2. Логарифмическая функция

Функция, обратная к показательной функции , называется логарифмической и обозначается .

Она определена для любого и.

Пусть тогдаи из свойств показательной функции имеем:

Получаем:

Эта функция является многозначной. Главным значением называется то значение, которое получается при; оно обозначается

.

Тогда

Справедливы следующие соотношения:

1) ;

2) ;

3) где

3. Тригонометрические функции

Функции идляопределяются формулами:

Свойства:

1. Непрерывны на всей комплексной плоскости;

2. Периодичны с периодом , т.е.

3. Принимают любые значения, т.е. уравнения иимеют решения для любого комплексного числа;

4. –нечётная функция, – чётная функция;

5. при при;

6. Все тригонометрические формулы для действительного аргумента справедливы и для комплексного аргумента, например:

Функции иопределяются формулами:

непрерывна при

непрерывна при

4. Гиперболические функции

Функции (гиперболический синус) и(гиперболический косинус) комплексного переменного определяются формулами:

т.е.

Гиперболические тангенс и котангенсопределяются формулами:

Свойства гиперболических функций вытекают из свойств и, все формулы, справедливые при действительных значенияхсправедливы и для комплексных значений, например:

.

5. Обратные тригонометрические функции

Функции определяются как функции, обратные соответствующим тригонометрическим функциям.

Например, если , тоназывается арксинусом числаи обозначается

Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмическую функцию:

6. Общая степенная функция

Степенная функция для натуральногоп определяется формулой Муавра: .

Если же показатель является комплексным числом, то такая функция называется общей степенной и определяется формулой:

, где – комплексное число.

Для этой функции несправедливы свойства:

Пример 6. Для данных функций найти действительную часть и мнимую часть: а)б); в)

Решение. а) Учитывая, что , получаем:

т.е.

б)

т.е.

в)

т.е.

Пример 7. Записать в алгебраической форме следующие комплексные числа: а) ; б); в).

Решение. а) Используя формулу получим:

Таким образом, мы представили число в алгебраической форме:, где.

б) Имеем общую степенную функцию, так как в степени стоит комплексное число. Применяя формулу , получим:

.

Вычислим отдельно , используя формулу::

. Здесь

Тогда

Окончательно получаем:

где

Получили комплексное число, записанное в алгебраической форме, у которого

в) Используя формулу получим:

т.е. получили комплексное число с действительной частью и мнимой частью

4.5. Дифференцирование функций комплексного переменного. Аналитические функции

Пусть функция определена в некоторой областикомплексного переменного. Пусть точкиипринадлежат области. Обозначим:

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке, если отношениеимеет конечный предел припроизвольным образом. Этот предел называется производной функциии обозначается символом(или, или), так что по определению

Если , то в каждой точке дифференцируемости функциивыполняются соотношения:

называемые условиями Коши-Римана.

Обратно, если в некоторой точке функцииидифференцируемы как функции действительных переменныхии, кроме того, удовлетворяют условиям Коши-Римана, то функцияявляется дифференцируемой в точкекак функция комплексного переменного.

Определение. Функция называется аналитической в данной точке, если она дифференцируема как в самой точке, так и в некоторой её окрестности. Функцияназывается аналитической в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Для любой аналитической функции имеем:

.

Пример 8. Показать, что функция является аналитической на всей комплексной плоскости.

Решение. Имеем: , так что

Для функций ипроверим выполнение условий Коши-Римана:

Условия Коши-Римана выполняются во всех точках. Значит, функция всюду аналитическая. Тогда

Итак,

Пример 9. Является ли функция аналитической хотя бы в одной точке?

Решение. Имеем: , так что

Найдём частные производные функций и:

Условия Коши-Римана в этом случае имеют вид:

и удовлетворяются только в одной точке

Следовательно, функция дифференцируема только в точкеи нигде не аналитична.

Таким образом,

Для производных от функций комплексного переменного имеют место правила, аналогичные соответствующим правилам для производных от функций действительного переменного. А именно: если в точке существуют производныеи, то существуют и производные,,,, причём выполняются следующие равенства:

где – комплексное число;

(при ).

Производные основных элементарных функций находятся по тем же формулам, что и для действительного аргумента:

1.	7.
2.	8.
3.	9.
4.	10.
5.	11.
6.	12.
7.	13.

Если функция – аналитическая в области, то её действительная частьи мнимая частьявляются функциями,гармоническими в области . Это значит, что у каждой из функцийисуществуют непрерывные вчастные производные 2-го порядка, и для каждой из них верноуравнение Лапласа:

Если функция (функция) является гармонической в некоторой области(вообще говоря, односвязной, т.е. ограниченной замкнутой несамопересекающейся линией), то существует аналитическая вфункцияс действительной частью(соответственно, с мнимой частью), определяемая с точностью до постоянного слагаемого.

Пользуясь условиями Коши-Римана, аналитическую функцию можно восстановить, если известна её действительная частьили мнимая часть.

Пример 10. Восстановить функцию по известной её действительной частии дополнительном условии

Решение. Проверим, является ли функция гармонической.

Имеем: Вычислим частные производные 2-го порядка:

Отсюда т.е. функцияудовлетворяет уравнению Лапласа, а, значит, является гармонической.

Имеем: По первому из условий Коши-Римана должно бытьтак что

Отсюда где функцияпока неизвестна.

Дифференцируя пои используя второе из условий Коши-Римана, получим:

а так как то

отсюда а значитгде

Итак, и, следовательно,

Таким образом, Постояннуюнайдём из условият.е., отсюда

Ответ: