Konspekt_lektsy_zm_1_2_3977714072-716176886

Так як ≠ 0 , то система має єдиний розв’язок x = y = z = 0.

Приклад. Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь

3x + 2y − z = 0,

x + 2y + 9z = 0,

x + y + 2z = 0.

Розв’язання. Обчислимо визначник системи.

Отже система невизначена і одне з рівнянь є наслідком двох інших. Виразимо невідомі x та y через z . Розглянемо перше і третє рівняння:

Із другого рівняння y = −2z − 5z = −7z;

Надаючи z довільні значення, отримаємо нескінченну множину розв’язків: x = 5z ; y = −7z ; z = z ; або так: x = 5k ; y = −7k ; z = k ; k R.

Розглянемо матричний метод розв’язання системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими. Зауважимо, що цей метод доцільно

71

використовувати для розв’язання системи не дуже високого порядку, скажімо, до третього, включно.

x1

X = x2 – матриця-стовпець невідомих,

x3

b1

B = b2 – матриця-стовпець вільних членів.

b3

Розв’язуючи матричне рівняння AX = B , отримаємо X = A−1 B . Отже

Приклад. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом:

72

Перевірка. Підставимо отримані значення наприклад, у перше рівняння системи 1+ 2 2 + 3 = 8; 8 = 8. Отримали тотожність.

Найбільш ефективним і універсальним методом розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь є метод Гауса, який базується на послідовному виключенні невідомих. Розглянемо систему:

73

На першому етапі (прямий хід) система зводиться до ступінчастого виду, шляхом елементарних перетворень:

де k ≤ n , aii ≠ 0, i =1,k . Коефіцієнти aii називаються головними елементами системи. На другому етапі (зворотній хід) послідовно визначаємо невідомі зі ступінчастої системи.

Тепер детальніше. Прямий хід.

На перше місце ставимо рівняння, у якого коефіцієнт при першому невідомому відрізняється від нуля. Нехай a11 ≠ 0.

Перетворимо систему таким чином, щоб виключити невідомі x1 в усіх рівняннях, крім першого. Для чого помножимо перше рівняння на − a21 і

почленно додамо до третього. Продовжуючи цей процес, отримаємо еквівалентну систему:

де aij(1) , bi(1) (ij = 2,m) - нові значення коефіцієнтів і правих частин, отриманих після першого шагу.

74

Далі, враховуючи a22(1) ≠ 0 головним елементом, виключимо невідоме x2 з усіх рівнянь системи, крім першого і другого. І так продовжуємо цей процес, доки це можливо.

Якщо у процесі зведення системи до ступінчастого вигляду, з’являються нульові рівняння, тобто (0 = 0) їх відкинемо, а якщо рівняння виду 0 = bi , де bi ≠ 0 – це буде означати несумісність системи.

Зворотній хід. Розв’язання ступінчастої системи. З останнього рівняння виразимо невідоме xk через невідомі xk +1, … , xn .

Потім з передостаннього рівняння, знаючи xk , виразимо xk −1 через

Якщо ж ступінчаста система буде трикутною, тобто k = n , то ісходна система матиме єдиний розв’язок. Тоді з останнього рівняння знайдемо xn , з передостаннього xn−1 і так далі, – з першого x1.

На практиці зручніше працювати не з системою, а з її розширеною матрицею, виконуючи елементарні перетворення з її рядками. Зручніше зробити коефіцієнт при першому невідомому у першому рівнянні рівним одиниці, для чого можна переставити рядки, а може й стовпці розширеної матриці, або ж поділити його на a11 ≠1.

Приклад. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гауса.

75

Розв’язання. Запишемо розширену матрицю системи і проведемо елементарні перетворення:

Таким чином ми отримали ступінчасту систему:

Надаючи x3 та x4 довільні значення, отримаємо нескінченну множину часткових розв’язків.

Наприклад. Якщо x3 = 0 ; x4 = 0, то x1 = −1; x2 = −3. Якщо x3 =1; x4 =1, то x1 = −4; x2 = −11.

Приклад. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гауса:

x1 + x2 + x3 = 3,

2x1 + 3x2 + 2x3 = 7, .3x1 + x2 + x3 = 3,

5x1 − x2 − x3 = 3.

76

Розв’язання. Проведемо елементарні перетворення над рядками розширеної матриці системи

Бачимо, що четверте рівняння є слідством перших трьох. Отримаємо систему.

Звідси, випроваджуючи зворотний хід, матимемо x3 =1; x2 =1; x1 =1.

Відповідь на питання про існування розв’язків системи m лінійних рівнянь з n невідомими дає теорема Кронекера-Капеллі, яку приймемо без доведення.

Теорема. Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг розширеної матриці дорівнює рангу основної матриці системи.

А відповідь про кількість розв’язків сумісної системи дають наступні теореми.

Теорема. Якщо ранг сумісної системи дорівнює кількості невідомих, то система має єдиний розв’язок.

Теорема. Якщо ранг сумісної системи менше кількості невідомих, то система має нескінченну множину розв’язків.

77

4. Вектори

Визначення. Вектор – це направлений відрізок. Позначають вектор двома буквами зі стрілкою AB , де точка A – початок вектору, точка B –

кінець, або однією маленькою буквою a зі стрілкою, або виділяють жирним шрифтом.

Вільний вектор це вектор який без зміни довжини й напрямку може бути перенесений у будь-яку точку простору.

Вектор можна представити у вигляді розкладання по осях координат або по ортах:

Косинуси цих кутів (так звані напрямні косинуси) обчислюють за формулами:

Напрямні косинуси вектора зв’язані співвідношенням cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1.

Графічно два вектори a і b додаються і віднімаються за правилом паралелограма (рис. 21).

78

Рис. 21

Сума кількох векторів визначається за правилом багатокутника (рис. 22).

Рис. 22

Добуток вектора a на скалярний множник m визначається за формулою

ma = max i + may j + maz k .

Якщо m > 0, то вектори a і ma паралельні (колінеарні) і мають один і той же напрямок.

Якщо m < 0, то вектори a і ma протилежні. Одиничний вектор a0 , того ж

напрямку, що і a дорівнює a0 = a . a

Вектор OM , де O (0,0,0), а M (x, y,z) має назву радіус-вектор точки M , позначається r( M ) або просто r і дорівнює r = x i + x j + zk .

Вектор AB може бути записаний у вигляді AB = rB − rA , де rB – радіус-вектор точки B , а rA – радіус-вектор точки A.

79

Приклад. Знайти проекції вектора a = AB + CD на осі координат і його напрямні косинуси якщо A(0;0;1); B(3;2;1) ; C(4;6;5) ; D(1;6;3).

AB = (3 − 0) i + (2 − 0) j + (1−1)k = 3i + 2 j + 0k

CD = (1− 4) i + (6 − 6) j + (3 − 5)k = −3i − 0 j − 2k

a = AB + CD = (3 − 3)i + (2 + 0) j + (0 − 2)k = 2 j − 2k .