстань точки M (x0 , y0 , z0 )

від

площини Ax + By + Cz + D = 0

визначається за формулою

d =

Ax0

+ By0

+ Cz0

+ D

.

 

A2 + B2 + C2

 

 

 

Зазначимо, що вираз під знаком модуля буде додатнім, якщо точка M (x0 , y0 , z0 ) і початок координат розташовані по різні боки від площини і від’ємним – якщо по один бік.

 

 

 

Рівняння

площини,

яка

проходить

через

 

точку

M (x0 , y0 , z0 )

і

перпендикулярна до вектора N =

r

r

 

 

має вигляд:

 

 

 

 

 

 

Ai

+ Bj + Ck

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(x x0 ) + B(y y0 ) + C(z z0 ) = 0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При довільних A, B, C отримаємо рівняння

в’язки площин,

що

проходять через точку M0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рівняння

 

A x + B y + C z + D + λ(A x + B y + C

z + D ) = 0

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

1

2

 

2

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

при

довільному

 

λ

задає

жмуток

площин,

 

що

проходять через

 

пряму

перетину площин A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 і A2 x + B2 y + C2 z + D2

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

Рівняння площини, яка проходить через три точки

M1(r1), M2 (r2 ),

 

 

(r ), де

 

 

r

r

+ z k ,

rr

r

 

 

r

 

k ,

 

rr

r

 

 

r

+ z k ,

M

3

rr = x i

+ y j

= x i + y

2

j + z

 

= x i

+ y j

 

 

3

1

1

1

1

2

2

 

 

2

 

 

 

3

3

3

 

3

отримаємо з умови компланарності векторів.

r r1,

 

r2 r1,

r3 r1,

де

r = x i + y j + zk

– радіус-вектор довільної точки M шуканої площини:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(r r1)(r r2 )(r r3 ) = 0

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]