Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Konspekt_lektsy_zm_1_2_3977714072-716176886

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
1.39 Mб
Скачать

Логарифмічне диференціювання застосовується у двох випадках:

1) коли функція має вигляд змінної у змінному ступеню і 2) коли функція складається з трьох або більше множників у чисельнику або знаменнику.

У цих випадках спочатку логарифмуємо рівність y = f (x) , а потім візьмемо похідну від обох частин рівності і знайдемо y'.

Приклад. Знайти похідну y = xx .

Розв’язання. Логарифмуємо обидві частини ln y = ln xx = x ln x ; беремо похідну від обох частин рівності ln y = x ln x .

Маємо

1

y'=1 ln x + x 1 . Таким чином

 

y'

= ln x +1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Звідси y'= y(ln x +1) = xx (ln x +1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад. Знайти похідну y =

x2(x 1)3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2x

+1)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

(x 1)3

 

 

 

 

 

Розв’язання. Логарифмуємо

ln y = ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

(2x +1)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ln x2 + ln(x 1)3 ln(2x +1)4 =2ln x + 3ln(x 1) 4ln(2x 1).

 

 

 

 

Беремо похідну від обох частин.

1

y'= 2 +

 

 

3

 

 

4 2

.

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

2x +1

 

 

 

2

 

3

 

 

8

 

 

 

 

x2

(x 1)3

2

 

 

3

 

 

 

4 2

 

Звідси y'= y

+

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

(2x +1)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x 1

 

2x +1

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x 1

 

2x +1

 

Так як з геометричної точки зору похідна дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної функції y = f (x) , у точці x0 , то рівняння дотичної матиме вигляд y y0 = f '(x0 )(x x0 ) . Якщо дотична паралельна осі OY , її рівнянням буде x = x0 . Нормаль до кривої y = f (x) перпендикулярна дотичній. Враховуючи умову перпендикулярності, рівняння нормалі матиме

вигляд y y0

= −

1

(x x0). Якщо ж нормаль паралельна осі OX , її

f '(x0)

 

 

 

рівняння буде y = y0 .

41

Приклад. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої y = x3 3x2 2 у точці з абсцисою x0 = 1.

Розв’язання. Знайдемо ординату точки дотику y = 13 3 12 2 = −4.

Кутовий коефіцієнт дотичної k дорівнює k = y'(x0) = 3x2 6x = 3 6 = −3. Тоді рівняння дотичної матиме вигляд y + 4 = (3)(x 1) або y = −3x 1, а

рівняння нормалі – y + 4 = −

1

(x 1) або y =

1

x

13

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кут між двома кривими

y = f1(x); y = f2 (x)

у

 

точці

їх перетину

M (x0; y0) обчислюється як кут між дотичними до цих кривих у точці M .

Тангенс цього кута знайдемо за формулою tgϕ =

 

 

f '2 (x0) f '1 (x0 )

 

.

1

 

)

 

 

 

 

 

 

+ f ' (x

0

) f '

2

(x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Фізичний сенс похідної це швидкість руху точки у момент часу t0 , якщо точка рухається прямолінійно за законом S = S(t) , тобто v = S(t) .

Розглядаючи похідні більш високих порядків відзначимо, що похідною другого порядку або другою похідною функції y = f (x) називається похідна від її першої похідної, тобто y"= (y')'. Другу похідну позначають ще й

так yn = n y = (yn1)' .

xn

Якщо S = S(t) закон прямолінійного руху точки, то друга похідна від

путі по часу 2s є прискорення руху цієї точки.

t2

Якщо функція задана у параметричній формі x =ϕ(t) , y =ψ (t), то

похідні більш високих порядків обчислюються по формулам y'x = y't ; x't

 

 

 

(y'x )

 

 

 

 

(y"

xx

)'t

 

 

 

 

y"

xx

=

t

; y'''

xxx

=

 

 

 

 

 

і так далі.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x't

 

 

 

x't

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наприклад.

y"

xx

=

x't y"tt x"tt y't

=

y"tt x't x"tt y't

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x'

)2 x'

 

(x' )3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

t

 

t

42

 

5. Диференціал

 

 

 

Диференціалом

функції

y = f (x)

називається

головна

частина

приросту функції, лінійна відносно приросту аргумента (рис. 14).

 

 

Диференціалом

аргумента

називається приріст

аргумента

dx =

x .

Диференціал функції дорівнює добутку похідної на диференціал аргументу

 

dy = f '(x)dx.

 

 

 

 

 

 

у(х + х)

 

α (

х)

 

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у(х)

 

А

х = у' dx = dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х = dx

 

 

α

 

х

 

 

 

 

 

х

х + х

 

х

 

 

Рис. 14

З геометричної точки зору диференціал є приріст ординати дотичної до графіка функції у точці M (x; y).

Основні властивості диференціала:

1)dc = 0, де с = const ;

2)dcu = cdu ;

3)d(u ± v) = du ± dv;

4)d(uv) = udv + vdu ;

5)

u

=

vdu udv

; (v 0) ;

d

 

 

 

 

v2

 

v

 

 

6) df (u) = f '(u)du .

43

Приріст функції дорівнює диференціалу (головна частина приросту) і

величині більш високого порядку малості ніж

 

 

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = dy + 0( x)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо x 0, то 0(

 

 

x)

 

тим паче прямує до нуля. Таким чином при,

x 0,

 

y dy, або

 

y(x +

x) y(x) dy = y'(x)

 

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді

 

 

 

 

 

 

 

 

y(x +

x) y(x) + y'(x)

 

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ця формула використовується для наближених обчислень, якщо x

мале.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад. Обчислити наближене значення 4

 

 

 

.

 

 

 

 

 

16,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. 4

 

 

 

 

 

= (16 + 0,2)4 , де x =16,

 

 

 

 

 

 

 

16,2

 

x = 0,2.

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

1 '

 

 

1

 

3

 

 

 

Тоді (16 + 0,2)

4

(16)

4

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

16

 

4 0,2, так як x4

4

4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

+

1

 

 

 

 

 

 

0,2

 

 

= 2 +

 

0,1

 

 

 

= 2 +

0,1

= 2,00625.

Звідси

16,2

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4 16

16 16

 

 

 

 

16

 

Диференціалом другого порядку називається диференціал від диференціала першого порядку: d2 y = d(dy). Взагалі dn y = d(dn1y).

Диференціали другого і вищого порядку обчислюються за формулами:

d2 y = y"(dx)2 ; d3 y = y"(dx)3 ; dn y = y"(dx)n .

Приклад. Обчислити диференціали першого, другого і третього

порядку від функції y = (ax + b)3 .

 

Розв’язання.

dy = 3(ax + b)2 adx ;

d 2 y = 6(ax + b) a2(dx)2 ;

d3 y = 6a a2 (dx)3 =6a3(dx)3.

 

44

6. Основні теореми диференціального числення

Розглянемо теореми, що мають велике теоретичне й прикладне значення.

Теорема Ролля (теорема про корені похідної). Якщо функція f (x)

неперервна

на

відрізку

[a,b],

диференційована на

інтервалі (a,b) і

f (a) = f (b), то знайдеться хоча б одна точка c (a,b) в якій f '(c) = 0 .

 

Доведення. Так як функція

f (x)

неперервна на [a,b], то вона досягає

 

свого найбільшого M й найменшого значення m на цьому відрізку.

 

Якщо M = m , то f (x)

стала на [a,b] ,тоді f '(x) = 0 у будь-якій точці

відрізку і теорема доведена.

 

 

 

 

 

Якщо M m , то f (x)

досягає найбільшого або найменшого значення

у внутрішній точці, так як

f (a) = f (b).

 

 

 

Нехай

f (c) = M , де c (a,b): f (c) f (x).

 

 

Тоді f (c +

x) f (c) 0 як при

x > 0 так і при

x < 0.

 

Отже

f (c +

x) f (c)

0, коли

x > 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

f (c +

x) f (c)

0, коли

x < 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдемо до границі при

x 0.

 

lim

 

f (c +

x) f (c)

= f '(c) 0, коли

x > 0;

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

f (c +

x) f (c)

= f '(c) 0, коли

x < 0 ,

 

 

 

 

 

x0

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а це можливо лише тоді, коли f '(c) = 0. Геометрично це означає що дотична до графіка y = f (x) у точці c паралельна осі абсцис.

45

Якщо ж f (a) = f (b) = 0, то це означає, що між двома коренями функції існує хоча б один корінь похідної.

Теорема Коші. (про відношення приросту двох функцій). Якщо функції f (x) і ϕ(x) неперервні на відрізку [a,b], диференційовані на інтервалі (a,b),

причому ϕ'( x )

ніде не

обертається

у нуль, то знайдеться

така

точка

c (a,b), що

f (b) f (a)

=

f '(c)

.

 

 

 

 

ϕ'(c)

 

 

 

 

ϕ(b) ϕ(a)

 

 

 

 

Доведення.

Зауважимо,

що

f (b) f (a) 0 , так

як

якщо

f (b )f ( a ) = 0 , то за теоремою Ролля знайдеться така точка c , де ϕ'(c) = 0, а це не так, за умовою теореми.

Визначимо число Q рівністю

f (b) f (a)

, складемо допоміжну

ϕ(b) ϕ(a)

 

 

функцію F(x) = f (x) f (a) Q[ϕ(x) ϕ(a)]. Ця функція задовольняє умовам теореми Ролля: неперервна і диференційована на [a,b], F(b) = F(a) = 0 . Тоді

знайдеться

хоча

б одна

точка x = c (a,b), така, що F'(c) = 0 .

Але

 

F'(x) = f '(x) Qϕ'(x), отже

F'(c) = f '(c) Qϕ'(c) = 0, звідси Q =

f '(c)

 

. Тоді

ϕ'(c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (a) f (b)

=

f '(c)

, що й треба було довести.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ(a) ϕ(b)

ϕ'(c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема Лагранжа (про скінченні прирости функції). Якщо функція f (x) неперервна і диференційована на відрізку [a,b], то знайдеться хоча б одна точка c (a,b), така що f (b) f (a) = f '(c)(b a).

Доведення. Теорема Лагранжа є частковим випадком теореми Коші.

Дійсно, поклавши ϕ(x)

ϕ'( c ) = 1. Тоді з формули

що й треба було довести.

= x, знаходимо

ϕ(b)

ϕ(a) = b a , ϕ'(x) = 1,

f (b) f (a)

=

f '(c)

, або

f (b) f (a) = f '(c)(b a),

ϕ(b) ϕ(a)

ϕ'(c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46

Геометрично це означає, що на дузі графіка функції y = f (x) знайдеться точка C між A і B , у якій дотична паралельна хорді, яка з’єднує точки A і B (рис. 15).

y

 

 

 

 

 

C

y=f(x)

 

 

B

α

 

A

 

α

 

 

 

 

 

0

a

c

b

Рис. 15

Правило Лопіталя розкриття невизначеностей.

Теорема. Нехай функції f (x) і ϕ(x) диференційовані у ε -околі точки x0 і

ϕ'(x) ≠ 0.

Якщо

lim f (x) =

lim

ϕ (x) = 0 ,

або

lim f (x) = lim ϕ (x) = ∞ ,

тобто

 

 

 

xx0

xx0

 

 

 

 

xx0

xx0

 

частка

у

точці

x = x0

представляє

собою

невизначеність

виду

 

0

, або

, то lim

f (x)

=

f '(x)

, при умові, що існує границя відношення

 

 

 

 

 

0

 

xx0

ϕ(x)

 

ϕ'(x)

 

 

 

 

похідних. Доведення спирається на доведення теореми Коші при умові, що

x a, x (a, x) і

f (a) = ϕ(a) = 0 . Тоді

 

f (x)

=

f '(x0 )

.

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

ϕ(x)

 

ϕ'(x0 )

 

 

 

 

 

 

 

Якщо частка

 

f '(x0 )

у точці x = x

 

також є невизначеність виду

0

або

 

 

 

 

 

 

ϕ'(x0 )

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

і похідні f '(x) і ϕ'(x) задовольняють відповідним умовам, то переходимо до відношення других похідних і так далі.

У випадку

невизначеностей

виду

0 ∞ або ∞ ∞ треба провести

алгебраїчні перетворення.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наприклад.

0 ∞ =

0

=

0

або

0 ∞ =

=

.

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

47

У випадку невизначеностей виду 00 , 0 , 1треба прологарифмувати дану функцію і знайти границю її логарифма, або скористатися наступною таблицею:

00

a) 0 = eln 0 = e0 ln = e0 = e1/ = e0 ;

00

b) 00 = eln 00 = e0 ln 0 = e0 = e1/ = e0 ;

00

c)1= eln1= eln1 = e0 = e1/ = e0 .

Розглянемо приклади.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x tgx

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

= −

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад. lim

=

 

 

 

= lim

cos2 x

 

 

 

 

= lim

cos3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

2x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

6x2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

x0

12x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(x а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex eа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

=

 

 

 

= lim

 

 

x а

 

 

 

 

= eа lim

=

 

0

 

= eа lim

eх

=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

xа ln(ex eа )

 

 

 

 

xа

 

 

 

1

 

 

 

 

e

x

 

xа x а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xа

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex eа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад

 

∞ − ∞

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x x +1

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

lim

 

 

 

= lim

=

 

 

= lim

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

= −

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

1)ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

x1

x 1

 

 

x1

 

 

 

 

x1

ln x + (x 1)

x1 1

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

ln x

 

lim

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limsin xln x

 

 

 

 

 

x0

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim xsin x =

00

 

 

 

 

 

= e

 

 

 

 

sin x = e

 

 

sin2 x = e0

=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ex0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

(sin 2x) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

lim

3

 

lncos2x

 

 

 

 

 

 

0

 

 

3lim

 

cos2x

 

 

 

 

 

Приклад. lim(cos2x)x2 =

 

 

 

= ex0 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

e0

 

= e x0

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

=

 

 

sin2x

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ 2x

 

 

 

 

3lim2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

cos2x 1

 

 

 

= e

x0 x = e6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48

7. Застосування похідної

Умови монотонності функції. Екстремуми

Функція f (x) називається зростаючою у точці x0 , якщо при достатньо малому h > 0 виконуються умови

f (x0 h) < f (x0 ) < f (x0 + h) .

Функція f (x) називається спадаючою у точці x0 , якщо при достатньо малому h > 0 виконуються умови

f (x0 h) > f (x0 ) > f (x0 + h).

Функція f (x) називається зростаючою на інтервалі (a,b), якщо для будь яких двох точок x1 та x2 , що належать (a,b) , за умови x1 < x2 , виконується нерівність f (x1) < f (x2 ) .

Функція f (x) називається спадаючою на інтервалі (a,b) , якщо для будь яких двох точок x1 та x2 , що належать (a,b), за умови x1 < x2 , виконується нерівність f (x1) > f (x2 ).

Ознаки зростання та спаду функцій

1)Якщо f '(x0 ) > 0, то функція f ( x ) зростає у точці x0 .

2)Якщо f '(x0 ) < 0, то функція f ( x ) спадає у точці x0 .

Значення f (x0 ) називається максимумом функції f (x) , якщо при достатньо малому h > 0 виконуються умови

f (x0 h) < f (x0 ) та f (x0 + h) < f (x0 ).

Точка x0 , у цьому випадку, має назву точки максимуму функції.

Значення f (x0 ) називається мінімумом функції f (x) , якщо при достатньо малому h > 0 виконуються умови

f (x0 h) > f (x0 ) та f (x0 + h) > f (x0 ).

49

Точка x0 , у цьому випадку, має назву точки мінімуму функції.

Максимум і мінімум функції називаються екстремумами функції, а точка максимуму або мінімуму – точкою її екстремуму.

Необхідна умова існування екстремума

Теорема. Якщо диференційована функція y = f (x) має у точці x0 екстремум, то, її похідна у цій точці дорівнює нулю, тобто f '(x0 ) = 0, або не існує.

Доведення цієї теореми спирається на теорему Ролля.

Точка x0 у якій f '(x0 ) = 0 має назву стаціонарної точки.

Точки у яких f '(x) = 0 або f '(x) не існує мають назву критичних точок першого роду. Не кожна критична точка є точкою екстремуму. Розглянемо достатні умови екстремуму.

Перша умова.

Теорема. Якщо неперервна функція y = f (x) диференційована у

ε -околі критичної точки x0 (крім, може бути, самої цієї точки) при переході через цю точку зліва направо f '(x) змінює знак з плюса на мінус, то функція f (x) у точці x0 має максимум, а якщо з мінуса на плюс, то функція f (x) у

точці x0 має мінімум.

Доведення. Розглянемо ε -окіл точки x0 . Нехай виконуються умови:

f '(x) > 0,

x (x0 ε, x0 ) і f '(x) < 0, x (x0 , x0 + ε ).

Тоді функція f (x)

зростає на

інтервалі

(x0 ε; x0 )

і спадає на інтервалі

(x0 , x0 + ε ) . Отже

значення функції f (x)

у точці x0

є найбільшим на інтервалі (x0 ε, x0 + ε ) ,

тобто

f (x) < f (x0 ) для усіх x (x0 ε, x0 ) U (x0 , x0 + ε ), а це й означає, що

точка

x0 – точка максимуму функції.

 

Графічно інтерпретація доведення теореми представлена на рис. 16.

50

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]