Konspekt_lektsy_zm_1_2_3977714072-716176886

x − x1

y − y1

z − z1

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

= 0.

x3 − x1

y3 − y1

z3 − z1

Розглянемо деякі приклади:

Приклад. Скласти нормальне рівняння площини x + 2y − 2z + 9 = 0.

Розв’язання. Знайдемо нормуючий множник µ =

1

= ±

1 .

2

+ 2

2

+ 2

2

3

1

M0(x0, y0,z0) від площини Ax + By + Cz + D = 0

d =

Ax0 + By0 + Cz0 + D

=

2 3 + 2 5 + (−1)(−2) − 9

=

6 +10 + 2 − 9

= 3.

3

A2 + B2 + C2

4 + 4 +1

Приклад. Скласти рівняння площини, яка проходить через пряму

перетину площин 4x + y + z − 2 = 0 ,

3x + 2y − z + 3 = 0 і точку M (1;2;3).

Розв’язання.

Складемо

рівняння

жмутка

площин:

4x + y + z − 2 + λ(3x + 2y − z + 3) = 0.

Із цього жмутка оберемо площину, яка проходить через точку M (1;2;3).

4 1+ 2 + 3 − 2 + λ(3 1+ 2 2 − 3 + 3) = 0 , 7 + 7λ = 0 ,

λ = −1.

M (1;−1;−2) та

перпендикулярна до

площин:

2x − y + z + 4 = 0

і

x − 3y + 2z +1= 0.

Розв’язання. За вектор нормалі шуканої площини оберемо вектор

перпендикулярний

до нормалей даних

площини,

тобто N = N1 × N2 ,

де

N1 = 2i − j + k ; N2 = 3i − 3 j + 2k .

r i

j

k

r

−1

1

r

2

1

r

2

−1

r r

r

N = 2

−1

1 = i

−3

2

− j

3

2

+ k

3

−3

= i − j

− 3k .

3

−3

2

відрізках:

x

+

y

+

z

=1. Тоді

x

+

y

+

z

=1 і є шукане рівняння тут a = 2 ,

2

a b c

4

3

b = 4, c = 3.

r

r

r

+ nk мають вигляд:

паралельно вектору s

= li

+ mj

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

або

l

m

n

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

,

cosα

cos β

cosγ

cosα =

l

; cos β =

m

;

cosγ =

n

.

l2 + m2 + n2

l2 + m2 + n2

l2 + m2 + n2

Рівняння

прямої,

яка проходить

через дві точки

M1(x1; y1;z1)

і

M2 (x2; y2;z2) :

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

.

x2 − x1

z2 − z1

y2 − y1

Від канонічних рівнянь, вводячи параметр t , неважко перейти до

параметричних:

x = lt + x1,

+ y1,

y = mt

z = nt + z .

1

Косинус

кута ϕ

між

двома

прямими

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

і

l

m

n

1

1

1

cosϕ =

l l

+ m m

+ n n

.

1 2

1

2

1

2

l2

+ m2

+ n2

l

2 + m2

+ n2

1

1

1

2

2

2

Звідси умова паралельності двох прямих:

l

=

m

=

n

1

1

1

l

2

m

n

2

2

і умова перпендикулярності двох прямих:

l l

+ m m + n n = 0

.

1 2

1

2

1

2

Необхідна і достатня умова знаходження двох прямих, що задані їх

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

= 0.

l

m

n

1

1

1

l

2

m

n

2

2

Синус кута ϕ між прямою

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

і площиною

l

m

n

sinϕ =

Al + Bm + Cn

.

A2 + B2 + C2 l2 + m2 + n2

Звідси умова паралельності прямої і площини:

Al + Bm + Cn = 0

.

Умова перпендикулярності прямої і площини:

A

=

B

=

C

.

l

m n

Для визначення точки перетину прямої

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

або у

l

m

n

параметричній формі x = lt + x1,

y = mt + y1,

z = nt + z1

і площини

Ax + By + Cz + D = 0 необхідно розв’язати їх рівняння:

Розв’язання. Кожна з площин має свій вектор нормалі: N1 = i − j + 3k ,

N2

= 3i + 2 j − k .

Вектор s , вздовж якого проходить пряма,

перпендикулярний як до вектора

N1

так і до вектора

N2 . Тоді

s = N1 × N2 .

Знайдемо його:

r

r

r

r

r

i

j

k

r

−1 3

r

1 3

r

1 −1

r

r

r

=

−1 3

s = N1

× N2

1

= i

2

−1

− j

3

−1

+ k

3

2

= −5i

+10 j

+ 5k

3

2

−1

−y + 3z − 2 = 0

2

+

+

2y − z − 6 = 0

3

5z −10 = 0 , z = 2

5y − 20 = 0, y = 4 .

Тепер запишемо

канонічні рівняння

прямої,

яка

проходить через

r

r

r

+ 5k :

знайдену точку M(0;4;2 ) паралельно вектору s

= −5i

+10 j

x

=

y − 4

=

z − 2

або

x

=

y − 4

=

z − 2

.

10

−1

−5

5

2

1

x − y + 3z − 2 = 0

2

+

+

3x + 2y − z − 6 = 0

3

5x + 5z −10 = 0,

−5x = 5z −10; −10x =10(z − 2).

10x + 5y − 20 = 0 ,

−10x = 5y − 20 ; −10x = 5(y − 4).

Таким чином: − 10x = 5( y − 4 ) = 10( z − z ) або

x

=

y − 4

=

z − 2

.

− 1

2

1

Приклад. Дана точка M(1;2;3 ) і площина

x + 2y + −z − 8 = 0 .

Визначити координати точки N , симетричної до точки

M , відносно даної

площини.

t +1+ 4t + 4 + t − 3− 8 = 0, 6t = 6,

t =1.

Знайдемо координати точки перетину прямої з площиною:

= t + 1 = 1 + 1 = 2 ;

= 2t + 2 = 2 + 2 = 4 ;

= −t + 3 = 2 .

x

y

z

Точка перетину є серединою відрізка між точками M і N , тобто

=

xM + xN

;

=

yM + yN

;

=

zM + zN

;

x

y

z

2

2

2

2 =

1+ xN

; 4 =

2 + yN

; 2 =

3+ zN

.

2

2

2

5

8

x

y +

5

z −

8

Тоді x = 2y + 5 = 3z −8,

x = 2

y +

= 3

z −

,

=

2

=

3

.

2

3

6

3

2

Звідси: l = 6; m = 3;

n = 2;

r

r

r

s

= 6i + 3 j + 2k .

Тоді

cosα =

l

=

6

=

6

;

7

l2 + m2 + n2

36 + 9 + 4

cos β =

m

=

3

;

cosγ =

n

=

2 .

l2 + m2 + n2

7

l2 + m2 + n2

7

(x − x )2

+ (y − y )2

+ (z − z

0

)2

= R2 .

0

0

z

M

С

O

y

x

Рівняння виду F( x,z ) =

0

визначає у просторі циліндричну поверхню,

твірна якої паралельна осі Oy .

Рівняння виду F( y,z ) = 0

визначає у просторі циліндричну поверхню,

твірна якої паралельна осі Ox .

Канонічні рівняння циліндрів другого порядку, твірна яких паралельна

осі Oz наступні:

еліптичний циліндр

x2

+

y2

=1 (рис. 26).

2

a

b

2

O

a

b

y

гіперболічний циліндр.

y2

−

x2

=1

(рис. 27).

2

b

a

2

z

b

b

x

O

y

Рис.27

вісь Oz , має рівняння

x2

+

y2

−

z2

= 0 (рис. 29).

2

a

b

2

c

2

z

a

c

b

O

x

y

Аналогічно,

x2

−

y2

+

z2

= 0, якщо віссю є Oy і

a

2

b

2

c

2

−

x2

+

y2

+

z2

= 0, якщо віссю є Ox .

a

2

b

2

c

2

Поверхні обертання. Якщо крива F(y, z) = 0 , x = 0, що належить

площині

yOz обертається навколо осі Oz , то рівняння поверхні обертання

Еліпсоїд обертання

x

2 + y2

+

z

2

=1, де вісь обертання

Oz . Еліпсоїд

a

2

c

2

стиснутий, якщо a > c ;

розтягнутий, якщо a < c ;

при

a = c

він

перетворюється у сферу.

Однопорожнинний гіперболоїд

обертання

x2

+ y2

−

z2

=1, де

вісь

a

2

c

2

Двопорожнинний гіперболоїд

обертання

x2

+ y2

−

z2

= −1, де вісь

a

2

c

2

обертання Oz є дійсною віссю гіперболи, обертанням

якої

утворена ця

поверхня.

Параболоїд обертання x2 + y2

= 2pz , де вісь обертання Oz .

еліпсоїд триосний

x

2

+

y

2

+

z

2

=1 (рис. 30);

a

2

b

2

c

2