Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Konspekt_lektsy_zm_1_2_3977714072-716176886

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
1.39 Mб
Скачать

 

 

 

 

 

 

x + y + 2z = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 3y + z = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x + y + z = 0.

Розв’язання. Знайдемо визначник системи:

=

 

1

1

2

 

= 3 + 3 + 2 18 11= −12 0 .

 

 

 

1

3

1

 

 

 

3

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так як 0 , то система має єдиний розв’язок x = y = z = 0.

Приклад. Розв’язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь

3x + 2y z = 0,

x + 2y + 9z = 0,

x + y + 2z = 0.

Розв’язання. Обчислимо визначник системи.

=

 

3

2

1

 

=12 +18 1+ 2 27 4 = 0.

 

 

 

1

2

9

 

 

 

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже система невизначена і одне з рівнянь є наслідком двох інших. Виразимо невідомі x та y через z . Розглянемо перше і третє рівняння:

 

 

3x + 2y z = 0,

 

 

 

 

 

x + y + 2z = 0.

3x + 2y = z

 

 

 

 

+

(2)

x + y = −2z

x + 0y = 5z

 

Отже x = 5z ;

Із другого рівняння y = −2z 5z = −7z;

Надаючи z довільні значення, отримаємо нескінченну множину розв’язків: x = 5z ; y = −7z ; z = z ; або так: x = 5k ; y = −7k ; z = k ; k R.

Розглянемо матричний метод розв’язання системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими. Зауважимо, що цей метод доцільно

71

використовувати для розв’язання системи не дуже високого порядку, скажімо, до третього, включно.

a x + a x

2

+ a x = b ,

 

 

 

11

1

12

 

 

13

3

1

 

 

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2,

 

 

a x + a x

2

+ a x = b .

 

 

 

31

1

32

 

 

33

3

3

 

 

 

 

Запишемо систему у матричній формі.

a

 

a

a

 

x

 

b

 

 

 

11

 

12

 

13

 

1

 

1

 

 

a21

 

a22

a23

x2

 

= b2

 

або AX = B ,

 

 

 

a32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a31

 

a33 x3

 

b3

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

a

 

 

 

 

де A =

11

 

12

13

 

 

 

a21

 

a22

a23

– невироджена матриця системи, тобто det A = ≠ 0,

 

 

 

 

 

a32

 

 

 

 

 

 

 

 

a31

 

a33

 

 

x1

X = x2 – матриця-стовпець невідомих,

x3

b1

B = b2 – матриця-стовпець вільних членів.

b3

Розв’язуючи матричне рівняння AX = B , отримаємо X = A1 B . Отже

x

 

 

 

 

AT

 

 

1

 

 

1

 

11

 

 

=

AT

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

21

x

 

 

 

AT

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

31

AT

AT

 

b

 

 

 

 

AT b + AT b

+ AT b

 

12

13

 

 

1

 

 

1

 

11 1

12

2

13 3

 

AT

AT

 

 

=

AT b

+ AT

 

+ AT b

 

 

b

 

 

b

 

22

23

 

2

 

 

 

21 1

22

2

23 3

AT

AT

b

 

 

 

 

+ AT b

+ AT b

 

 

 

 

AT b

.

32

33

 

 

3

 

 

 

 

31 1

32

2

33 3

 

Приклад. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом:

 

x

+ 2x

2

+ x

= 8,

 

1

 

 

3

 

 

3x1 + 2x2 + x3

=10,

4x + 3x

2

− 2x = 4.

 

1

 

3

72

Розв’язання. Запишемо

 

систему у матричній формі. AX = B звідки

 

1 2

1

 

x

 

 

8

 

X = A1 B , де

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

A =

3

2

1

 

;

X = x2

 

; B

= 10

.

 

 

4

3

− 2

 

 

x

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

Знайдемо визначник

, транспоновану AT

і обернену A1 матриці:

 

 

=

1

 

2

 

 

1

 

= −4 + 8 + 9 − 8 − 3+12 =14;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

3

 

 

− 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A11T

 

 

 

A12T

 

A13T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

=

 

2 2

3

 

;

 

 

1

=

1

 

 

T

 

 

 

 

T

 

 

T

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

A

 

 

 

 

A21

 

 

A22

 

A23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

T

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 − 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

A A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

 

 

 

32

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

2

3

 

 

 

2

3

 

+

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

− 2

 

 

 

1 − 2

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−7

7

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3 4

 

 

 

 

 

1 4

 

 

 

 

 

1 3

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

=

 

 

 

 

 

1 − 2

 

 

 

+

 

1 − 2

 

1 1

 

 

=

 

 

 

10 − 6 2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 4

 

 

 

 

1 4

 

 

 

 

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

1

−7

 

 

 

 

 

 

7

 

 

0 8

 

 

 

 

1

−7 8 + 7 10 + 0 4

 

1

14

 

1

 

 

y

 

=

 

 

10

 

 

− 6

 

 

2

 

16

 

=

 

 

10 8 − 6 10 + 2

4

 

=

 

28

 

=

 

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

14

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

5

 

4

 

4

 

 

 

 

1

8 + 5 10 − 4 4

 

 

 

 

42

 

 

 

3

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже x1 =1;

 

x2 = 2;

 

 

 

x3 = 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перевірка. Підставимо отримані значення наприклад, у перше рівняння системи 1+ 2 2 + 3 = 8; 8 = 8. Отримали тотожність.

Найбільш ефективним і універсальним методом розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь є метод Гауса, який базується на послідовному виключенні невідомих. Розглянемо систему:

73

 

 

a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1,

a

x

+ a

22

x

2

+ ...+ a

2n

x

n

= b ,

 

 

 

21 1

 

 

 

 

 

 

2

 

− − − − − − − − − − − − − − − − −

 

a

 

x

+ a

m2

x

2

+ ...+ a

mn

x

n

= b .

 

 

m1 1

 

 

 

 

 

m

На першому етапі (прямий хід) система зводиться до ступінчастого виду, шляхом елементарних перетворень:

a11x1 + a12x2 + ...+ a1k xk + ...+ a1nxn = b1

 

 

a22x2 + ...+ a2k xk + ...+ a2nxn = b2

 

 

,

 

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

 

 

 

akk xk + ...+ aknxn = bn

 

 

 

де k n , aii 0, i =1,k . Коефіцієнти aii називаються головними елементами системи. На другому етапі (зворотній хід) послідовно визначаємо невідомі зі ступінчастої системи.

Тепер детальніше. Прямий хід.

На перше місце ставимо рівняння, у якого коефіцієнт при першому невідомому відрізняється від нуля. Нехай a11 0.

Перетворимо систему таким чином, щоб виключити невідомі x1 в усіх рівняннях, крім першого. Для чого помножимо перше рівняння на a21 і

 

a11

 

почленно додамо до другого. Далі помножимо перше рівняння на

a31

і

a11

 

 

почленно додамо до третього. Продовжуючи цей процес, отримаємо еквівалентну систему:

 

a11x1 + a12x2 + ...+a1nxn = b1

 

 

(1)

(1)

(1)

 

 

a22 x2

+ ...+a2n xn = b2

,

 

 

 

 

− − − − − − − − − − − − − − − − −

 

 

(1)

(1)

(1)

 

 

am2x2 + ...+amnxn = bn

 

де aij(1) , bi(1) (ij = 2,m) - нові значення коефіцієнтів і правих частин, отриманих після першого шагу.

74

Далі, враховуючи a22(1) 0 головним елементом, виключимо невідоме x2 з усіх рівнянь системи, крім першого і другого. І так продовжуємо цей процес, доки це можливо.

Якщо у процесі зведення системи до ступінчастого вигляду, з’являються нульові рівняння, тобто (0 = 0) їх відкинемо, а якщо рівняння виду 0 = bi , де bi 0 – це буде означати несумісність системи.

Зворотній хід. Розв’язання ступінчастої системи. З останнього рівняння виразимо невідоме xk через невідомі xk +1, … , xn .

Потім з передостаннього рівняння, знаючи xk , виразимо xk 1 через

xk +1, … , xn

і так далі знайдемо xk 1, … , x1. Надаючи вільним невідомим

xk +1, … , xn

довільні значення, отримаємо нескінченну множину розв’язків

системи.

 

Якщо ж ступінчаста система буде трикутною, тобто k = n , то ісходна система матиме єдиний розв’язок. Тоді з останнього рівняння знайдемо xn , з передостаннього xn1 і так далі, – з першого x1.

На практиці зручніше працювати не з системою, а з її розширеною матрицею, виконуючи елементарні перетворення з її рядками. Зручніше зробити коефіцієнт при першому невідомому у першому рівнянні рівним одиниці, для чого можна переставити рядки, а може й стовпці розширеної матриці, або ж поділити його на a11 1.

Приклад. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гауса.

2x1 x2 + 3x3 5x4 =1,

x x

2

5x = 2,

 

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

= 3, .

 

3x 2x

2

2x 5x

4

 

1

 

 

 

3

 

7x 5x

2

9x 10x

4

= 8.

 

1

 

 

3

 

 

75

Розв’язання. Запишемо розширену матрицю системи і проведемо елементарні перетворення:

 

 

2 1 3

 

5

 

1

 

 

II 1 1 5

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

5

0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

1 3

5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

I

 

 

 

~

 

 

 

3

2

2

 

5

 

 

3

 

III

 

3

2

2

5

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

5

9

 

10

 

8

 

 

VI

 

7

5 9

10

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1 5 0

 

1

 

 

 

 

 

 

1 1 5

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1 13

5

 

3

 

 

 

 

+ I(2)

 

 

0 1 13

5

 

3

 

 

 

 

 

II

 

 

 

 

 

 

~

0

1

13

5

 

3

 

III + I(3)

~

 

0

0

0

0

 

 

0

 

 

III II

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2 26

10

 

6

 

 

 

 

+ I(7)

 

 

0 0

0

0

 

 

0

 

 

 

 

 

IV

 

 

 

 

IV + II(2).

Таким чином ми отримали ступінчасту систему:

x x

2

5x + 0 x

4

= 2

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

x2 +13x3 5x4 = −3 .

 

 

Виразимо x1 та x2 через x3 та x4:

 

 

 

 

 

x2 = −3 13x3

+ 5x4

 

 

 

 

 

,

x1 = 2 + x2 + 5x3 = 2

3 13x3 + 5x4 +

5x3

 

 

x = −8x + 5x

4

1

 

отже загальний розв’язок системи:

1

3

 

 

 

 

 

x2 = −13x3 + 5x4 3

Надаючи x3 та x4 довільні значення, отримаємо нескінченну множину часткових розв’язків.

Наприклад. Якщо x3 = 0 ; x4 = 0, то x1 = −1; x2 = −3. Якщо x3 =1; x4 =1, то x1 = −4; x2 = −11.

Приклад. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гауса:

x1 + x2 + x3 = 3,

2x1 + 3x2 + 2x3 = 7, .3x1 + x2 + x3 = 3,

5x1 x2 x3 = 3.

76

Розв’язання. Проведемо елементарні перетворення над рядками розширеної матриці системи

1 1 1

 

 

3

 

 

1 1 1

 

 

3

 

 

1 1 1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3 2

 

 

 

7

 

 

 

0 1 0

 

 

1

 

 

 

0 1 0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II + I(−2)

 

 

 

 

 

 

3

1 1

 

 

 

5

 

~

0 − 2 − 2

 

 

− 4

 

III + I(−3)

~

0

0 − 2

 

− 2

 

III + I(2)

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

− 5 −1

 

 

3

 

 

 

0 − 6 − 6

 

 

−12

 

IV + I(−5)

 

0

0 − 6

 

− 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IV + II(6)

 

 

 

1 1 1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1 0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0 1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0 0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IV + III(−3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Бачимо, що четверте рівняння є слідством перших трьох. Отримаємо систему.

x + x

2

+ x

= 3

 

1

3

=1

 

 

 

x2

 

 

 

x3

=1

 

 

 

Звідси, випроваджуючи зворотний хід, матимемо x3 =1; x2 =1; x1 =1.

Відповідь на питання про існування розв’язків системи m лінійних рівнянь з n невідомими дає теорема Кронекера-Капеллі, яку приймемо без доведення.

Теорема. Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг розширеної матриці дорівнює рангу основної матриці системи.

А відповідь про кількість розв’язків сумісної системи дають наступні теореми.

Теорема. Якщо ранг сумісної системи дорівнює кількості невідомих, то система має єдиний розв’язок.

Теорема. Якщо ранг сумісної системи менше кількості невідомих, то система має нескінченну множину розв’язків.

77

4. Вектори

Визначення. Вектор – це направлений відрізок. Позначають вектор двома буквами зі стрілкою AB , де точка A – початок вектору, точка B

кінець, або однією маленькою буквою a зі стрілкою, або виділяють жирним шрифтом.

Вільний вектор це вектор який без зміни довжини й напрямку може бути перенесений у будь-яку точку простору.

Вектор можна представити у вигляді розкладання по осях координат або по ортах:

 

a = ax i + ay j + az k

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де ax , ay , ak – проекції вектора на відповідні осі координат;

i , j , k

одиничні вектори або орти.

 

 

 

 

 

Вектори ax i , ay j , az k мають назви

складових або

компоненти

вектора по осях координат.

 

 

 

 

 

Довжина вектора або модуль позначається

 

a

 

і дорівнює

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

= ax2 + a2y + az2

.

α, β, γ з осями координат.

 

 

 

 

 

 

Напрям вектора a визначається кутами

Косинуси цих кутів (так звані напрямні косинуси) обчислюють за формулами:

cosα =

a

x

 

=

 

a

x

 

; cosβ =

ay

;

cosγ =

a

z

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

ax2 + a2y + az2

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

Напрямні косинуси вектора зв’язані співвідношенням cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1.

Графічно два вектори a і b додаються і віднімаються за правилом паралелограма (рис. 21).

78

Рис. 21

Сума кількох векторів визначається за правилом багатокутника (рис. 22).

c

 

r

r

 

c

r

 

+

b

 

+

 

a

 

b

b

a

c

Рис. 22

Добуток вектора a на скалярний множник m визначається за формулою

ma = max i + may j + maz k .

Якщо m > 0, то вектори a і ma паралельні (колінеарні) і мають один і той же напрямок.

Якщо m < 0, то вектори a і ma протилежні. Одиничний вектор a0 , того ж

напрямку, що і a дорівнює a0 = a . a

Вектор OM , де O (0,0,0), а M (x, y,z) має назву радіус-вектор точки M , позначається r( M ) або просто r і дорівнює r = x i + x j + zk .

Вектор AB може бути записаний у вигляді AB = rB rA , де rB – радіус-вектор точки B , а rA – радіус-вектор точки A.

79

Приклад. Знайти проекції вектора a = AB + CD на осі координат і його напрямні косинуси якщо A(0;0;1); B(3;2;1) ; C(4;6;5) ; D(1;6;3).

AB = (3 0) i + (2 0) j + (11)k = 3i + 2 j + 0k

CD = (14) i + (6 6) j + (3 5)k = −3i 0 j 2k

a = AB + CD = (3 3)i + (2 + 0) j + (0 2)k = 2 j 2k .

Отже ax = 0 ; ay

 

= 2; az

= −2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

02 + 22 + (2)2 =

 

 

 

;

Знайдемо модуль вектора

a

:

a

 

8

= 2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напрямні косинуси:

cosα =

 

0

 

 

= 0 ;

 

cosβ =

 

 

2

 

 

=

1

=

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosγ =

2

 

= −

1

= −

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перевіримо. cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1;

0 +

1

+

1

=1;

1 =1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скалярний добуток векторів. Скалярним добутком двох векторів a і b називається число, що дорівнює добутку довжини цих векторів на косинус кута ϕ між ними

a b = (a,b)= a b cosϕ , де ϕ = (a,b).

Скалярний добуток можна визначити й так:

a,b =

 

a

 

Прab =

 

b

 

Прb a

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так як a cosϕ = Прb a (рис. 23), а b cosϕ = Прa b .

 

a

 

ϕ

0

b

Прb a

 

 

Рис. 23

80

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]