Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Konspekt_lektsy_zm_1_2_3977714072-716176886

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
1.39 Mб
Скачать

 

 

 

2

x

 

2

x

2

 

Таким чином lim

1

2sin

 

 

 

= 12 lim sin

 

 

 

= 10 = 1.

 

 

2

 

2

 

x0

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

Доведемо першу чудову границю lim sin x = 1.

x0 x

Доведення. Розглянемо частину кола радіуса одиниця, рис. 13.

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

1

 

 

 

 

 

sin x

tg x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

0

cos x

A B

 

 

 

 

 

Рис. 13

 

Позначимо радіальну міру кута MOB за x. Нехай 0 < x <

π .

 

 

 

 

2

На малюнку AM = sin x , дуга MB чисельно дорівнює центральному

куту x, ВС = tg x .

Наочно маємо S MOB < Sсектора MOB < S COB .

Тоді 12 sin x < 12 x < 12 tg x.

1 <

x

 

<

x

 

або cos x <

sin

 

cos

 

 

x

x

Поділимо на 12 sin x > 0:

sin x <1. x

Так як lim cos x = 1 і

lim 1= 1,

то змінна sin x розташована між

x0

x0

x

двома величинами, які мають одну й ту ж границю, яка дорівнює 1, отже, за теоремою про стиснуту змінну, маємо lim sin x = 1.

 

 

 

x0

Нехай тепер x < 0 . Маємо

sin

x

=

sin (x)

, де x > 0 .

 

 

 

 

x

 

 

x

31

Звідси lim sin x = 1, а тому

 

 

lim sin x = 1.

x0

x

 

 

 

 

 

 

 

x0 x

 

 

 

(x<0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для неперервної функції (див. нижче) має місце граничний перехід

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim f (x)= f lim

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xa

xa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Усі елементарні функції неперервні в області визначення. Розглянемо

розкриття невизначеностей наступних видів:

, ∞ 0 , ∞ − ∞ , 0 , 00 , 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад. lim

2x2 3x 4

=

 

2 + 3 4

 

= −1.

 

3 + 4x + 4

 

14 + 3

x→ −1 x

 

 

 

 

 

 

Після підстановки замість x мінус одиниці, не маючи невизначеностей,

отримаємо відповідь.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розглянемо

lim

 

 

Pn(x)

=

, де Pn(x) і Qm(x) многочлени порядку n і

 

 

Qm (x)

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m відповідно, n N і m N .

Для розкриття невизначеностей виду скорочуємо чисельник і

знаменник на старший ступінь x чисельника або знаменника і користуємось умовною таблицею.

 

c 0 = 0 ;

c ∞ = ∞ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

= 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

c

= ∞ ;

 

0

= 0 ;

де с=const.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад. lim 2x2 5x +1=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x2

 

5x

+

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

x2

x2

x2

 

=

2

= 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ x2 + 2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ x

2

 

+

2x

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

x

2

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n = 2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n = m .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m = 2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x4 3x2 +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

+

 

 

 

=,

Приклад.

lim

 

 

=

= lim

lim

 

 

x3

x3

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ x3 x2 + 3x

x→∞ x→∞ x3

 

 

x2

+

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

x

3

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

n = 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

= ∞,

 

3;

n

> m .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

m =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

x

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 7x +10

 

 

 

 

7

 

 

+

 

 

=,

 

 

 

 

Приклад.

lim

 

 

=

= lim

 

x2

x2

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ x3 2x2 + 5

x→∞ x3

2

 

 

+

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

x

2

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n = 2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

= 0,

 

 

 

 

 

n < m .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ x 2

 

m = 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зазначимо, що при n = m границя дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших ступенях х у чисельнику і знаменнику. Якщо ж n < m , – то нулю; n > m , – то нескінченості.

Розглянемо обчислення границь від раціональних функцій виду

lim

Pn (x)

=

0

.

 

 

xx0 Qm (x)

 

0

 

Для розкриття невизначеності такого виду треба зробити алгоритмічні перетворення у чисельнику і знаменнику метою яких є виділення множника виду (x x0) , що прямує до нуля. Це можна зробити розкладаючи многочлени на множники, ураховуючи формули:

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; (a ± b)3 = a3 ± 3a2b ± 3ab2 + b3; a2 ± b2 = (a + b)(a b); a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ± ab + b2 ),

або поділивши многочлени на множник (x x0 ) .

Приклад. lim

 

 

x3 1

 

=

 

0

 

 

 

= lim

(x 1)(x2 + x +1)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

3

x2

 

 

0

 

 

 

(x 1)(2x2

 

 

x1 2x

1

 

 

 

 

x1

+ x +1)

 

= lim

x2 + x +1

=

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 2x2 + x +1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33

Тут виконали ділення многочлена на двочлен наступним чином:

2х3 х2 1

 

х 1

 

2х3 2х2

 

 

2х2 + х +1

х2 1

х2 х

х1

х1

0.

Для усунення невизначеностей у разі ірраціональних виразів, треба домножити чисельник і знаменник на спряжений вираз.

 

Приклад. lim

 

 

 

x + 2

2

=

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

x2 4

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/Домножимо

 

 

 

чисельник

 

і

знаменник

на

 

 

 

 

 

 

x + 2

+ 2,

 

розкладемо

x2 4 = (x + 2)(x 2)/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2)

= lim

 

 

 

 

x + 2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

x + 2

2)(

x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

(x + 2)(x 2)(

 

x + 2 + 2)

x2

 

(x + 2)(x 2)(

 

 

 

x + 2 + 2)

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

=

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 (x + 2)(

 

x + 2 +

2)

 

 

x2

(2 + 2)(

2 + 2 + 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

розкриття

 

невизначеності

виду

∞ − ∞ треба

 

 

 

застосувати

елементарні

перетворення для зведення їх до невизначеностей виду або

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

Приклад.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim (

 

 

 

 

 

 

 

 

)= ∞ − ∞ = lim

(

 

 

 

 

)(

 

 

 

 

 

 

+

 

 

)=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +1

x

 

 

 

x +1

x

 

 

 

x +1

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +1 + x

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

x +1x

 

=

1

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

x +1 +

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розглянемо приклади обчислення границь за допомогою першої і другої чудових границь і порівняння нескінченно малих.

Приклад. lim sin kx = lim k sin kx = k lim sin kx = k .

x0 x

x0 kx

x0 kx

Тут використали першу чудову границю.

34

 

 

5 2x

 

 

 

 

 

 

5

3x 5 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

3x

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад. lim 1 +

 

 

 

 

 

=

 

1

 

 

= lim 1 +

 

 

 

 

 

 

= e 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут використали другу чудову границю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 4

 

 

5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад. lim

2

=

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Спочатку виділимо цілу частку:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 4

=

 

x 2 + 2 + 4

 

=1+

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Або так:

x + 4

=1+

 

 

x + 4

1=1+

x + 4 x + 2

=1+

 

 

6

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

x 2

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тепер треба виділити у показнику ступеня вираз, обернений до

дробової частини:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

6

 

 

5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

lim 15x

 

 

 

 

 

5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

x→∞ 2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

15

lim

 

 

 

 

 

=

lim

 

 

1

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

lim

1

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞ x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Границя виразу у квадратних дужках дає число e, а границя степеня

дорівнює 15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

tg3x

 

 

=

0

 

=

tg3x ~ 3x, x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

3x

 

 

= 3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

1cos4x

 

 

0

 

 

 

1cos4x = 2sin2 2x ~ 2 2x

2x

 

 

 

x0

 

2(2x)2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут і далі скористалися еквівалентними нескінченно малими величинами.

Приклад. lim

1cos2 2x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 xsin3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1cos2 2x = sin2 2x ~ (2x)2,

 

xsin3x ~ x 3x,

 

 

x 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді

lim 2x 2x =

4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 x 3x

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

x

1

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

3x 1 ~

 

xln3

 

 

 

 

 

xln3

 

ln3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад. lim

 

 

 

 

=

 

 

=

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

=

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ 2x

 

2x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 arcsin2x

 

 

 

 

 

 

 

arcsin2x

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35

Приклад.

 

 

2x 4

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 = z, z 0 x = 2 + z

 

 

 

 

 

lim

=

 

 

 

=

 

2x 4 = 22+z 22 = 22 (2z 1) ~ 22 zln2

 

=

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

x2

sinπ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z0

 

 

 

 

 

(x2)0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinπ x = sin( 2π + π z) = sinπ z ~ π z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z0

 

 

 

 

 

lim

4zln2

=

4ln2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z0

π z

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2x =11+ cos2x =1(1cos2x)=12sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

lncos2x

=

 

0

 

 

 

=

ln(cos2x)= ln(1+ (2sin2 x))~ 2sin x ~ 2x2

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 ln(1+ x2 )3

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

ln(1+ x2 )3 = 3ln(1+ x2 )~ 3x2, x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

2x

2

= −

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обчислення інших границь розглянемо нижче у розділі правило Лопіталя.

3. Неперервність функції

Функція f (x) має назву неперервної у точці а, якщо: 1) вона визначена у деякому околі точки а; 2) існує границя lim f (x); 3) ця границя дорівнює

 

xa

значенню функції у точці а, тобто

lim f (x) = f (a) .

 

xa

Існує інше визначення

неперервності функції. Функція f (x)

називається неперервною у точці а, тоді і тільки тоді, коли у цій точці нескінченно малому приросту аргумента відповідає нескінченно малий

приріст функції: lim f (x) = 0 , де f = f (x) f (a),

x = x a .

xa

 

Функція f (x) неперервна у деякій області (інтервалі, сегменті, тощо) якщо вона неперервна у кожній точці цієї області.

36

Точка а, що належить області визначення функції, включаючи границю, має назву точки розриву, якщо у цій точці не виконуються умови неперервності функції.

Якщо існують скінченні

границі

lim f (x) = f (a 0) та

 

xa0

lim f (x) = f (a + 0), причому не

усі три числа

f (a) , f (a 0), f (a + 0)

xa+0

дорівнюють одне одному, то точка а – точка розриву першого роду.

Точки розриву першого роду поділяються на точки усувного розриву,

коли f (a 0) = f (a + 0) f (a) і точки стрибка,

коли f (a 0) f (a + 0).

Різниця f (a + 0) f (a 0) має назву стрибка функції

f (x) у точці а.

Точками розриву другого роду називають точки розриву, що не є точками розриву першого роду. У точках розриву другого роду не існує хоча б одна з односторонніх границь.

Сума і добуток скінченого числа неперервних функцій є неперервною функцією.

Частка двох неперервних функцій є неперервна функція у тих точках,

де дільник не дорівнює нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад. Дослідити на розрив функцію y = arctg

 

1

 

.

 

 

 

 

x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. Якщо x 5 0, то

1

 

→ −∞ ,

 

lim

arctg

1

= −

π .

 

x 5

 

x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x50

 

 

 

 

2

Якщо x 5 + 0, то

1

 

→ ∞ ,

 

lim

arctg

 

1

 

=

π .

 

 

 

 

x 5

 

 

x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x5+0

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Стрибок функції

π

 

 

π

 

x = 5 – точка розриву першого роду.

2

− −

 

2

= π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад. Показати, що функція y =

 

x

має розрив при x = 5.

 

x

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. lim

 

x

 

 

 

= −∞ ;

 

 

lim

 

x

 

= +∞, тобто скінченних

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

x50 x

 

 

 

x5+0 x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

границь немає. Тоді x = 5 – точка розриву другого роду.

37

4. Похідна

Розглянемо функцію y = f (x) . Нехай x1 та x2 – значення аргументу, а

y1 = f (x1) та y2 = f (x2) відповідні

значення функції

y = f (x) . Різниця

x = x2 x1 – приріст аргументу, а різниця y = y2 y1

– приріст функції

на відрізку [x1; x2 ].

 

 

Похідною від функції y = f (x)

по аргументу x називається граничне

відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст

аргументу

прямує

до

нуля:

y'= lim

y ,

або

 

 

 

 

x0

x

 

f '(x) = lim

f (x + x) f (x)

. Похідну позначають також

d y

.

 

 

 

 

 

 

x0

x

 

 

 

d x

 

 

Поняття похідної використовують у багатьох галузях науки, особливо

при вивченні швидкості перебігу різних процесів. Якщо функція

y = f (x)

описує закон руху матеріальної точки, то похідна визначає швидкість цієї точки у даний момент часу. Взагалі похідна це швидкість зміни функції у точках.

З геометричної точки зору похідна представляє кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції y = f (x) у точці x.

Пошук похідної має назву диференціювання функції.

Основні правила диференціювання.

Нехай с – стала, u = u(x) , v = v(x) – функції, що мають похідні, тоді:

 

 

1) c'= 0 ;

 

 

 

2) x'= 1;

3) (u ± v)′ = u′ ± v;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

(cu)′ = cu;

 

 

5) (uv)'= uv + uv;

u

=

u v uv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) v

 

v2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

якщо y = f (u) , а u = u(x), тобто y = f [u(x)], то

y'x = y'u y'x

– це правило

диференціювання складної функції;

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

y

=

dy

=

1

=

1

– правило диференціювання оберненої функції.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

dx

dx

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

38

Приклад. Спираючись на визначення похідної знайти похідну від y = x2 .

Розв’язання. Надамо приріст аргументу

x . Знайдемо приріст функції

y = (x +

 

x)2 x2 = x2 + 2 +

x + ( x)2 x2 = 2x x + ( x)2 .

Знайдемо

границю відношення

y при

x 0 .

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

lim

y

=

lim

2x

x + ( x)2

= lim (2x

x) = 2x .

 

x0 x

 

x0

 

x

x0

 

 

Таким чином (x2)'= 2x . Аналогічно отримують похідні від інших елементарних функцій. Нижче подано таблицю похідних для функції

u = u(x).

1)c′ = 0

2)(un )′ = nun1 u

3)(u)= u

 

 

 

 

 

 

 

2

 

u

4)

1

= −

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

u

 

 

 

 

 

 

u

u

5)

(log

 

u)=

 

 

a

 

ulna

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

6)

(lnu)

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

7)(au )= au lna u

8)(eu )= euu

9)(sinu)= cosu u

10)(cosu)= −sinu u

11) (tgu)=

 

1

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12) (ctgu)= −

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

sin2 u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13) (arcsinu)=

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14)

(arccosu)= −

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15)

(arctgu)=

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16)

(arcctgu)= −

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ u2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

eu

eu

 

 

 

 

 

 

17)

(shu)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= chu u'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

e

u

 

 

 

 

 

 

18)

(chu)'

=

 

e

 

 

 

 

 

 

 

= shu u'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

shu

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

19)

(thu)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

u'

 

 

 

 

 

 

 

shu u

 

 

 

 

chu

 

 

 

 

 

'

 

 

shu '

 

 

 

 

 

1

 

 

20)

(cthu)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

u'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

chu

 

 

 

 

 

 

 

shu

u

39

Розглянемо приклади.

Приклад. Знайти похідну y = lnsin x .

 

 

Розв’язання. Маємо y = lnu , де u = sin x ;

 

(lnu)'

=

1

u'=

 

1

(sin x)' =

 

 

 

u

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

cos x

=ctg x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад. Знайти похідну y =

 

 

 

 

x

− cos

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

x

 

 

 

x

 

'

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

Розв’язання. y'= 2

sin

 

− cos

 

 

 

 

 

sin

 

 

− cos

 

 

=

2 sin

 

− cos

 

 

 

 

2

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

x

 

1

 

x

 

1

 

 

2 x

− cos

2

 

x

= −cos x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

+ sin

 

 

 

= sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

знаходження

функції, що

задана

 

неявно

f (x, y) = 0

необхідно

продиференціювати обидві частини цієї рівності, ураховуючи правило диференціювання складеної функції. Потім розв’язуємо рівняння першого ступеня відносно y'.

Приклад. Знайти похідну xy2 − ln y = 0 .

Розв’язання.

Диференціюємо

обидві

 

 

частини цієї

 

рівності

1 y2 + x2yy'−

y'

= 0;

звідси

y'= −

 

y2 y

 

=

 

y3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2xy2 −1 1− 2xy2

 

 

 

 

 

 

Якщо функція аргументу

x задана у параметричній формі

x = ϕ (t ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y't

 

 

 

 

 

 

 

y =ψ (t) ,

 

 

 

=

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

, або

 

 

y't =

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

x't

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

якщо x = a cost , y = asin t .

 

 

Приклад. Знайти похідну y'x

 

 

Розв’язання. y'

x

=

y't

 

=

a cost

= −ctg t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

asin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cost

 

x a

x

Звільняючись від параметра t

маємо y'x =

 

 

 

= −

 

= −

 

.

sint

a y

y

40

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]